ekvationerna i detta avsnitt använder inte Axiom av kvantmekanik utan använder istället relationer för vilka det finns en direkt korrespondens i klassisk mekanik.

till exempel: en styv regelbunden, kristallin (inte amorf) gitter består av N-partiklar. Dessa partiklar kan vara atomer eller molekyler. N är ett stort antal, säg i storleksordningen 1023, eller i storleksordningen av Avogadro-numret för ett typiskt prov av ett fast ämne. Eftersom gitteret är styvt måste atomerna utöva krafter på varandra för att hålla varje atom nära dess jämviktsposition. Dessa krafter kan vara Van der Waals-krafter, kovalenta bindningar, elektrostatiska attraktioner och andra, som alla i slutändan beror på den elektriska kraften. Magnetiska och gravitationskrafter är i allmänhet försumbara. Krafterna mellan varje par atomer kan karakteriseras av en potentiell energifunktion V som beror på avståndet för separation av atomerna. Den potentiella energin hos hela gallret är summan av alla parvisa potentiella energier multiplicerad med en faktor 1/2 för att kompensera för dubbelräkning:

1 2 kg i kg ( r i − RJ ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\summa _{i\neq j}v\vänster(r_{i}-r_{j}\höger)}

där ri är positionen för den ith atomen, och v är den potentiella energin mellan två atomer.

det är svårt att lösa detta många kroppsproblem uttryckligen i antingen klassisk eller kvantmekanik. För att förenkla uppgiften införs vanligtvis två viktiga approximationer. Först utförs summan endast över angränsande atomer. Även om de elektriska krafterna i verkliga fasta ämnen sträcker sig till oändlighet, är denna approximation fortfarande giltig eftersom fälten som produceras av avlägsna atomer effektivt screenas. För det andra behandlas potentialerna V som harmoniska potentialer. Detta är tillåtet så länge atomerna förblir nära sina jämviktspositioner. Formellt uppnås detta genom att Taylor expanderar V om dess jämviktsvärde till kvadratisk ordning, vilket ger V proportionell mot förskjutningen x2 och den elastiska kraften helt enkelt proportionell mot x. Felet i att ignorera högre ordningsvillkor förblir litet om x förblir nära jämviktspositionen.

det resulterande gitteret kan visualiseras som ett system av bollar förbundna med fjädrar. Följande figur visar en kubisk gitter, vilket är en bra modell för många typer av kristallint fast ämne. Andra gitter inkluderar en linjär kedja, som är en mycket enkel gitter som vi inom kort kommer att använda för modellering av fononer. (För andra vanliga gitter, se kristallstruktur.)

gitterets potentiella energi kan nu skrivas som

{i j } ( n n ) 1 2 n n 2 2 ( r i − R j ) 2 . {\displaystyle \ sum _{\{ij\} (\mathrm {nn})} {\tfrac {1}{2}}nn \ omega ^{2}\vänster (R_{i}-r_{j}\höger)^{2}.}

här är den naturliga frekvensen av de harmoniska potentialerna, som antas vara desamma eftersom gallret är regelbundet. Ri är positionskoordinaten för ith-atomen, som vi nu mäter från dess jämviktsposition. Summan över närmaste grannar betecknas (nn).

Lattice wavesEdit

Phonon förökar sig genom en fyrkantig gitter (atom förskjutningar kraftigt överdrivna)

på grund av anslutningarna mellan atomer, förskjutningen av en eller flera atomer från deras jämviktspositioner ger upphov till en uppsättning vibrationsvågor som förökar sig genom gallret. En sådan våg visas i figuren till höger. Vågens amplitud ges av förskjutningarna av atomerna från deras jämviktspositioner. Våglängden är markerad.

det finns en minsta möjliga våglängd, som ges av två gånger jämviktsseparationen a mellan atomer. Vilken våglängd som helst kortare än detta kan kartläggas på en våglängd längre än 2a på grund av gitterets periodicitet. Detta kan ses som en konsekvens av Nyquist–Shannon samplingsteorem, gitterpunkterna ses som ”provtagningspunkter” för en kontinuerlig våg.

inte alla möjliga gittervibrationer har en väldefinierad våglängd och frekvens. De normala lägena har dock väldefinierade våglängder och frekvenser.

