vetenskap > fysik > skalar och vektorer > skalar och vektorer

i den här artikeln ska vi studera skalar och vektorer, deras egenskaper.

skalära kvantiteter eller skalärer:

de fysiska kvantiteter som endast har magnitud och som endast kan specificeras med ett tal och en enhet kallas skalära kvantiteter eller skalärer.

För t. ex. när vi anger tid kan vi säga som 20 sekunder, 1 år, 24 timmar etc. Här ger vi bara magnitud, dvs ett tal och en enhet. I detta fall är riktningen inte nödvändig.

fler exempel på skalärer: tid, avstånd, hastighet, massa, densitet, yta, volym, arbete, tryck, energi etc.

Skalärernas egenskaper:

• skalärmängderna har endast en magnitud.
• skalärerna kan läggas till eller subtraheras från varandra algebraiskt.
• när du skriver skalär kvantitet läggs inte en pil på huvudet på symbolen för kvantiteten.

Vektorkvantiteter eller vektorer:

de fysiska kvantiteterna som har både storleken och riktningen och som bör anges med både storlek och riktning kallas vektorkvantiteter eller vektorer.

För t.ex. när vi specificerar kroppens förskjutning måste vi ange storlek och riktning. Därför är förskjutning en vektorkvantitet.

fler exempel på vektorer: förskjutning, hastighet, acceleration, kraft, momentum, elektrisk intensitet, magnetisk induktion etc.

notera: En kvantitet är en vektorkvantitet om och endast om den har riktning och storlek och den följer reglerna för vektortillägg.

egenskaper hos vektorer:

• vektorkvantiteterna har både en storlek och en riktning.
• vektorerna kan inte läggas till eller subtraheras från varandra algebraiskt men vi måste anta en grafisk metod.
• när du skriver vektorkvantitet läggs en pil på huvudet på symbolen för kvantiteten.

Pseudovektorer:

vektorerna associerade med rotationsrörelse kallas pseudovektorer. De kallas också axiella vektorer. Deras riktning ligger längs rotationsaxeln.

exempel: vinkelförskjutning, vinkelhastighet, Vinkelacceleration, vridmoment etc.

polära vektorer:

vektorer associerade med linjär riktningseffekt kallas polära vektorer eller sanna vektorer. De har utgångspunkten eller tillämpningspunkten.

exempel: linjär hastighet, linjär acceleration, kraft, momentum etc.

tensorer:

det är en fysisk kvantitet som varken är skalär eller vektor. De har ingen bestämd riktning. De kan ha olika värden i olika riktningar. Dessa kvantiteter har storlek och riktning men de följer inte reglerna för vektortillägg.

exempel: tröghetsmoment, spänning, Ytspänning, elektrisk ström etc.

symbolisk Notation av vektorer:

en vektor representeras av ett brev med ett pilhuvud. Således representeras vektorn A som A. vektorns storlek representeras som / A/eller helt enkelt A.

en vektor kan också betecknas med två bokstäver. För t. ex. PQ vilket betyder att startpunkten (svansen) för vektorn är punkt P och slutpunkten för vektorn (huvudet) är vid punkt Q. vektorns riktning är från punkt P till punkt Q

Representation av en vektor:

ett linjesegment ritas så att dess längd representerar kvantitetens storlek till en lämplig skala och i vektorns givna riktning.

exempel: en förskjutningsvektor på 50 km mot nordost kan representeras enligt följande.

• välj en lämplig skala, säg 1cm = 10 km.
• välj en riktningsstandard som visas.
• rita ett linjesegment med längd 5 cm mot nordost.
• Visa pilen i riktning mot nordost.

terminologi för vektorer:

enhetsvektor:

en vektor med enhet (en) magnitud kallas en enhetsvektor. Enhetsvektorn i riktning mot vektorn Bisexuell betecknas med (ett lock).

anmärkningar:

• Om det rör sig om en enhetsvektor så är det en enhetsvektor.
• är Den enhet Vektorer längs den positiva riktningar i x -, y-och z-axlarna respektive är m×, ĵ, och
• Unit vector längs vektorn  ges av  =  / | |

Noll Noll eller Vektor:

En vektor med en nolla storleken kallas en noll eller Null-Vektor. Null-eller nollvektor betecknas med XXL (nollfält).

anmärkningar:

• för nollvektorn sammanfaller initiala och terminalpunkterna.
• Alla icke-nollvektorer kallas en riktig vektor.

