we hebben gezien dat een mechanisch systeem onderhevig aan conservatieve krachten in evenwicht is wanneer de afgeleiden van de potentiële energie ten opzichte van de coördinaten nul zijn. Een methode om dergelijke problemen op te lossen is daarom om een uitdrukking voor de potentiële energie op te schrijven en de afgeleiden gelijk te stellen aan nul.

een zeer vergelijkbare methode is het principe van virtueel werk te gebruiken. In deze methode stellen we ons voor dat we op zo ‘ n manier naar het systeem handelen dat we een van de coördinaten vergroten. We stellen ons bijvoorbeeld voor wat er zou gebeuren als we een van de veren zouden strekken, of de hoek tussen twee verbonden staven vergroten, of de hoek die de ladder maakt als hij tegen de muur leunt. We vragen ons af hoeveel werk we aan het systeem moeten doen om deze coördinatie met een kleine hoeveelheid te vergroten. Als het systeem vanuit evenwicht vertrekt, zal dit werk zeer klein zijn, en, in de grens van een infinitesimaal kleine verplaatsing, zal dit “virtuele werk” nul zijn. Deze methode verschilt heel weinig van het instellen van de afgeleide van de potentiële energie op nul. Ik noem het hier, echter, omdat het concept nuttig zou kunnen zijn in hoofdstuk 13 bij het beschrijven van Hamilton ‘ s variationele Principe.

laten we beginnen met het doen van een eenvoudig ladderprobleem door de methode van virtueel werk. De gebruikelijke uniforme ladder van de middelbare schoolfysica, van lengte \( 2l\) en gewicht \( mg\), leunt in het beperken van het statische evenwicht tegen de gebruikelijke gladde verticale wand en de ruwe horizontale vloer waarvan de coëfficiënt van het beperken van statische wrijving \( \mu\) is. Wat is de hoek \(\theta \) die de ladder maakt met de verticale wand?

er zijn verschillende manieren om dit te doen, die bij veel lezers bekend zullen zijn. De enige kleine herinnering die Ik zal geven is erop te wijzen dat, als je de twee krachten aan de voet van de ladder wilt combineren in een enkele kracht die naar boven en iets naar links werkt, zodat er dan slechts drie krachten op de ladder werken, de drie krachten moeten handelen door middel van een enkel punt, dat boven het midden van de ladder en rechts van het punt van contact met de muur. Maar we zijn nu geïnteresseerd in het oplossen van dit probleem door het principe van virtueel werk.

voordat ik begin, moet ik waarschuwen dat het belangrijk is om bij het gebruik van het principe van virtueel werk zorgvuldig om te gaan met tekens, en in dat opzicht herinner ik de lezers eraan dat in de differentiaalrekening de symbolen \( \delta\) en \( d\) voor een scalaire hoeveelheid \( x\) niet “een kleine verandering” of “een infinitesimale verandering” in \( x\) betekenen. Die taal is vaag. De symbolen staan voor “een kleine toename” en “een infinitesimale toename”.

let us notice of the following distances:

\

en

\

\

en

\

verder, indien \( \theta\) zou worden verhoogd met \( \delta\theta\), zou het werk van de kracht op C \( mg\) maal de afname van de afstand CD zijn, en het werk van de wrijvingskracht op E minus \( \mu mg\) maal de toename van de afstand zijn. De andere twee krachten werken niet. Dus het” virtuele werk ” dat door de externe krachten op de ladder wordt gedaan is

om de expressie voor het virtuele werk op nul te zetten, krijgen we

\

u moet controleren of dit hetzelfde antwoord is als u krijgt van andere methoden – het makkelijkste is waarschijnlijk om momenten over E.

Er is iets over virtueel werk dat me aan thermodynamica doet denken. De eerste wet van de thermodynamica is bijvoorbeeld \ (\Delta U=\Delta q+ \ Delta w\), waarbij \( \Delta u\) de toename van de interne energie van het systeem is, \ (\Delta q\) de warmte die aan het systeem wordt toegevoegd, en \( \Delta w\) het werk aan het systeem is. Voorzetsels spelen een belangrijke rol in de thermodynamica. Het is altijd verplicht om duidelijk en ondubbelzinnig aan te geven of het werk wordt gedaan door de zuiger op het gas, of door het gas op het systeem; of warmte wordt gewonnen door het systeem of verloren van het. Zonder deze voorzetsels is alle discussie zinloos. Ook bij het oplossen van een probleem door het principe van virtueel werk, is het altijd essentieel om te zeggen of je het werk beschrijft dat door een kracht wordt gedaan op welk deel van het systeem (op de ladder of op de vloer?) en of u een toename of een afname van een bepaalde lengte of hoek beschrijft.

laten we nu overgaan tot een iets moeilijker probleem, dat we zullen proberen met drie verschillende methoden – waaronder die van virtueel werk.

in Figuur IX. 5 is een uniforme staaf AB van gewicht \( Mg\) en lengte \( 2a\) vrij scharnierend aan A. Het uiteinde B draagt een gladde ring van verwaarloosbare massa. Een licht onspannbare string van lengte \ (l\) heeft een uiteinde dat is bevestigd aan een vast punt C op hetzelfde niveau als A en ver weg \( 2a\) ervan. Het gaat door de ring en draagt aan het andere uiteinde een gewicht \( \frac{1}{10}Mg\) dat vrij hangt. (De “gladde” ring betekent dat de spanning in de koord hetzelfde is aan beide zijden van de ring.) Zoek de hoekcabine wanneer het systeem in evenwicht is.

Ik heb verschillende hoeken en lengtes gemarkeerd, die gemakkelijk kunnen worden bepaald aan de hand van de geometrie van het systeem, en ik heb ook de vier krachten op de staaf gemarkeerd.

laten we eerst een zeer conventionele methode proberen. We weten vrij weinig over de kracht R van het scharnier op de staaf (hoewel zie hieronder), en daarom is dit een goede reden om momenten te nemen over het punt A. We krijgen meteen

\

laten we nu hetzelfde probleem proberen met behulp van energieomstandigheden. We nemen het nulpunt van potentiële energie wanneer de staaf horizontaal is-op welk moment de kleine massa zich op een afstand l Onder het niveau AC bevindt.

\= – \ frac{2}{3}Mga (3\sin\theta-\sin\frac{1}{2}\theta)\]

De afgeleide is

\

laten we het nu proberen door virtueel werk. We gaan \( \theta\) verhogen met \( \delta\theta\) en kijken hoeveel werk er gedaan wordt.

dus het virtuele werk is

\

als we dit gelijk stellen aan nul, krijgen we hetzelfde resultaat als hiervoor.