endimensionell latticeEdit

animering som visar de första 6 normala lägena för en endimensionell gitter: en linjär partikelkedja. Den kortaste våglängden är överst, med progressivt längre våglängder nedan. I de lägsta linjerna kan vågornas rörelse till höger ses.

för att förenkla analysen som behövs för en 3-dimensionell gitter av atomer är det lämpligt att modellera en 1-dimensionell gitter eller linjär kedja. Denna modell är komplex nog att visa de framträdande dragen i fononer.

klassisk behandlingredigera

krafterna mellan atomerna antas vara linjära och närmaste granne, och de representeras av en elastisk fjäder. Varje atom antas vara en punktpartikel och kärnan och elektronerna rör sig i steg (adiabatisk sats):

n − 1 n n + 1 msk.a. a.···o++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ + + + + + + + + + + + + + + o···cu − 1 un un + 1

där n anger den n: te atomen av totalt N, A är avståndet mellan atomer när kedjan är i jämvikt, och un förskjutningen av Nth atomen från dess jämviktsposition.

Om C är fjäderns elastiska konstant och m atomens massa, är rörelsekvationen för den n: te atomen

− 2 c u n + C ( u n + 1 + u n − 1 ) = m d 2 u n d t 2 . {\displaystyle-2cu_{n}+C\vänster(u_{n+1}+u_{n-1}\höger)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}

detta är en uppsättning kopplade ekvationer.

eftersom lösningarna förväntas vara oscillerande definieras nya koordinater av en diskret Fourier-transformation för att koppla bort dem.

Put

un = oc i k / 2 OC i K = 1 N Q K E i k n a . {\displaystyle u_{n}= \ summa _{Nak / 2 \ pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}

här motsvarar och övergår na till den kontinuerliga variabeln x av skalärfältteori. Qk är kända som de normala koordinaterna, kontinuumfältlägen Ubik.

Substitution i rörelseekvationen ger följande frikopplade ekvationer ( detta kräver en signifikant manipulation med användning av ortonormaliteten och fullständighetsrelationerna för den diskreta Fouriertransformen,

2 C (cos XXL k a − 1 ) Q k = m d 2 Q k D t 2 . {\displaystyle 2C (\cos {ka-1})Q_{k}=m {\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}

det här är ekvationerna för frikopplade harmoniska oscillatorer som har lösningen Q k = A K E i C K t; C K = 2 C m ( 1 − cos c k a ) . {\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i \ omega _{k}t}; \ qquad \ omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}} (1- \ cos {ka})}}.}

varje normal koordinat QK representerar ett oberoende vibrationsläge för gallret med wavenumber k, vilket är känt som ett normalt läge.

den andra ekvationen, för wk, är känd som dispersionsförhållandet mellan vinkelfrekvensen och vågnumret.

I kontinuum gräns, a→0, N→∞, med Na som hålls fast, un → φ(x), ett skalärt fält, och ω ( k ) ∝ k {\displaystyle \omega (k)\propto ka}

. Detta motsvarar klassisk fri skalärfältteori, en sammansättning av oberoende oscillatorer.

Quantum treatmentEdit

en endimensionell kvantmekanisk harmonisk kedja består av n identiska atomer. Detta är den enklaste kvantmekaniska modellen av en gitter som gör att fononer kan uppstå från den. Formalismen för denna modell är lätt generaliserbar till två och tre dimensioner.

i viss kontrast till föregående avsnitt betecknas massornas positioner inte av ui, utan istället av x1, x2…, mätt från deras jämviktspositioner (dvs. xi = 0 om partikel i är i sin jämviktsposition.) I två eller flera dimensioner är xi vektormängder. Hamiltonian för detta system är

H = 1 i = 1 n i 2 2 m + 1 2 m 2+2 m 2+2 m 2 + {i j } ( n n ) ( X i − X j ) 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}^{2}}{2M}} + {\frac {1}{2}}M\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\vänster(x_{i}-x_{J}\höger)^{2}}

där M är massan för varje atom (förutsatt att den är lika för alla), och xi och Pi är positions-respektive momentoperatörerna, för atomen och summan görs över närmaste grannar (nn). Men man förväntar sig att i en gitter kan det också förekomma vågor som beter sig som partiklar. Det är vanligt att hantera vågor i Fourier-utrymme som använder normala lägen för vågvektorn som variabler istället Koordinater för partiklar. Antalet normala lägen är samma som antalet partiklar. Fourier-utrymmet är dock mycket användbart med tanke på systemets periodicitet.

