ämnet för verklig analys handlar om att studera beteende och egenskaper hos funktioner, sekvenser och uppsättningar på den reella tallinjen, som vi betecknar som matematiskt bekanta R. begrepp som vi vill undersöka genom verklig analys inkluderar egenskaper som gränser, kontinuitet, derivat (förändringshastigheter) och Integration (mängd förändring över tiden). Många av dessa tankar behandlas på en konceptuell eller praktisk nivå på lägre nivåer av matematik, inklusive en vanlig Förstaårskurs, och för den oinitierade läsaren kan ämnet för verklig analys verka ganska meningslöst och trivialt. Men verklig analys är på ett djup, komplexitet och utan tvekan skönhet, att det beror på att under ytan av vardaglig matematik finns det en försäkran om korrekthet, som vi kallar rigor, som genomsyrar hela matematiken. Således kan verklig analys i viss mån ses som en utveckling av en rigorös, väl beprövad ram för att stödja de intuitiva ideer som vi ofta tar för givet.

verklig analys är ett mycket enkelt ämne, eftersom det helt enkelt är en nästan linjär utveckling av matematiska ideer som du har stött på under hela din historia om matematik. Men istället för att förlita sig på ibland osäker intuition (som vi alla har känt när vi löste ett problem som vi inte förstod), kommer vi att förankra det till en rigorös uppsättning matematiska teorier. Under hela denna bok börjar vi se att vi inte behöver intuition för att förstå matematik – vi behöver en manual.

den övergripande avhandlingen i denna bok är hur man definierar de reella talen axiomatiskt. Hur skulle det fungera? Denna bok kommer att läsa på detta sätt: vi fastställer de egenskaper som vi tror definierar de reella talen. Vi bevisar sedan från dessa egenskaper – och endast dessa egenskaper-att de reella siffrorna beter sig på det sätt som vi alltid har föreställt oss att de ska bete sig. Vi kommer sedan att omarbeta alla våra elementära satser och fakta som vi samlat över våra matematiska liv så att allt kommer ihop, nästan som om det alltid har varit sant innan vi analyserade det; att det faktiskt var strikt hela tiden – förutom att vi nu kommer att veta hur det blev.

tro inte att när du har slutfört den här boken är matematiken över. I andra områden av akademiska studier, Det finns glimtar av en konstig rike matematik alltmer kommit i förgrunden av standardtanken. Efter att ha förstått den här boken verkar matematik nu som om den är ofullständig och saknar begrepp som du kanske har undrat tidigare. I den här boken kommer vi att ge glimtar av något mer till matematik än reella tal och verklig analys. När allt kommer omkring verkar matematiken vi pratar om här alltid bara involvera en variabel i ett hav av siffror och operationer och jämförelser.

Obs: en tabell med matematiska symboler som används nedan och deras definitioner finns i bilagan.

• förord
• gammal introduktion
• Manual of Style-Hur man läser denna wikibook

en utvald lista med kapitel som är kuraterade från andra böcker listas nedan. De bör bidra till att utveckla din matematiska stringens som är en nödvändig tankesätt du behöver i denna bok samt i högre matematik.

• uppsättningsteorin notation och matematiska bevis, från boken matematiska bevis
• erfarenheten av att arbeta med kalkylbegrepp, från boken Calculus