det allmänna problemet med vinkeltrisektion kan lösas genom att använda ytterligare verktyg och därmed gå utanför den ursprungliga grekiska ramen för kompass och rätning.

många felaktiga metoder för trisecting den allmänna vinkeln har föreslagits. Några av dessa metoder ger rimliga approximationer; andra (av vilka några nämns nedan) involverar verktyg som inte är tillåtna i det klassiska problemet. Matematikern Underwood Dudley har detaljerat några av dessa misslyckade försök i sin bok Trisektorerna.

Approximation genom successiv bisectionsEdit

Trisection kan approximeras genom upprepning av kompassen och straightedge metod för bisecting en vinkel. Den geometriska serien 1/3 = 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ eller 1/3 = 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ kan användas som grund för bisektionerna. En approximation till någon grad av noggrannhet kan erhållas i ett begränsat antal steg.

använda origamiEdit

Trisection, som många konstruktioner som är omöjliga av linjal och kompass, kan enkelt åstadkommas genom pappersvikning eller origami. Huzitas Axiom (typer av vikningsoperationer) kan konstruera kubiska förlängningar (kubrötter) av givna längder, medan linjal-och-kompass endast kan konstruera kvadratiska förlängningar (kvadratrötter).

använda en länkedit

Sylvesters Länkfläkt

det finns ett antal enkla länkar som kan användas för att göra ett instrument för att trisect vinklar inklusive Kempes trisektor och Sylvesters länkfläkt eller isoklinostat.

med en höger triangulär rulerEdit

Trisektion av vinkeln med hjälp av Rechtwinkelhaken enligt till Ludwig bieberbach, med fortsättning av konstruktionen, animation 1 min 35 s, av vilka bryta i slutet 30 s.

i 1932, Ludwig bieberbach publiceras i tidskriften f Reine och angewandte Mathematik hans arbete zur Lehre von den kubischen konstruktionen. Han säger däri (fri översättning):

”som det är känt … varje kubisk konstruktion kan spåras tillbaka till vinkelns trisektion och till multiplikationen av kuben, det vill säga extraktionen av den tredje roten. Jag behöver bara visa hur dessa två klassiska uppgifter kan lösas med hjälp av rätt vinkelkrok.”

följande beskrivning av den intilliggande konstruktionen (animering) innehåller deras fortsättning upp till den fullständiga vinkeltrisektionen.

det börjar med den första enhetscirkeln runt dess centrum A {\displaystyle a}

, den första vinkelbenet B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

och den andra enhetscirkeln runt p {\displaystyle p}

följer den. Nu diametern B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

från P {\displaystyle p}

utvidgas till cirkellinjen i denna enhetscirkel, skärningspunkten o {\displaystyle o}

skapas. Efter cirkeln båge runt P {\displaystyle p}

med radien B P {\displaystyle {\overline {BP}}}

och ritningen av den andra vinkeln lem från vinkeln displaystyle\Delta }

, punkten C {\displaystyle C}

resultat. Nu används det så kallade ytterligare konstruktionsmedlet, i det illustrerade exemplet är det Geodreieck. Denna geometriska triangel, som den också kallas, placeras nu på ritningen på följande sätt: vertexen i rätt vinkel bestämmer punkten S {\displaystyle s}

på vinkelbenet P C {\displaystyle {\overline {PC}}}

, en katetus av triangeln passerar genom punkten O {\displaystyle o}

och den andra påverkar enhetscirkeln A {\displaystyle a}

. Efter anslutning av punkten O {\displaystyle o}

till S {\displaystyle s}

och dra tangenten Från s {\displaystyle s}

till enhetscirkeln runt A {\displaystyle a}

visas ovan nämnda högervinkelkrok rechtwinkelhaken. Vinkeln innesluten av segmenten O s {\displaystyle {\overline {OS}}}

och P s {\displaystyle {\overline {PS}}}

är alltså exakt 3 {\displaystyle {\frac {\Delta }{3}}}

. Det går vidare med parallellen till O s {\displaystyle {\overline {OS}}}

från P {\displaystyle p}

, den alternativa vinkeln för 3 {\displaystyle {\frac {\Delta }{3}}}

och punkten D {\displaystyle D}

skapas. En ytterligare parallell med O s {\displaystyle {\overline {OS}}}

från en {\displaystyle a}

bestämmer kontaktpunkten E {\displaystyle E}

från tangenten med enhetscirkeln om en {\displaystyle a}

. Slutligen rita en rak linje från P {\displaystyle p}

genom E {\displaystyle E}

tills den skär enhetscirkeln i F {\displaystyle F}

. Således har vinkeln 2 {\displaystyle \ delta }

exakt tre delar.

med en extra curveEdit

• Trisektion med den arkimediska spiralen

• trisektion med Maclaurin trisectrix

det finns vissa kurvor som kallas trisektriser som, om de ritas på planet med andra metoder, kan användas för att trisektera godtyckliga vinklar. Exempel inkluderar Trisektrisen av Colin Maclaurin, ges i kartesiska koordinater med den implicita ekvationen

