elk lid van de populatie vordert typisch van vatbaar voor infectieus naar hersteld. Dit kan worden weergegeven als een stroomschema waarin de vakken vertegenwoordigen de verschillende compartimenten en de pijlen van de overgang tussen de compartimenten, d.w.z.

Overgang ratesEdit

Voor de volledige specificatie van het model, de pijlen moeten worden gelabeld met de overgang tarieven tussen de compartimenten. Tussen S en I wordt aangenomen dat de overgangssnelheid d(S/N)/dt = -ßSI/N2 is, waarbij N de totale populatie is, β Het gemiddelde aantal contacten per persoon per tijd, vermenigvuldigd met de kans op overdracht van de ziekte bij een contact tussen een vatbare en een infectieuze persoon, en SI/N2 de fractie van die contacten tussen een besmettelijk en een vatbaar individu is die ertoe leiden dat de vatbare persoon besmet raakt. (Dit is wiskundig vergelijkbaar met de wet van massa-actie in de chemie waarbij willekeurige botsingen tussen moleculen resulteren in een chemische reactie en de fractionele snelheid is proportioneel aan de concentratie van de twee reagentia).

tussen I en R wordt aangenomen dat de overgangssnelheid evenredig is met het aantal infectieuze individuen dat yI is. Dit is gelijk aan de veronderstelling dat de kans dat een infectieus individu herstelt in een tijdsinterval DT gewoon ydt is. Als een individu gedurende een gemiddelde periode d besmettelijk is, dan γ = 1 / D. Dit komt ook overeen met de aanname dat de tijdsduur die een individu in de infectieuze toestand doorbrengt een willekeurige variabele is met een exponentiële verdeling. Het” klassieke ” SIR-model kan worden gewijzigd door gebruik te maken van meer complexe en realistische distributies voor de i-R-overgangssnelheid (bijvoorbeeld de Erlang-distributie).

Voor het speciale geval waarin er geen verwijdering uit het infectiecompartiment (γ=0) plaatsvindt, reduceert het SIR-model zich tot een zeer eenvoudig SI-model, dat een logistieke oplossing heeft, waarin ieder individu uiteindelijk besmet raakt.

het SIR-model zonder vital dynamicsEdit

de dynamiek van een epidemie, bijvoorbeeld griep, is vaak veel sneller dan de dynamiek van geboorte en dood, daarom worden geboorte en dood vaak weggelaten in eenvoudige compartimentele modellen. Het SIR-systeem zonder zogenaamde vitale dynamiek (geboorte en dood, soms Demografie genoemd) zoals hierboven beschreven, kan worden uitgedrukt door de volgende reeks gewone differentiaalvergelijkingen:

d S d t = − β I S S e N , d I d t = β I S N − γ I , d o o R d t = γ I , {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta}{N}},\\&{\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta}{N}}-\gamma I,\\&{\frac {dR}{dt}}=\gamma I,\end{aligned}}}

waar de S {\displaystyle S}

is de voorraad van de gevoelige populatie, I {\displaystyle I}

is de voorraad van besmette, R {\displaystyle R}

is de voorraad verwijderd bevolking (hetzij door de dood of herstel), en N {\displaystyle N}

de som van deze drie. dit model werd voor het eerst voorgesteld door William Ogilvy Kermack en Anderson Gray McKendrick als een speciaal geval van wat we nu Kermack–McKendrick theorie noemen, en volgde werk dat McKendrick had gedaan met Ronald Ross.

Dit systeem is niet-lineair, maar het is mogelijk om zijn analytische oplossing in impliciete vorm af te leiden. Merk eerst op dat uit:

d S d T + d I d T + d R d t = 0 , {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}+{\frac {dI}{dt}}+{\frac {dR}{dt}}=0,}

hieruit volgt dat:

S ( T ) + I ( t ) + R ( T ) = constant = n , {\displaystyle S(T)+I(t)+R(T)={\text{constant}}=N,}

constantheid van de populatie n {\displaystyle N}

. Merk op dat de bovenstaande relatie impliceert dat men slechts de vergelijking voor twee van de drie variabelen hoeft te bestuderen.

ten tweede merken we op dat de dynamiek van de infectieuze klasse afhangt van de volgende verhouding:

