biografi

Giuseppe Peanos föräldrar arbetade på en gård och Giuseppe föddes i bondgården ’Tetto Galant’ cirka 5 km från Cuneo. Han deltog i byskolan i Spinetta sedan flyttade han upp till skolan i Cuneo, gör 5km resa dit och tillbaka till fots varje dag. Hans föräldrar köpte ett hus i Cuneo men hans far fortsatte att arbeta på fälten på Tetto Galant med hjälp av en bror och syster till Giuseppe, medan hans mor stannade i Cuneo med Giuseppe och hans äldre bror.Giuseppes mor hade en bror som var präst och advokat i Turin och när han insåg att Giuseppe var ett mycket begåvat barn tog han honom till Turin 1870 för sin gymnasieskola och för att förbereda honom för universitetsstudier. Giuseppe tog examen vid Ginnasio Cavour 1873 och var sedan elev vid Liceo Cavour där han tog examen 1876 och det året gick han in på universitetet i Turin.bland Peanos lärare under sitt första år vid universitetet i Turin var D ’ Ovidio som lärde honom analytisk geometri och algebra. Under sitt andra år lärde han sig kalkyl av Angelo Genocchi och beskrivande geometri av Giuseppe Bruno. Peano fortsatte att studera ren matematik under sitt tredje år och fann att han var den enda studenten att göra det. De andra hade fortsatt sina studier på ingenjörskolan som Peano själv ursprungligen hade tänkt göra. Under sitt tredje år lärde Francesco fa Bisexual di Bruno honom analys och D ’ Ovidio undervisade i geometri. Bland hans lärare under hans sista år var återigen D ’ Ovidio med en ytterligare geometrikurs och Francesco Siacci med en mekanikkurs. Den 29 September 1880 tog Peano examen som doktor i matematik.
Peano gick med i personalen vid universitetet i Turin 1880 och utsågs till assistent till D ’ Ovidio. Han publicerade sin första matematiska uppsats 1880 och ytterligare tre artiklar året därpå. Peano utsågs till assistent för Genocchi för 1881-82 och det var 1882 som Peano gjorde en upptäckt som skulle vara typisk för hans stil under många år, han upptäckte ett fel i en standarddefinition.Genocchi var vid denna tid ganska gammal och i relativt dålig hälsa och Peano tog över en del av sin undervisning. Peano var på väg att lära eleverna om området med en krökt yta när han insåg att definitionen i Serrets bok, som var standardtexten för kursen, var felaktig. Peano berättade omedelbart för Genocchi om sin upptäckt för att få veta att Genocchi redan visste. Genocchi hade informerats föregående år av Schwarz som verkar ha varit den första som hittade Serrets fel.1884 publicerades en text baserad på Genocchis föreläsningar i Turin. Denna bok kurs i Infinitesimal kalkyl Även baserat på Genocchi föreläsningar redigerades av Peano och faktiskt har mycket i det skrivet av Peano själv. Boken själv säger på titelsidan att det är:-

… publicerad med tillägg av Dr Giuseppe Peano.

Genocchi verkade något olycklig att arbetet kom ut under hans namn för han skrev:-

… volymen innehåller viktiga tillägg, vissa ändringar och olika anteckningar, som placeras först. Så att ingenting kommer att tillskrivas mig som inte är mitt, måste jag förklara att jag inte har haft någon del i sammanställningen av den ovannämnda boken och att allt beror på den enastående unga mannen Dr Giuseppe Peano …

Peano fick sin kvalifikation för att vara universitetsprofessor i December 1884 och han fortsatte att undervisa ytterligare kurser, några för Genocchi vars hälsa inte hade återhämtat sig tillräckligt för att tillåta honom att återvända till universitetet.1886 visade Peano att om f(x,y)F (x, y)f(x,y) är kontinuerlig så har första ordningens differentialekvation dydx=f(x,y)\large\frac{dy}{dx}\normalsize = f (x, y)dxdy=f(x,y) en lösning. Förekomsten av lösningar med starkare hypotes om fff hade tidigare givits av Cauchy och sedan Lipschitz. Fyra år senare visade Peano att lösningarna inte var unika, vilket som exempel gav differentialekvationen dydx=3y2/3\large\frac{dy}{dx}\normalsize = 3y^{2/3}dxdy=3y2/3 , med y(0)=0y(0) = 0y(0)=0.förutom sin undervisning vid universitetet i Turin började Peano föreläsa vid militärakademin i Turin 1886. Året därpå upptäckte han och publicerade en metod för att lösa system av linjära differentialekvationer med hjälp av successiva approximationer. Men Picard hade självständigt upptäckt denna metod och hade krediterat Schwarz med att upptäcka metoden först. 1888 publicerade Peano boken geometrisk kalkyl som börjar med ett kapitel om matematisk logik. Detta var hans första arbete med ämnet som skulle spela en viktig roll i hans forskning under de närmaste åren och det baserades på arbetet med Schr Xhamster, Boole och Charles Peirce. Ett mer betydelsefullt inslag i boken är att Peano i den med stor tydlighet beskriver grassmanns tankar som verkligen var på ett ganska dunkelt sätt av Grassmann själv. Den här boken innehåller den första definitionen av ett vektorutrymme som ges med en anmärkningsvärt modern notation och stil, och även om det inte uppskattades av många vid den tiden, är detta säkert en ganska anmärkningsvärd prestation av Peano.1889 publicerade Peano sina berömda Axiom, kallade Peano axiom, som definierade de naturliga siffrorna i termer av uppsättningar. Dessa publicerades i en pamflett Arithmetices principia, nova methodo exposita bisexuell som enligt var:-