Gratis vektor:

när det inte finns någon begränsning att välja vektorns ursprung kallas den en fri vektor.

lokaliserad vektor:

När det finns en begränsning för att välja vektorns ursprung kallas den som en lokaliserad vektor.

Reciprocal Vector:

vektorn som har samma riktning som den för Macau men har en storlek som är ömsesidig mot den för Macau kallas som en ömsesidig vektor. Den betecknas och ges av

dvs. Om AB = PQ då |AB| = |PQ| och AB || PQ

kollinära vektorer:

vektorer sägs vara kollinära om de ligger längs samma linje eller parallellt med en och samma linje. Om två vektorer är kollinära, kan var och en av dem uttryckas som en skalär multipel av den andra.

liknande vektorer:

vektorer med samma riktning kallas som vektorer.

Till skillnad från vektorer:

vektorer med motsatta riktningar kallas, till skillnad från vektorer.

Coplanar vektorer:

vektorer sägs vara coplanar om de ligger i samma plan eller parallellt med ett och samma plan.

negativ av en vektor:

negativ vektor är en vektor som har samma storlek som den givna vektorn men har motsatt riktning mot den givna vektorn. Negativ av vektorn är betecknad med -.

AB = – BA

jämlikhet av vektorer:

två vektorer sägs vara lika om och endast om de har samma storlek och samma riktning. Således har lika vektorer samma längd, samma parallella stöd och samma känsla. Om någon av dessa saker inte är samma, är de två vektorerna inte lika.

begreppet Positionsvektor för en punkt:

låt A vara vilken punkt som helst i rymden och O vara den fasta punkten i rymden då positionsvektorn (P. V) för punkten A w.r.t. till O definieras som vektorn OA. Positionsvektorn för punkten A w.r.T. fast punkt O betecknas med A eller A.

AB i termer av positionsvektorn för dess slutpunkter:

enligt triangellag, oa + ab = ob

Obbi ab = ob – oa

obbi AB = b – a = (p.v av b) – (p.V av A)

Standardenhetsvektorer eller rektangulära Enhetsvektorer:

enhetsvektorn längs den positiva x-axeln betecknas med XXL , enhetsvektorn längs den positiva y-axeln betecknas med XXL , enhetsvektorn längs den positiva z-axeln betecknas med .

Om A löses i två vektorer och längs x-axeln respektive y-axeln då genom triangellag för vektortillägg

A = Ax + Ay

a = ax-ax + ay-ox

vektorns storlek anges av

tredimensionellt system:

Om A löses i tre vektorer Ax, Ay, Az längs x-axeln, y-axeln och z-axeln respektive sedan genom polygonlag för vektortillägg

a = ax + ay + az

a = ax 2 + ay 2 + az k

vektorns storlek anges av

anmärkningar:

• komponenten i vektorn kan inte ha en storlek större än själva vektorn.
• en vektor är noll vektor om alla dess komponenter är noll.

multiplikation av Vektor med en skalär:

Om A = Ax + Ay + Az är en vektor och ’m’ är en skalär, har vi

m A =m Ax +m Ay +m Az

exempel – 01:

om P(3, -4, 5) är en punkt i rymden och hitta sedan op, |op| och en enhetsvektor längs op.

lösning:

OP = 3i-4j + 5k

/ OP| = √(3)2+ (-4)2+ (5)2

= √9+ 16+ 25 = √50 = 5√2 unit

enhetsvektor längs OP = OP/|OP| = (3i – 4J + 5k)/ 5 msk 2

exempel – 02:

• om A(1, 2, 3) och B(2, -1, 5) är två punkter i rymden, hitta sedan AB, |AB| och en enhetsvektor längs AB.

positionsvektor för punkt A = a = OA = i + 2j + 3k

positionsvektor för punkt B= b = OB = 2I-j + 5k

AB = b – a = (2i-j + 5k) – (i + 2J + 3K)