biografi

Paul Cohens föräldrar, Abraham och Minnie Cohen, var judiska invandrare till USA från sitt hemland Polen. Abraham Cohen var i grunden en udda jobbman och vred handen till en mängd olika jobb, medan hans fru tog in några välbehövliga pengar till familjen från klädtillverkning. Paul var den yngsta av sina föräldrars fyra barn och han växte upp i Brooklyn, New York. Han uppfostrades av sin mor från nio års ålder sedan hans föräldrar separerade vid den tiden. Intresserad av matematik från barndomen började han studera avancerad matematik från en ung ålder. Han : –

… var bara nio år gammal när hans syster Sylvia checkade ut en bok om kalkyl från ett New York-bibliotek för honom. Bibliotekarier var ovilliga att låta henne få boken, mycket mindre för sin yngre bror, och hävdade att även vissa högskoleprofessorer inte förstod kalkylen.

under tonåren betraktades han som ett matematiskt underbarn, fantastiskt runt omkring honom med de förmågor han visade i matematiktävlingar. Han gick på Stuyvesant High School i New York City och tog examen 1950 vid en ung ålder av sexton år. Denna skola, med ett högt rykte för matematik och naturvetenskap, accepterade endast de bästa studenterna efter att ha tagit en inträdesprov. Efter examen från Stuyvesant High School var Cohen student vid Brooklyn College från 1950 till 1953 men lämnade utan att ta en examen efter att ha antagits till forskarutbildning vid University of Chicago efter att ha besökt för att diskutera sina forskningsalternativ i Chicago. Han studerade för sin magisterexamen i Chicago och tog kurser för att passa in i sitt mål vid den tidpunkt då han skulle bedriva forskning inom talteori. Hans kunskap om talteori innan han anlände till Chicago var från ett antal klassiska texter som han hade läst på egen hand medan han var på College. För att passa in i detta mål började han arbeta med talteori som övervakades av Andr Bisexual Weil. Han tilldelades sin magisterexamen 1954 men han blev mer intresserad av att vissa resultat i talteori var otänkbara än i talteori själv, talteori förblev dock ett ämne av intresse för honom under hela sin karriär :-

han gjorde en vana att fråga fakulteten och medstudenterna vilka de viktigaste problemen var inom deras områden eftersom de var de enda problemen han ville lösa.

fortsätter att studera vid Chicago för sin doktorsexamen under överinseende av Antoni Zygmund han tilldelades sin doktorsexamen 1958 för sin doktorsavhandling ämnen i teorin om unika trigonometriska serien. I denna avhandling säger Cohen att han: –

… önskar uttrycka sin djupaste tacksamhet till Professor A Zygmund för hans ständiga hjälp och uppmuntran under utarbetandet av denna avhandling.

han börjar introduktionen genom att sätta ämnet för avhandlingen i sammanhang :-

teorin om unika trigonometriska serier kan betraktas som arsing från frågan om att bestämma i vilken mening Fourier-serien av en funktion kan betraktas som den legitima expansionen av funktionen i en oändlig trigonometrisk serie. Vi vet naturligtvis att om serien konvergerar bunden till funktionen, måste seriens koefficienter verkligen ges av Euler-Fourier-formlerna. Men i avsaknad av ett sådant tillstånd kan vi Fråga oss om två trigonometriska serier kan konvergera till samma funktion överallt. Svaret på denna fråga är nekande och bevisades i huvudsak av Riemann, beviset slutfördes av Cantor. Det är med ersättningen av konvergensförhållandet överallt med konvergensförhållandet nästan överallt, att teorin om uppsättningar av unikhet berörs.

åren som forskarstudent var bra för Cohen och han gjorde många vänskap med medstudenter, vänskap som skulle pågå under hela sitt liv. John Thompson var en sådan forskarstudent vid Chicago. Cohen, genom dessa vänskap, hade också börjat intressera sig för logik: –

som doktorand Cohens koppling till logik var hans vänskap med en livlig grupp studenter som blev logiker; Michael Morley, Anil Nerode, Bill Howard, Ray Smullyan och Stanley Tennenbaum. Ett tag bodde han i Tennenbaums hus och absorberade logik genom osmos, för det fanns inga kurser i logik i Chicago mathematics department.