R 0 = β γ, {\displaystyle R_{0} = {\frac {\beta } {\gamma }},}

het zogenaamde basic reproduction number (ook wel basic reproduction ratio genoemd). Deze verhouding wordt afgeleid als het verwachte aantal nieuwe infecties (deze nieuwe infecties worden soms secundaire infecties genoemd) uit een enkele infectie in een populatie waar alle proefpersonen gevoelig zijn. Dit idee kan waarschijnlijk beter worden gezien als we zeggen dat de typische tijd tussen contacten T c = β − 1 {\displaystyle T_{c}=\beta ^{-1}}

, en de typische tijd tot verwijdering is t r = γ − 1 {\displaystyle T_{r}=\gamma ^{-1}}

. Hieruit volgt dat, gemiddeld, het aantal contacten van een besmettelijk individu met anderen voordat het besmettelijk is verwijderd is: T r / T c . {\displaystyle T_{r} / T_{c}.}

Door het verdelen van de eerste differentiaal vergelijking met het derde, het scheiden van de variabelen en het integreren we krijgen

S ( t ) = S ( 0 ) e − R-0 ( R ( t ) − R ( 0 ) ) / N , {\displaystyle S(t)=S(0)e^{-R_{0}(R(t)-R(0))/N},}

waar S ( 0 ) {\displaystyle S(0)}

en R ( 0 ) {\displaystyle R(0)}

zijn de eerste nummers van, respectievelijk, gevoelig en verwijderd onderwerpen. Het schrijven van s 0 = S ( 0 ) / N {\displaystyle s_{0}=S(0)/N}

voor het eerste deel van gevoelige personen, en s ∞ = S ( ∞ ) / N {\displaystyle s_{\infty }=S(\infty )/N}

en r ∞ = R ( ∞ ) / N {\displaystyle r_{\infty }=R(\infty )/N}

voor het aandeel van de gevoelige en verwijderd individuen respectivelyin de limiet t → ∞ , {\displaystyle t\to \infty ,}

men ‘ s ∞ = 1 − r ∞ = n 0 e − R-0 ( r ∞ − r-0 ) {\displaystyle s_{\infty }=1-r_{\infty }=s_{0}e^{-R_{0}(r_{\infty }-r_{0})}}

(merk op dat de besmettelijke compartiment leegt in deze limiet).Deze transcendentale vergelijking heeft een oplossing in termen van de Lambert W-functie, namelijk

s ∞ = 1-r ∞ = – R 0 – 1 W (−S 0 R 0 e − R 0 (1-r 0 ) ) . {\displaystyle s_ {\infty } = 1-r_ {\infty } = – R_{0}^{-1}\, W (- s_{0}R_{0}e^{- R_{0}(1-r_{0})}).}

Dit toont aan dat aan het einde van een epidemie die voldoet aan de eenvoudige veronderstellingen van het SIR-model, tenzij s 0 = 0 {\displaystyle s_{0}=0}

, niet alle individuen van de populatie zijn verwijderd, dus sommige moeten gevoelig blijven. Een drijvende kracht die leidt tot het einde van een epidemie is een daling van het aantal infectieuze individuen. De epidemie eindigt meestal niet als gevolg van een volledig gebrek aan gevoelige individuen.

de rol van zowel het basale reproductiegetal als de initiële gevoeligheid is uiterst belangrijk. In feite, bij het herschrijven van de vergelijking voor infectieuze individuen als volgt:

d I d t = ( R 0 S N − 1 ) γ I , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}=\left(R_{0}{\frac {S}{N}}-1\right)\gamma I,}

het levert op dat als:

R 0 ⋅ S ( 0 ) > N , {\displaystyle R_{0}\cdot S(0)>N,}

vervolgens:

d I d t ( 0 ) > 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)>0,}

d.w.z. een goede epidemie uitbraak met een toename van het aantal van de infectieuze (die een aanzienlijk deel van de bevolking kan bereiken). Integendeel, als

R 0 ⋅ S ( 0 ) < N , {\displaystyle R_{0}\cdot S(0)<N,}

en

d I d t ( 0 ) < 0 , {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}(0)<0,}

d.w.z. onafhankelijk van de initiële grootte van de gevoelige populatie de ziekte kan nooit de oorzaak zijn van een goede epidemie uitbreken. Het is dan ook duidelijk dat zowel het basale voortplantingsgetal als de initiële gevoeligheid uiterst belangrijk zijn.

the force of infectionEdit

merk op dat in het bovenstaande model de functie:

