om vi sträcker ett gummiband runt ytan på ett äpple kan vi krympa ner det till en punkt genom att flytta det långsamt, utan att riva det och utan att låta det lämna ytan. Å andra sidan, om vi föreställer oss att samma gummiband på något sätt har sträckts i rätt riktning runt en munk, så finns det inget sätt att krympa det till en punkt utan att bryta antingen gummibandet eller munken. Vi säger att ytan på äpplet är” helt enkelt ansluten”, men att ytan på munken inte är. Poincar Macau, för nästan hundra år sedan, visste att en tvådimensionell sfär väsentligen kännetecknas av denna egenskap av enkel anslutning och ställde motsvarande Fråga för den tredimensionella sfären.

denna fråga visade sig vara utomordentligt svår. Nästan ett sekel gick mellan dess formulering 1904 av Henri Poincar Asia och dess lösning av Grigoriy Perelman, tillkännagavs i preprints publicerade den ArXiv.org under 2002 och 2003. Perelmans lösning baserades på Richard Hamiltons teori om Ricci-flöde och använde resultat på mätvärden på grund av Cheeger, Gromov och Perelman själv. I dessa artiklar bevisade Perelman också William Thurstons geometriseringsförmodan, ett speciellt fall av vilket är Poincar Bisexuell gissning. Se pressmeddelandet den 18 mars 2010.

bildkredit: http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/Special_Topics/Hyperbolic_Geometry/