1957, före tilldelningen av sin doktorsexamen, utsågs Cohen till instruktör i matematik vid University of Rochester i ett år. Han tillbringade sedan läsåret 1958-59 vid Massachusetts Institute of Technology innan han tillbringade 1959-61 som stipendiat vid Institute for Advanced Study vid Princeton. Det var år då Cohen gjorde ett antal betydande matematiska genombrott. Vid faktorisering i gruppalgebror (1959) visade han att varje integrerbar funktion på en lokalt kompakt grupp är faltning av två sådana funktioner och löser ett problem som Walter Rudin ställer. I On a conjecture of Littlewood and idempotent measures (1960) gjorde Cohen ett betydande genombrott för att lösa Littlewood-gissningen. Han hade tidigare skrivit till Harold Davenport och berättat för honom om detta resultat och Davenport svarade: –

… till Paul säger att om Paul bevis höll upp, han skulle ha förbättrat en generation av brittiska analytiker som hade arbetat hårt på detta problem. Pauls bevis höll upp; faktiskt, Davenport var den första som förbättrade Pauls resultat.

1961 utsågs Cohen till fakulteten vid Stanford University som biträdande professor i matematik. Han befordrades till docent i matematik under det följande året och, även i 1962, tilldelades en Alfred p Sloan Research fellowship. I augusti 1962 deltog Cohen i den internationella kongressen för matematiker i Stockholm. Han var en inbjuden talare som gav adressen idempotenta åtgärder och homomorfismer av gruppalgebror. På en kryssning från Stockholm till Leningrad, efter kongressen, träffade Cohen Christina Karls från Malung, Sverige. De gifte sig den 10 oktober 1963 och hade tre söner, tvillingarna Eric och Steven och Charles.
han befordrades till professor vid Stanford University 1964 har, vid denna tid, löst en av de mest utmanande öppna problem i matematik. Cohen använde en teknik som kallades” tvinga ” för att bevisa självständigheten i uppsättningsteorin om valets axiom och den generaliserade kontinuumhypotesen. Angus MacIntyre skriver :-

en dramatisk aspekt av kontinuumhypotesen är att Cohen var en självlärd outsider i logiken. Hans arbete med uppsättningsteori och p-adic-fält har en mycket karakteristisk stil, kombinatorisk och ganska fri från allmän teori.

I Cohen förklarar hur han kom fram till tanken på att tvinga från att läsa Kurt g Jacobdel ’ s Consistency of the Continuum Hypothesis, en bok bestående av anteckningar från en kurs som gavs vid Institute for Advanced Study 1938-39. Kontinuumhypotesproblemet var det första av David Hilberts berömda 23 problem som levererades till andra internationella kongressen för matematiker i Paris 1900. Hilberts berömda tal problemen med matematik utmanade (och idag utmanar fortfarande) matematiker att lösa dessa grundläggande frågor och Cohen har skillnaden att lösa Problem 1.
han hade börjat arbeta med kontinuumhypotesens oberoende mot slutet av 1962. I April 1963 kände han att saker klickade på plats :-

det finns vissa stunder i någon matematisk upptäckt när lösningen av ett problem sker på en sådan undermedveten nivå att det i efterhand verkar omöjligt att dissekera det och förklara dess ursprung. Snarare presenterar hela tanken sig på en gång, ofta kanske i en vag form, men blir gradvis mer exakt.

efter att ha läst Cohens bevis som han skickade i ett brev av den 9 maj 1963 svarade Kurt g:-

Låt mig upprepa att det verkligen är en glädje att läsa ditt bevis på kontinuumhypotesens oberoende. Jag tror att du i alla väsentliga avseenden har gett bästa möjliga bevis och det händer inte ofta. Att läsa ditt bevis hade en lika trevlig effekt på mig som att se ett riktigt bra spel.