F = β I, {\displaystyle F= \ beta i,}

modelleert de overgangssnelheid van het compartiment van vatbare individuen naar het compartiment van infectieuze individuen, zodat het de kracht van infectie. Voor grote klassen overdraagbare ziekten is het echter realistischer om een infectiekracht te beschouwen die niet afhangt van het absolute aantal infectieuze proefpersonen, maar van hun fractie (met betrekking tot de totale constante populatie N {\displaystyle N}

): F = β i n . {\displaystyle F= \ beta {\frac {I}{N}}.}

Capasso en daarna hebben andere auteurs niet-lineaire infectiekrachten voorgesteld om het besmettingsproces realistischer te modelleren.

exacte analytische oplossingen voor het SIR-modelEdit

in 2014 hebben Harko en coauteurs een exacte zogenaamde analytische oplossing afgeleid (met een integraal die alleen numeriek kan worden berekend) voor het SIR-model. In het geval zonder vital dynamics setup, voor S ( u)=S ( t) {\displaystyle {\mathcal {s}}(u)=S(t)}

, etc. het komt overeen met de volgende parametrisatie S ( u ) = S ( 0 ) u {\displaystyle {\mathcal {S}}(u)=S(0)u}

I ( u ) = N − R ( u ) − S ( u ) {\displaystyle {\mathcal {I}}(u)=N{\mathcal {R}}(u)-{\mathcal {S}}(u)}

R ( u ) = R ( 0 ) − ρ ln ⁡ ( u ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(r)=R(0)-\rho \ln(u)}

voor

t = N β ∫ u 1 d u ∗ u ∗ I ( u ∗ ) , ρ = γ N β , {\displaystyle t={\frac {N}{\beta }}\int _{u}^{1}{\frac {du^{*}}{r^{*}{\mathcal {I}}(u^{*})}},\quad \rho ={\frac {\gamma N}{\beta }},}

met de initiële voorwaarden

( S ( 1 ) , I ( 1 ) , R ( 1 ) ) = ( S ( 0 ) , N − R ( 0 ) − S ( 0 ) , R ( 0 ) ) , T < u < 1 , {\displaystyle ({\mathcal {S}}(1),{\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}

where u T {\displaystyle u_{T}}

satisfies I ( u T ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}

. Door de transcendente vergelijking voor R ∞ {\displaystyle R_{\infty }}

bovenstaande volgt dat T = e − ( R ∞ R ( 0 ) ) / ρ ( = S ∞ / S ( 0 ) {\displaystyle u_{T}=e^{-(R_{\infty }-R(0))/\rho }(=S_{\infty }/S(0)}

, als S ( 0 ) ≠ 0 ) {\displaystyle S(0)\neq 0)}

en ik ∞ = 0 {\displaystyle I_{\infty }=0}

.

Een gelijkwaardig zogenaamde analytische oplossing (waarbij een integrale, die alleen kunnen worden berekend numeriek) gevonden door Miller rendementen

S ( t ) = S ( 0 ) e − ξ ( t ) I ( t ) = N − S ( t ) − R ( t ) R ( t ) = R ( 0 ) + ρ ξ ( t ) ξ ( t ) = β N ∫ 0 t I ( t ∗ ) d t ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}R(t)&=S(0)e^{-\xi (t)}\\I(t)&=N-S(t)-R(t)\\R(t)&=R(0)+\rho \xi (t)\\\xi (t)&={\frac {\beta }{N}}\int _{0}^{t}I(t^{*})\,dt^{*}\end{aligned}}}

Hier ξ ( t ) {\displaystyle \xi (t)}

geïnterpreteerd kan worden als het verwachte aantal transmissies dat een individu heeft ontvangen door de tijd t {\displaystyle t}

. De twee oplossingen zijn gerelateerd door E-ξ ( T)=u {\displaystyle e^{-\xi (t)}=u}

.

hetzelfde resultaat is te vinden in het originele werk van Kermack en McKendrick.

deze oplossingen kunnen gemakkelijk worden begrepen door op te merken dat alle termen aan de rechterkant van de oorspronkelijke differentiaalvergelijkingen evenredig zijn met I {\displaystyle I}

. De vergelijking kan dus worden verdeeld door middel van I {\displaystyle I}

, en de tijd aangepast, zodat de differentiaal operator op de linkerkant wordt gewoon d / d τ {\displaystyle d/d\tau }

