ebben a részben kidolgozunk egy alternatív megközelítést a \(V({\bf r})\) kiszámításához, amely megfelel ezeknek a határfeltételeknek, és ezáltal megkönnyíti a skaláris potenciálmező elemzését a struktúrák és a térben változó anyagtulajdonságok közelében. Ez az alternatív megközelítés Poisson Egyenletén alapul, amelyet most levezetünk.

A Gauss-törvény differenciális formájával kezdjük (5.7. szakasz):

\

\

ezután alkalmazzuk a kapcsolatot (5.14 szakasz):

\ hozam \

Ez Poisson egyenlete, de nem abban a formában, amelyben általában alkalmazzák. Az alternatív forma megszerzéséhez vegye figyelembe a \(\nabla \cdot \nabla\) operátort derékszögű koordinátákban:

\

vegye figyelembe, hogy Poisson egyenlete parciális differenciálegyenlet, ezért megoldható az ilyen egyenletekre már kialakított jól ismert technikákkal. Valójában Poisson-egyenlet egy inhomogén differenciálegyenlet, amelynek inhomogén része \(- \rho_v / \ epsilon\) képviseli a mező forrását. Az Anyagszerkezet jelenlétében azonosítjuk a releváns peremfeltételeket az anyagok közötti interfészeken, és a \(V({\bf r})\) megtalálásának feladata a kapcsolódó határérték-probléma megoldásának tisztán matematikai feladatára redukálódik (lásd a szakasz végén a “további olvasatot”). Ez a megközelítés különösen akkor hatékony, ha az egyik anyag tökéletes vezető, vagy mint ilyen anyag modellezhető. Ennek oka az, hogy – amint azt e szakasz elején megjegyeztük-a tökéletes vezető felületének minden pontján az elektromos potenciálnak egyenlőnek kell lennie, ami különösen egyszerű határfeltételt eredményez.

sok más alkalmazásban az elektromos térért felelős töltés a probléma tartományán kívül esik; azaz nem nulla elektromos mező (tehát potenciálisan nem nulla elektromos potenciál) van egy olyan régióban, amely ingyenes. Ebben az esetben Poisson egyenlete egyszerűsödik Laplace Egyenletére:

\