5.15: vergelijkingen van Poisson en Laplace
In deze sectie ontwikkelen we een alternatieve benadering voor het berekenen van \(V({\bf r})\) die deze randvoorwaarden aanpast, en daardoor de analyse van het scalaire potentiaalveld in de nabijheid van structuren en ruimtelijk variërende materiaaleigenschappen vergemakkelijkt. Deze alternatieve benadering is gebaseerd op Poissons vergelijking, die we nu afleiden.
we beginnen met de differentiële vorm van de wet van Gauss (paragraaf 5.7):
\
\
vervolgens passen we de relatie toe (paragraaf 5.14):
\ yielding \
Dit is de vergelijking van Poisson, maar het is niet in de vorm waarin het gewoonlijk wordt gebruikt. Om de alternatieve vorm te verkrijgen, overweeg dan de operator \(\nabla \ cdot \ nabla\) in Cartesische coördinaten:
\
Poissons vergelijking (vergelijking \ref{m0067_ePoisson}) stelt dat de Laplaciaan van het elektrisch potentiaalveld gelijk is aan de volumeladingsdichtheid gedeeld door de permittiviteit, met een verandering van teken.
merk op dat de vergelijking van Poisson een partiële differentiaalvergelijking is, en daarom kan worden opgelost met behulp van bekende technieken die al zijn ontwikkeld voor dergelijke vergelijkingen. In feite is Poissons vergelijking een inhomogene differentiaalvergelijking, waarbij het inhomogene deel \(- \rho_v/\ Epsilon\) de bron van het veld voorstelt. In de aanwezigheid van materiaalstructuur identificeren we de relevante randvoorwaarden op de interfaces tussen materialen, en de taak om \(V({\bf r})\) te vinden wordt gereduceerd tot de puur wiskundige taak om het bijbehorende probleem van de grenswaarde op te lossen (zie “aanvullende lezing” aan het einde van deze sectie). Deze aanpak is vooral effectief wanneer een van de materialen een perfecte geleider is of als zodanig kan worden gemodelleerd. Dit komt omdat – zoals opgemerkt aan het begin van deze sectie – de elektrische potentiaal op alle punten op het oppervlak van een perfecte geleider gelijk moet zijn, wat resulteert in een bijzonder eenvoudige randvoorwaarde.
in veel andere toepassingen ligt de lading die verantwoordelijk is voor het elektrische veld buiten het domein van het probleem, d.w.z. we hebben een niet-nul elektrisch veld (dus potentieel niet-nul elektrisch potentieel) in een gebied dat gratis is. In dit geval vereenvoudigt de vergelijking van Poisson tot de vergelijking van Laplace:
\
Laplace ‘ s vergelijking (vergelijking \ref{m0067_eLaplace}) stelt dat de Laplaciaan van het elektrisch potentiaalveld nul is in een bronvrij gebied.