… på en gång ett landmärke i historien om matematisk logik och grunden för matematik.

broschyren skrevs på Latin och ingen har kunnat ge en bra anledning till detta, annat än:-

… det verkar vara en handling av ren romantik, kanske den unika romantiska handlingen i hans vetenskapliga karriär.

Peano-axiomerna listas på den här länken.
Genocchi dog 1889 och Peano förväntas utses för att fylla sin stol. Han skrev till Casorati, som han trodde var en del av tillsättningsutskottet, endast för information för att upptäcka att det var en försening på grund av svårigheten att hitta tillräckligt med medlemmar för att agera i utskottet. Casorati hade kontaktats men hans hälsa var inte upp till uppgiften. Innan utnämningen kunde göras Peano publicerade en annan fantastisk resultat.
han uppfann ’rymdfyllande’ kurvor 1890, dessa är kontinuerliga surjektiva mappningar från enhetens kvadrat. Hilbert, 1891, beskrev liknande rymdfyllningskurvor. Man hade trott att sådana kurvor inte kunde existera. Cantor hade visat att det finns en bijektion mellan intervallet och enhetens kvadrat men kort efter hade Netto bevisat att en sådan bijektion inte kan vara kontinuerlig.
Du kan se några steg i konstruktionen av denna kurva på denna länk.
Peanos kontinuerliga rymdfyllningskurvor kan naturligtvis inte vara 1-1, annars skulle Nettos sats motsägas. Hausdorff skrev om Peanos resultat i grundz Askorbge der mengenlehre 1914: –

Detta är en av de mest anmärkningsvärda fakta om uppsättningsteori.

I December 1890 var Peanos väntan på att bli utnämnd till Genocchis ordförande över när Peano efter den vanliga tävlingen erbjöds tjänsten. 1891 grundade Peano Rivista di matematica, en tidskrift som huvudsakligen ägnas åt logik och grunden för matematik. Den första artikeln i den första delen är en tio sidig artikel av Peano som sammanfattar sitt arbete med matematisk logik fram till den tiden.
Peano hade en stor skicklighet i att se att satser var felaktiga genom att upptäcka undantag. Andra var inte så glada över att ha påpekat dessa fel och en sådan var hans kollega Corrado Segre. När Corrado Segre lämnade in en artikel till Rivista di matematica Peano påpekade att några av satserna i artikeln hade undantag. Segre var inte beredd att bara korrigera satserna genom att lägga till villkor som utesluter undantagen men försvarade sitt arbete och sa att upptäckten var viktigare än en rigorös formulering. Naturligtvis var detta så mot Peanos rigorösa inställning till matematik att han argumenterade starkt: –

jag tror att det är nytt i matematikens historia som författare medvetet använder i sina forskningsförslag för vilka undantag är kända, eller för vilka de inte har några bevis…

det var inte bara Corrado Segre som led av Peanos enastående förmåga att upptäcka brist på noggrannhet. Naturligtvis var det precisionen i hans tänkande, med hjälp av exaktheten i hans matematiska logik, som gav Peano denna tydlighet i tanken. Peano påpekade ett fel i ett bevis av Hermann Laurent 1892 och granskade samma år en bok av Veronese som avslutade recensionen med kommentaren:-

vi kunde fortsätta att räkna upp de absurditeter som författaren har staplat upp. Men dessa fel, bristen på precision och noggrannhet i hela boken tar allt värde bort från det.