en uppsättning av N ”normala koordinater” Qk kan införas, definierad som de diskreta Fouriertransformerna av xk och N ”konjugat momenta” Aci k definierad som Fouriertransformerna av pk:

Q k = 1 n cu l e i k a L x L cu K = 1 n cu l e − i k a l p l . {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{l}E^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum _{L}E^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}}

kvantiteten kn visar sig vara wavenumber för fononen, d.v. s. 2 msk dividerat med våglängden.

det här valet behåller de önskade kommutationsrelationerna i antingen verkligt utrymme eller vågvektorutrymme

= i 0 L , M = 1 N III l , M e k A L E − i k ’A m = i II N III l a l ( k − k’ ) = i Iii k , k ’ = = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left&=I\hbar \delta _{l,m}\\\vänster&={\frac {1}{n}}\summa _{l,m}e^{ikal}e^{-ik’am}\vänster\\&={\frac {i\hbar }{n}}\summa _{l}e^{ial\Left(k-k’\höger)}=i\hbar \delta _{k,k’}\\\vänster&=\vänster=0\end{aligned}}}

Från den allmänna resultat

∑ l x l x l + m = 1 N ∑ k k Q k Q k ’∑ l e i a l l ( k + k ’ ) e i a m k ’ = ∑ k Q k Q k e o m k ∑ l p l 2 = ∑ k Π k Π − k {\displaystyle {\begin{anpassas}\summan _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\summan _{kk’}Q_{n}Q_{k”}\summan _{l}e^{ial\left(k+k’\höger)}e^{iamk’}=\summan _{k}Q_{n}Q_ {k}e^{iamk}\\\summan _{l}{p_{l}}^{2}&=\summan _{k}\Pi _{k}\Pi _{k}\end{anpassas}}}

Den potentiella energin termen

1 m 2 ω 2 ∑ j ( x j − x j + 1 ) 2 = 1 2 m ω 2 ∑ k Q k Q k ( 2 − k − e − jag-q ) = 1 2 ∑ k i ω k 2 Q k Q k {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\summan _{j}\vänster(x_{j}-x_{j+1}\Höger)^{2}={\tfrac {1}{2}}M\omega ^{2}\Summa _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\Summa _{k}M{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}

där

k = 2 2 ( 1 − cos 2 (k a ) = 2 2 | {\displaystyle \Omega _{k}={\sqrt {2\Omega ^{2}\vänster(1-\cos{ka}\höger)}}=2\Omega \vänster | \synd {\frac {KA} {2}}\höger|}

Hamiltonian kan skrivas i wavevector − utrymme som

H = 1 2 m ( IC k IC − k + m 2 IC k 2 Q K Q-k ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\vänster(\pi _{k}\pi _{- k}+m^{2}\Omega _{k}^{2}Q_{k}Q_ {- k}\höger)}

kopplingarna mellan positionsvariablerna har förvandlats bort; om Q och Bisexuell var Hermitian (som de inte är), skulle den transformerade Hamiltonian beskriva N okopplade harmoniska oscillatorer.

kvantiseringsformen beror på valet av gränsvillkor; för enkelhet införs periodiska gränsvillkor som definierar (N + 1)atomen som ekvivalent med den första atomen. Fysiskt motsvarar detta att gå med i kedjan i dess ändar. Den resulterande kvantiseringen är

k = k n = 2 msk N N A för n = 0 , ± 1 , ± 2 , … ± N 2 . {\displaystyle k=k_{n}={\frac {2 \ pi n}{Na}} \ quad {\mbox{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {n}{2}}.\ }

den övre gränsen till n kommer från minsta våglängd, vilket är dubbelt gitteravståndet a, som diskuterats ovan.

de harmoniska oscillatorns egenvärden eller energinivåer för läget wk är:

e n = ( 1 2 + n ) = 0 , 1 , 2 , 3 … {\displaystyle E_{n}=\vänster({\tfrac {1}{2}}+n\höger)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }

nivåerna är jämnt fördelade på:

1 2 kg , 3 2 kg , 5 2 kg {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \Omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \Omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \Omega \ \cdots }

där 1/2 occurw är nollpunktsenergin för en kvantharmonisk oscillator.