Cohen talade om sitt arbete på oberoende axiom val och kontinuumhypotesen från Axiom av Zermelo-Fraenkel set teori i en föreläsning Independence results in set theory levereras vid international symposium on the ”theory of Models” på Berkeley den 4 juli 1963. Hans bevis dök upp i de två tidningarna kontinuumhypotesens oberoende (1963) och kontinuumhypotesens oberoende. II (1964). Andrzej Mostowski, som granskar den första av dessa, skriver:-

dessa resultat presenterar de efterlängtade lösningarna på de mest framstående öppna problemen med axiomatisk uppsättningsteori och bör klassas som det viktigaste framsteget i studien av axiomatisk uppsättningsteori sedan publiceringen av G Jacobdels 1940-monografi ”consistency of the continuum hypothesis” (1940). … för denna granskare verkar det mer än troligt att påverkan av Cohens upptäckt kommer att vara minst lika djup i metamatematik som i matematikens allmänna filosofi (och kanske inte bara matematik).

Angus MacIntyre, som var doktorand vid Stanford från 1964 till 1967, skriver:-

han inspirerade mig när jag var en ung matematiker. Jag hörde honom aldrig föreläsa om uppsättningsteori, utan snarare om algebraisk geometri och p-adic-fält. Han hade en mycket speciell stil, full av entusiasm och mycket ’hands on. Han använde så lite allmän teori som möjligt och förmedlade alltid en känsla av att han kom till hjärtat av saker. Hans tekniker, även i något så abstrakt som uppsättningsteori, var mycket konstruktiva. Han var skrämmande smart, och man skulle ha varit tvungen att vara naiv eller exceptionellt altruistisk för att sätta sitt”svåraste problem”till Paul Jag visste på 60-talet.

se en artikel av Paul Cohen om matematik och undervisning på denna länk
1966 publicerade Cohen monografiuppsättningsteorin och kontinuumhypotesen baserad på en kurs som han gav vid Harvard våren 1965. Azriel l Jacobvy (som först hörde Cohens resultat vid Berkeley model theory conference) skriver:-

denna monografi är mestadels en redogörelse för författarens berömda resultat, nämligen oberoende av kontinuumhypotesen och valets axiom. Dessutom presenterar också de viktigaste klassiska resultaten i logik och uppsättningsteori. … Denna bok presenterar ett nytt och intuitivt tillvägagångssätt och det ger några glimtar i den mentala processen som ledde författaren till hans upptäckter. Läsaren hittar i den här boken precis rätt mängd filosofiska kommentarer för en matematisk monografi.

samma år tilldelades Cohen en Fields-medalj för sitt grundläggande arbete med grunden för uppsättningsteori. Det presenterades för honom av Mstislav Vsevolodovich Keldysh, President för USSR Academy of Sciences, vid 1966 International Congress of Mathematicians i Moskva. Endast en Fields-Medaljör (Lars Ahlfors) har tilldelats Fields-medaljen vid en yngre ålder. Alonzo Church gav en adress till kongressen om Paul J Cohen och kontinuumproblemet som beskriver Cohens anmärkningsvärda prestationer. Fields Medal var dock inte den första utmärkelsen som Cohen fick. År 1964 tilldelades han B-priset till Minnesmärket från American Mathematical Society: –

…för hans papper, på en gissning av Littlewood och idempotent åtgärder, American Journal of Mathematics 82 (1960), 191-212.

tre år senare, 1967, fick Cohen National Medal of Science:-

för epokgörande resultat i matematisk logik som har återupplivat och breddat undersökningar i grunden för matematik.

