ett system med linjära ekvationer kan lösas genom att reducera dess förstärkta matris till reducerad echelonform.

en matris kan ändras till sin reducerade rad echelon form, eller rad reduceras till sin reducerade rad echelon form med hjälp av elementära rad operationer. Dessa är:

1. Byt ut en rad av matrisen med en annan av matrisen.
2. multiplicera en rad av matrisen med en icke-noll skalär konstant.
3. Byt ut en rad med en rad plus en konstant gånger en annan rad i matrisen.

till exempel, med tanke på följande linjära system med motsvarande förstärkt matris:

3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 {\displaystyle 3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}=-5}

3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 {\displaystyle 3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=9}

3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 {\displaystyle 3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}=15}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&&&&&&&&&&&&&&15\end{bmatrix}}}

To solve detta system måste matrisen reduceras till reducerad echelonform.

Steg 1: Byt rad 1 och rad 3. Alla ledande nollor är nu under icke-noll ledande poster.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 2: Ställ in rad 2 till Rad 2 plus (-1) gånger rad 1. Med andra ord, subtrahera rad 1 från rad 2. Detta kommer att eliminera den första posten i rad 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 3: Multiply row 2 by 3 and row 3 by 2. This will eliminate the first entry of row 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-10\end{bmatrix}}}

steg 4: Ställ in rad 3 till rad 3 plus (-1) gånger rad 2. Med andra ord, subtrahera rad 2 från rad 3. Detta kommer att eliminera den andra posten i rad 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&8\end{bmatrix}}}

Step 5: multiplicera varje rad med det ömsesidiga av dess första icke-nollvärde. Detta gör att varje rad börjar med en 1.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

The matrix is nu i rad echelon form: alla icke-nollrader är över alla rader av alla nollrader (det finns inga nollrader), varje ledande post i en rad är i en kolumn till höger om den ledande posten i raden ovanför den och alla poster i en kolumn under en ledande post är nollor.

som kan och kommer att visas senare, från denna form kan man observera att systemet har oändligt många lösningar. För att få dessa lösningar reduceras matrisen ytterligare till reducerad echelonform.

steg 6: Ställ in rad 2 till Rad 2 plus (-1) gånger rad 3 och rad 1 till rad 1 plus (-2) gånger rad 3. Detta eliminerar posterna ovanför den ledande posten i rad 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

Step 7: Ställ in rad 1 till rad 1 plus 3 gånger rad 2. Detta eliminerar posten ovanför den ledande posten i rad 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

This is a reducerad echelonform, eftersom den ledande posten i varje icke-nollrad är 1 och varje Ledande 1 är den enda icke-nollposten i sin kolumn.

från detta kan lösningen av systemet läsas:
x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 24 {\displaystyle x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24}

x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = − 7 {\displaystyle x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7}

x 5 = 4 {\displaystyle x_{5}=4}

Those equations can be solved for x 1 {\displaystyle x_{1}}

, x 2 {\displaystyle x_{2}}

and x 5 {\displaystyle x_{5}}