från omkring 1892 inledde Peano ett nytt och extremt ambitiöst projekt, nämligen Formulario Mathematico. Han förklarade i mars 1892 en del av Rivista di matematica hans tänkande: –

av den största nyttan skulle vara publiceringen av samlingar av alla teorier som nu är kända som hänvisar till givna grenar av matematiska vetenskaper … En sådan samling, som skulle vara lång och svår på vanligt språk, görs märkbart lättare genom att använda notationen av matematisk logik …

på många sätt markerar denna stora ide slutet på Peanos extraordinära kreativa arbete. Det var ett projekt som hälsades med entusiasm av några och med lite intresse av de flesta. Peano började försöka konvertera alla omkring honom att tro på vikten av detta projekt och detta hade effekten att irritera dem. Men Peano och hans nära medarbetare, inklusive hans assistenter, Vailati, Burali-Forti, Pieri och Fano blev snart djupt involverade i arbetet.när man beskriver en ny utgåva av Formulario Mathematico 1896 skriver Peano: –

varje professor kommer att kunna anta denna Formulario som en lärobok, för den borde innehålla alla satser och alla metoder. Hans undervisning kommer att reduceras till att visa hur man läser formlerna och att indikera för eleverna de satser som han vill förklara i sin kurs.

när Beräkningsvolymen för Formulario publicerades började Peano, som han hade angett, använda den för sin undervisning. Detta var den katastrof som man kunde förvänta sig. Peano, som var en bra lärare när han började sin föreläsningskarriär, blev oacceptabel för både sina elever och sina kollegor genom stilen i hans undervisning. En av hans elever, som faktiskt var en stor beundrare av Peano, skrev: –

men vi elever visste att denna instruktion var över våra huvuden. Vi förstod att en sådan subtil analys av begrepp, en sådan minutkritik av definitionerna som används av andra författare, inte var anpassad för nybörjare och särskilt inte var användbar för ingenjörsstudenter. Vi ogillade att behöva ge tid och ansträngning till de ”symboler” som vi senare år aldrig skulle använda.

militärakademin avslutade sitt kontrakt för att undervisa där 1901 och även om många av hans kollegor vid universitetet också skulle ha velat stoppa sin undervisning där, var ingenting möjligt under det sätt som universitetet inrättades. Professorn var en lag för sig själv i sitt eget ämne och Peano var inte beredd att lyssna på sina kollegor när de försökte uppmuntra honom att återvända till sin gamla undervisningsstil. Formulario Mathematico-projektet slutfördes 1908 och man måste beundra vad Peano uppnådde men även om arbetet innehöll en gruva med information användes det lite.
men kanske Peano största triumf kom 1900. Det året hölls två kongresser i Paris. Den första var International Congress of Philosophy som öppnade i Paris den 1 augusti. Det var en triumf för Peano och Russell, som deltog i kongressen, skrev i sin självbiografi:-

kongressen var vändpunkten i mitt intellektuella liv, för Där träffade jag Peano. Jag kände honom redan vid namn och hade sett några av hans verk, men hade inte tagit sig besväret att behärska hans notation. I diskussioner på kongressen observerade jag att han alltid var mer exakt än någon annan, och att han alltid fick bättre av alla argument som han inledde. När dagarna gick bestämde jag mig för att detta måste bero på hans matematiska logik. … Det blev klart för mig att hans notation gav ett instrument för logisk analys som jag hade sökt i flera år …

dagen efter Filosofikongressen slutade den andra internationella Matematikkongressen började. Peano stannade kvar i Paris för denna kongress och lyssnade på Hilberts tal med tio av de 23 problem som dök upp i hans papper som syftade till att ge dagordningen för nästa århundrade. Peano var särskilt intresserad av det andra problemet som frågade om aritmetikens Axiom kunde bevisas konsekvent.
redan innan Formulario Mathematico projektet avslutades Peano var att sätta på plats nästa stora projekt i sitt liv. 1903 uttryckte Peano intresse för att hitta ett universellt eller internationellt språk och föreslog ett konstgjort språk ”Latino sinus flexione” baserat på Latin men fråntagen all grammatik. Han sammanställde ordförrådet genom att ta ord från engelska, franska, tyska och latinska. I själva verket den slutliga upplagan av Formulario Mathematico skrevs i Latino sinus flexione vilket är en annan anledning arbetet var så lite används.
Peanos karriär var därför ganska konstigt uppdelad i två perioder. Perioden fram till 1900 är en där han visade stor originalitet och en anmärkningsvärd känsla för ämnen som skulle vara viktiga i utvecklingen av matematik. Hans prestationer var enastående och han hade en modern stil helt på sin plats i sin egen tid. Men denna känsla för det som var viktigt tycktes lämna honom och efter 1900 arbetade han med stor entusiasm på två projekt med stora svårigheter som var enorma företag men visade sig vara ganska obetydliga i utvecklingen av matematik.
av hans personlighet Kennedy skriver i: –

… Jag fascineras av hans milda personlighet, hans förmåga att locka livslånga lärjungar, hans tolerans för mänsklig svaghet, hans ständiga optimism. … Peano kan inte bara klassificeras som en 19th century matematiker och logiker, men på grund av sin originalitet och inflytande, måste bedömas en av de stora forskarna i det århundradet.

även om Peano är en grundare av matematisk logik, anses den tyska matematiska filosofen Gottlob Frege idag vara fadern till matematisk logik.