, waar d τ = I d t {\displaystyle d\tau =Idt}

, d.w.z. τ = ∫ I d t {\displaystyle \tau =\int Idt}

. De differentiaalvergelijkingen zijn nu allemaal lineair, en de derde vergelijking, van de vorm D R / D τ = {\displaystyle dR/d\tau =}

const., toont aan dat τ {\displaystyle \tau }

en R {\displaystyle R}

(en ξ {\displaystyle \xi }

boven) zijn gewoon lineair gerelateerd. een zeer nauwkeurige analytische benadering van het SIR-model werd door Kröger en Schlickeiser verstrekt, zodat het niet nodig is een numerieke integratie uit te voeren om het SIR-model op te lossen, om zijn parameters uit bestaande gegevens te verkrijgen, of om de toekomstige dynamiek van een epidemieën te voorspellen die door het SIR-model worden gemodelleerd. De approximant omvat de Lambert W functie die deel uitmaakt van alle basis data visualisatie software zoals Microsoft Excel, MATLAB, en Mathematica.

het SIR-model met vital dynamics en constant populationEdit

beschouw een populatie gekenmerkt door een sterftecijfer μ {\displaystyle \mu }

en Geboortecijfer Λ {\displaystyle \Lambda }

, en wanneer een overdraagbare ziekte zich verspreidt. Het model met massa-actie transmissie is: d S d t = Λ − µ S − β I S S e N d I d t = β I S N − γ I − μ I d R d t = γ I − μ R {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dS}{dt}}&=\Lambda -\mu S-{\frac {\beta}{N}}\\{\frac {dI}{dt}}&={\frac {\beta}{N}}-\gamma-I-\mu I\\{\frac {dR}{dt}}&=\gamma-I-\mu R\end{aligned}}}

voor het ziektevrij evenwicht (DFE) is:

( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = ( Λ μ , 0 , 0 ) . {\displaystyle \ left (S (t), I(t),R (t)\right)=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right).}

In dit geval kunnen we een basisreproductiegetal afleiden:

R 0 = β μ + γ, {\displaystyle R_{0}={\frac {\beta }{\mu +\gamma}},}

die drempeleigenschappen heeft. In feite, onafhankelijk van biologisch zinvolle beginwaarden, kan men aantonen dat:

R 0 ≤ 1 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = DFE = ( Λ μ , 0 , 0 ) {\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {DFE}}=\left({\frac {\Lambda }{\mu }},0,0\right)}

R 0 > – 1 , I ( 0 ) > 0 ⇒ lim t → ∞ ( S ( t ) , I ( t ) , R ( t ) ) = EE = ( γ + μ β , μ β ( R 0 − 1 ) , γ β ( R 0 − 1 ) ) . {\displaystyle R_{0}> – 1,I(0)>0\Rightarrow \lim _{t\to \infty }(S(t),I(t),R(t))={\textrm {EE}}=\left({\frac {\gamma +\mu }{\beta }},{\frac {\mu }{\beta }}\left(R_{0}-1\right),{\frac {\gamma }{\beta }}\left(R_{0}-1\right)\right).}

het punt EE wordt het endemische evenwicht genoemd (de ziekte is niet volledig uitgeroeid en blijft in de populatie). Met heuristische argumenten kan men aantonen dat R 0 {\displaystyle R_{0}}

kan worden gelezen als het gemiddelde aantal infecties veroorzaakt door een enkel infectieus subject in een geheel gevoelige populatie.

The SIR modelEdit

in 1927 creëerden W. O. Kermack en A. G. McKendrick een model waarin zij een vaste populatie met slechts drie compartimenten beschouwden: gevoelig, S ( t ) {\displaystyle S(t)}

; geïnfecteerd, I(t ) {\displaystyle I(t)}

; en hersteld, R(t ) {\displaystyle R(t)}

. De compartimenten die voor dit model worden gebruikt, bestaan uit drie klassen:

• S(t ) {\displaystyle S(t)}
  

  wordt gebruikt om personen weer te geven die nog niet met de ziekte zijn besmet op tijdstip t, of personen die vatbaar zijn voor de ziekte van de populatie.

• I(t ) {\displaystyle I(t)}
  

  geeft de individuen van de populatie aan die met de ziekte zijn besmet en in staat zijn de ziekte te verspreiden naar de vatbare categorie.