en exakt mängd energi måste tillföras det harmoniska oscillatorgallret för att driva det till nästa energinivå. I jämförelse med fotonfallet när det elektromagnetiska fältet kvantiseras kallas kvantiteten av vibrationsenergi en fonon.

alla kvantsystem visar vågliknande och partikelliknande egenskaper samtidigt. Fononens partikelliknande egenskaper förstås bäst med hjälp av metoderna för andra kvantisering och operatörstekniker som beskrivs senare.

tredimensionell latticeEdit

detta kan generaliseras till ett tredimensionellt gitter. Vågnumret k ersätts av en tredimensionell vågvektor k. Dessutom är varje k nu associerad med tre normala koordinater.

de nya indexen s = 1, 2, 3 märker polariseringen av fononerna. I den endimensionella modellen var atomerna begränsade till att röra sig längs linjen, så fononerna motsvarade längsgående vågor. I tre dimensioner är vibrationer inte begränsade till utbredningsriktningen och kan också förekomma i vinkelräta plan, som tvärgående vågor. Detta ger upphov till ytterligare normala koordinater, som, som formen av Hamiltonian indikerar, kan vi se som oberoende arter av fononer.

Dispersion relationEdit

Dispersion curves in linear diatomic chain

Optical and acoustic vibrations in a linear diatomic chain.

Dispersion relation ω = ω(k) for some waves corresponding to lattice vibrations in GaAs.

För en endimensionell alternerande uppsättning av två typer av Jon eller atom av massa m1, M2 upprepas periodiskt på ett avstånd a, förbundet med fjädrar av fjäderkonstant K, två vibrationslägen resultat:

2 = K ( 1 m 1 + 1 m 2) 2=K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) 2 − 4 2 = k 2 m 1 m 2 , {\displaystyle \Omega _{\pm }^{2} = k\vänster({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_}}\höger)\pm k {\sqrt {\vänster ({\frac {1} {m_{1}}}+{\frac {1} {m_{2}}}\höger)^{2}-{\frac {4\Sin ^{2} {\frac {KA} {2}}} {M_{1} M_{2}}}}},}

där k är vibrationens vågvektor relaterad till dess våglängd med k = 2 kg {\displaystyle K={\tfrac {2\pi }{\Lambda }}}

.

förbindelsen mellan frekvens och vågvektor, är känd som en dispersionsrelation. Plustecknet resulterar i det så kallade optiska läget och minustecknet till det akustiska läget. I det optiska läget rör sig två intilliggande olika atomer mot varandra, medan de i akustiskt läge rör sig tillsammans.

fortplantningshastigheten för en akustisk fonon, som också är ljudets hastighet i gitteret, ges av lutningen av det akustiska dispersionsförhållandet, kcal wk/kg k (se grupphastighet.) Vid låga värden på k (dvs. långa våglängder) är dispersionsförhållandet nästan linjärt och ljudets hastighet är ungefär wa, oberoende av fononfrekvensen. Som ett resultat kan paket av fononer med olika (men långa) våglängder sprida sig för stora avstånd över gallret utan att bryta isär. Detta är anledningen till att ljudet sprids genom fasta ämnen utan betydande snedvridning. Detta beteende misslyckas vid stora värden på k, dvs korta våglängder, på grund av gitterets mikroskopiska detaljer.

för en kristall som har minst två atomer i sin primitiva cell uppvisar dispersionsförhållandena två typer av fononer, nämligen optiska och akustiska lägen som motsvarar den övre blå och nedre röda kurvan i diagrammet. Den vertikala axeln är fononens energi eller frekvens, medan den horisontella axeln är vågvektorn. Gränserna vid −Bisexuell/A och bisexuell/A är de i den första Brillouin-zonen. En kristall med n 2 olika atomer i den primitiva cellen uppvisar tre akustiska lägen: ett longitudinellt akustiskt läge och två tvärgående akustiska lägen. Antalet optiska lägen är 3N-3. Den nedre figuren visar dispersionsförhållandena för flera fononlägen i GaAs som en funktion av wavevector k i huvudriktningarna för dess Brillouin-zon.

många phonon dispersionskurvor har uppmätts genom oelastisk neutronspridning.