2 x ( x 2 + y 2 ) = a ( 3 x 2 − y 2 ) , {\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}

och den arkimediska spiralen. Spiralen kan faktiskt användas för att dela en vinkel i valfritt antal lika delar.

med en markerad rulerEdit

Trisektion av vinkeln med markerad linjal

ett annat sätt att trisect en godtycklig vinkel med ett ”litet” steg utanför det grekiska ramverket är via en linjal med två märken en uppsättning avstånd från varandra. Nästa konstruktion beror ursprungligen på Archimedes, kallad en Neusis-Konstruktion, det vill säga som använder andra verktyg än en un-märkt rätning. Diagrammen vi använder visar denna konstruktion för en spetsig vinkel, men det fungerar verkligen för alla vinklar upp till 180 grader.

detta kräver tre fakta från geometri (till höger):

1. varje fullständig uppsättning vinklar på en rak linje lägger till 180 kg,
2. summan av vinklar i vilken triangel som helst är 180 kg, och
3. två lika sidor av en likbent triangel kommer att möta den tredje i samma vinkel.

låt l vara den horisontella linjen i det intilliggande diagrammet. Vinkel A (vänster om punkt B) är föremål för trisektion. Först dras en punkt A i en vinkelstråle, en enhet bortsett från B. En cirkel med radie AB ritas. Sedan, linjalens markering spelar in: ett märke på linjalen placeras vid A och det andra vid B. medan linjalen (men inte märket) vidrör A, skjuts linjalen och roteras tills ett märke är på cirkeln och det andra är på linjen l. märket på cirkeln är märkt C och märket på linjen är märkt D. Detta säkerställer att CD = AB. En radie BC dras för att göra det uppenbart att linjesegmenten AB, BC och CD alla har samma längd. Nu är trianglarna ABC och BCD isosceles, så (faktiskt 3 ovan) har var och en två lika vinklar.

hypotes: Givet AD är en rak linje, och AB, BC och CD har alla samma längd,

slutsats: vinkel b = A/3.

Proof:

1. från fakta 1) ovan, e + c = 180 {\displaystyle e+c=180}
   

   exporterande tillverkare.

2. Om man tittar på triangeln BCD, från faktum 2) e + 2 b = 180 {\displaystyle e+2B=180}
   

   xhamster.

3. från de två sista ekvationerna, c = 2 b {\displaystyle c=2b}
   

   .

4. From Fact 2), d + 2 c = 180 {\displaystyle d+2c=180}
   

   °, thus d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 2 c {\displaystyle -2c}

   

   , so from last, d = 180 {\displaystyle d=180}

   

   ° − 4 b {\displaystyle -4b}

   

   .

5. från fakta 1) ovan, a + d + b = 180 {\displaystyle a+d+b=180}
   

   , alltså a + ( 180 {\displaystyle a+(180}

   

   0B ) + B = 180 {\displaystyle − 4b)+B=180}

   

   2b.

Clearing, a – 3b = 0 eller a = 3b, och satsen bevisas.

återigen steg denna konstruktion utanför ramen för tillåtna konstruktioner genom att använda en markerad rätning.

med en strängredigera

Thomas Hutcheson publicerade en artikel i matematikläraren som använde en sträng istället för en kompass och rak kant. En sträng kan användas som antingen en rak kant (genom att sträcka den) eller en kompass (genom att fixera en punkt och identifiera en annan), men kan också lindas runt en cylinder, nyckeln till Hutchesons lösning.

Hutcheson konstruerade en cylinder från den vinkel som skulle trisekteras genom att dra en båge över vinkeln, slutföra den som en cirkel och konstruera från den cirkeln en cylinder på vilken en liksidig triangel var inskriven (en 360-graders vinkel uppdelad i tre). Detta ”kartlades” sedan på vinkeln som skulle triseras, med ett enkelt bevis på liknande trianglar.

med en”tomahawk” redigera

en tomahawk trisecting en vinkel. Handtaget bildar en trisektor och den blå linjen som visas bildar den andra.

en ”tomahawk” är en geometrisk form som består av en halvcirkel och två ortogonala linjesegment, så att längden på det kortare segmentet är lika med cirkelns radie. Trisektion utförs genom att luta änden av tomahawks kortare segment på en stråle, cirkelns kant på den andra, så att ”handtaget” (längre segment) korsar vinkelns toppunkt; trisektionslinjen går mellan toppunktet och mitten av halvcirkeln.

Observera att medan en tomahawk är konstruerbar med kompass och rätning, är det i allmänhet inte möjligt att konstruera en tomahawk i någon önskad position. Således motsäger ovanstående konstruktion inte nontrisectibility av vinklar med linjal och kompass ensam.

tomahawk ger samma geometriska effekt som pappersvikningsmetoden: avståndet mellan cirkelcentrum och spetsen på det kortare segmentet är dubbelt så långt som radien, vilket garanteras att komma i kontakt med vinkeln. Det motsvarar också användningen av en arkitekter L-linjal (Carpenter ’ s Square).

med sammankopplade kompassesedit

en vinkel kan trisekteras med en anordning som i huvudsak är en fyrkantig version av en kompass, med kopplingar mellan stiften utformade för att hålla de tre vinklarna mellan intilliggande stift lika.