han fick priset från President Lyndon B Johnson vid en ceremoni i Vita Huset den 13 februari 1968. Han har också valts till National Academy of Sciences, American Academy of Arts and Sciences, och som en heders utländsk medlem av London Mathematical Society.förutom sitt arbete med setteori arbetade Cohen med differentialekvation och harmonisk analys. Dawn Levy rapporterar i kommentarer om Cohen av Peter Sarnak (professor i matematik vid Princeton och en tidigare doktorand i Cohens med avhandlingen Prime Geodesic Theorems (1980)):-

Paul Cohen var en av de mest lysande matematikerna i 20-talet. Liksom många stora matematiker var hans matematiska intressen och bidrag mycket breda, allt från matematisk analys och differentialekvationer till matematisk logik och talteori. Denna bredd lyfts fram i en konferens som hölls i Stanford i September förra året för att fira Cohens arbete och hans 72-årsdag. Samlingen bestod av ledande experter inom olika områden som normalt inte skulle lyssna på samma uppsättning föreläsningar. … Cohen var en dynamisk och entusiastisk föreläsare och lärare. Han fick matematiken att se enkel och enhetlig ut. Han var alltid angelägen om att dela med sig av sina många tankar och insikter inom olika områden. Hans passion för matematik avtog aldrig.

Macintyre skriver om de viktiga papper som Cohen producerade efter sina enastående resultat på kontinuumhypotesen :-

1969 publicerade Cohen ett mycket originellt papper om p-adic cellnedbrytning, vilket ger en konstruktiv version av de berömda resultaten av Ax-Kochen-Ersov. Det är nu grundläggande för logisk analys av motiv integration. Från 1969 ägnade Cohen sig åt några av de mest utmanande och orubbliga problemen, såsom Riemann-hypotesen. Han var en passionerad och inspirerande matematiker.

Kathy Owen, som tillbringade tid på Stanford på 1970-talet, skrev om Cohen vid den tiden: –

Paul var en häpnadsväckande man. Otålig, rastlös, konkurrenskraftig, provocerande och lysande. Han var en vanlig på kaffe timme för doktorander och fakulteten. Han älskade debatten och argumentet om något ämne och var obeveklig om han fann en logisk svaghet i en motsatt synvinkel. Det fanns helt enkelt ingenstans att gömma sig! Han stod ut för sitt knivskarpa intellekt, hans fascination för de stora frågorna, hans konstiga intresse för ”perfect pitch” (han tog en stämgaffel till coffee hour och testade alla) och hans milda irritation med de få som har perfect pitch. Han var en anmärkningsvärd man, en kär vän som hade stor inverkan på mitt liv, ett ljus med hela spektrumet av färger.

Cohen utsågs till Marjorie Mhoon Fair Professor i kvantitativ vetenskap vid Stanford 1972 och var den första innehavaren av denna stol. Han gick formellt i pension 2004, men fortsatte att undervisa i Stanford fram till strax före sin död. Han dog av en sällsynt lungsjukdom på Stanford Hospital i Palo Alto.när det gäller Cohens intressen utanför matematiken spelade han både piano och fiol, sjöng i en Stanford-kör och var medlem i en svensk folkgrupp. Han var en skicklig lingvist som talade svenska, franska, spanska, tyska och jiddisch. Han och hans fru var värd för frekventa middagsfester för studenter, kollegor och vänner. Han älskade att visa besökare Runt San Francisco och det omgivande området.
Låt oss avsluta denna biografi genom att citera Cohens påminnelser om hans arbete med kontinuumhypotesen :-

… det är lite nyfiken att kontinuumhypotesen och valets axiom i viss mening inte är riktigt svåra problem – de involverar inte teknisk komplexitet; ändå ansågs de vara svåra vid den tiden. Man kan på ett humoristiskt sätt säga att inställningen till mitt bevis var som följer. När det först presenterades tyckte vissa att det var fel. Då ansågs det vara extremt komplicerat. Då ansågs det vara lätt. Men det är naturligtvis lätt i den meningen att det finns en tydlig filosofisk ide. Det fanns tekniska punkter, du vet, som störde mig, men i grund och botten var det egentligen inte ett enormt involverat kombinatoriskt problem; det var en filosofisk tanke.