ljudets fysik i vätskor skiljer sig från ljudets fysik i fasta ämnen, även om båda är densitetsvågor: ljudvågor i vätskor har endast längsgående komponenter, medan ljudvågor i fasta ämnen har längsgående och tvärgående komponenter. Detta beror på att vätskor inte kan stödja skjuvspänningar (men se viskoelastiska vätskor, som endast gäller för höga frekvenser).

tolkning av fononer med andra kvantiseringsteknikerredigera

den ovan härledda Hamiltonian kan se ut som en klassisk Hamiltonian-funktion, men om den tolkas som en operatör beskriver den en kvantfältteori av icke-interagerande bosoner.Den andra kvantiseringstekniken, som liknar stegen operatörsmetod som används för kvantharmoniska oscillatorer, är ett sätt att extrahera energiegenvärden utan att direkt lösa differentialekvationerna. Med tanke på Hamiltonian, H {\displaystyle {\mathcal {H}}}

, liksom konjugatpositionen, Q k {\displaystyle Q_{k}}

, och konjugat momentum 2 {\displaystyle \pi _{k}}

definierad i avsnittet kvantbehandling ovan kan vi definiera skapande och förintelse operatörer: b k = I ω k 2 ℏ ( Q k + i m ω k Π − k ) {\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{n}+{\frac {i}{m\omega _{n}}}\Pi _{k}\höger)}

och b k † = I ω k 2 ℏ ( Q − k − i i ω k Π k ) {\displaystyle {b_{k}}^{\dolk }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_ {k}-{\frac {i}{m\omega _{n}}}\Pi _{k}\höger)}

följande kommutatorer kan enkelt erhållas genom att ersätta i den kanoniska kommutationsrelationen:

= 2 {\displaystyle \left = \delta _{k , k’},\quad {\Big} = \left=0}

med hjälp av detta kan operatörerna BK och BK inverteras för att omdefiniera konjugatpositionen och momentum som:

Q k = ℏ 2 m ω k b k † + b − k ) {\displaystyle Q_{n}={\sqrt {\frac {\hbar }{2\omega _{n}}}}\left({b_{k}}^{\dolk }+b_ {k}\höger)}

och Π k = i ℏ m ω k 2 ( b k † − b − k ) {\displaystyle \Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dolk }-b_ {k}\höger)}

Direkt genom att ersätta dessa definitioner med q k {\displaystyle Q_{k}}

och occur k {\displaystyle \Pi _{k}}

i Wavevectorrymden Hamiltonian, som det definieras ovan, och förenkla sedan resulterar i Hamiltonian tar formen: H = oc k oc k ( b k oc k k + 1 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\hbar \Omega _{k}\vänster({b_{k}}^{\dolk }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\höger)}

detta är känt som den andra kvantiseringstekniken, även känd som ockupationsnummerformuleringen, där nk = BK brasilian BK är ockupationsnumret. Detta kan ses som en summa av n oberoende oscillator Hamiltonians, var och en med en unik vågvektor, och kompatibel med de metoder som används för quantum harmonisk oscillator (notera att nk är hermitian). När en Hamiltonian kan skrivas som en summa av pendling sub-Hamiltonians, energi egenstater kommer att ges av produkterna från egenstater för var och en av de separata sub-Hamiltonians. Motsvarande energispektrum ges sedan av summan av sub-Hamiltonians individuella egenvärden.

som med quantum harmonisk oscillator, kan man visa att BK och BK skapar respektive förstör ett enda fält excitation, en phonon, med en energi av XHamster.

tre viktiga egenskaper hos fononer kan härledas från denna teknik. För det första är fononer bosoner, eftersom ett antal identiska excitationer kan skapas genom upprepad tillämpning av skapningsoperatören BK VIII. För det andra är varje fonon ett ”kollektivt läge” orsakat av varje atoms rörelse i gallret. Detta kan ses från det faktum att skapande-och förintelseoperatörerna, definierade här i momentumutrymme, innehåller summor över positions-och momentumoperatörerna för varje atom när de skrivs i positionsutrymme (se position och momentumutrymme). Slutligen, med hjälp av position–position korrelationsfunktionen, kan det visas att fononer fungerar som vågor av gitterförskjutning.

denna teknik är lätt generaliserad till tre dimensioner, där Hamiltonian har formen:

H = CB k CB s = 1 3 CB k , s ( b k , s CB b k , s + 1 2 ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}= \ summa _{k} \ Summa _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\vänster({b_{k,s}}^{\dolk }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\höger).}