• R (t ) {\displaystyle R(t)}
  

  is het compartiment dat wordt gebruikt voor de personen van de populatie die geïnfecteerd zijn en vervolgens verwijderd zijn van de ziekte, hetzij door immunisatie, hetzij door overlijden. Degenen in deze categorie zijn niet in staat om opnieuw besmet te worden of om de infectie over te dragen aan anderen.

de stroom van dit model kan als volgt worden beschouwd:

S → I → R {\displaystyle {\color {blue}{{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {R}}}}}

met Behulp van een vaste populatie, N = S ( t ) + I ( t ) + R ( t ) {\displaystyle N=S(t)+I(t)+R(t)}

in de drie functies verhelpt dat de waarde N {\displaystyle N}

moet constant blijven binnen de simulatie, als een simulatie wordt gebruikt voor het oplossen van het SIR-model. Als alternatief kan de analytische approximant worden gebruikt zonder een simulatie uit te voeren. Het model wordt gestart met de waarden van S ( t = 0 ) {\displaystyle S(t=0)}

, I ( t = 0 ) {\displaystyle I(t=0)}

en R ( t = 0 ) {\displaystyle R(t=0)}

. Dit zijn het aantal mensen in de gevoelige, geïnfecteerde en verwijderde categorieën op het moment is gelijk aan nul. Als wordt aangenomen dat het SIR-model te allen tijde stand houdt, zijn deze beginvoorwaarden niet onafhankelijk. Vervolgens werkt het stroommodel de drie variabelen voor elk tijdpunt bij met ingestelde waarden voor β {\displaystyle \ beta }

en γ {\displaystyle \gamma }

. De simulatie werkt eerst de geïnfecteerde van de gevoelige en vervolgens wordt de verwijderde categorie bijgewerkt van de geïnfecteerde categorie voor het volgende tijdstip (t=1). Dit beschrijft de stroom personen tussen de drie categorieën. Tijdens een epidemie wordt de gevoelige categorie niet verschoven met dit model, β {\displaystyle \ beta }

verandert in de loop van de epidemie en dat doet γ {\displaystyle \gamma }

. Deze variabelen bepalen de duur van de epidemie en moeten met elke cyclus worden bijgewerkt. d S d t = − β S I N {\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=-{\frac {\beta SI}{N}}}

d I d t = β S I N − γ I {\displaystyle {\frac {dI}{dt}}={\frac {\beta SI}{N}}-\gamma I}

d R d t = γ I {\displaystyle {\frac {dR}{dt}}=\gamma I}

Diverse aannames gemaakt in de formulering van deze vergelijkingen: Ten eerste moet een individu in de populatie worden beschouwd als een individu met een gelijke kans als elk ander individu om de ziekte op te lopen met een snelheid van A {\displaystyle a}

en een gelijke fractie b {\displaystyle b}

van mensen waarmee een individu per tijdseenheid contact maakt. Laat β {\displaystyle \ beta }

de vermenigvuldiging zijn van a {\displaystyle a}

en B {\displaystyle B}

. Dit is de transmissiekans maal de contactsnelheid. Bovendien maakt een geïnfecteerd individu contact met B {\displaystyle b}

personen per tijdseenheid terwijl slechts een fractie, S N {\displaystyle {\frac {s}{N}}}

van hen gevoelig zijn.Zo hebben we elke infectieuze kan infecteren a b S = β S {\displaystyle abS=\beta S}

gevoelige personen, en daarom is de hele aantal susceptibles geïnfecteerd door infectives per eenheid van tijd is β I {\displaystyle \beta SI}

. Voor de tweede en derde vergelijkingen, beschouwen de populatie verlaten van de vatbare klasse als gelijk aan het aantal invoeren van de geïnfecteerde klasse. Echter, een getal dat gelijk is aan de fractie γ {\displaystyle \gamma }

(wat het gemiddelde herstel/sterftecijfer vertegenwoordigt, of 1 / γ {\displaystyle 1/\gamma }

De gemiddelde infectieperiode) van infectieven verlaat deze klasse per tijdseenheid aan voer de verwijderde klasse in. Deze processen die gelijktijdig plaatsvinden worden aangeduid als de wet van Massa-actie, een algemeen aanvaard idee dat de mate van contact tussen twee groepen in een bevolking evenredig is aan de grootte van elk van de betrokken groepen. Ten slotte wordt aangenomen dat het percentage infecties en herstel veel sneller is dan de tijdschaal van geboorten en sterfgevallen en daarom worden deze factoren in dit model genegeerd.

Steady-state solutionsEdit

De verwachte duur van de vatbaarheid van de E ⁡ {\displaystyle \operatorname {E} }

waar T L {\displaystyle T_{L}}

weerspiegelt de tijd levend (levensverwachting) en T S {\displaystyle T_{S}}

weerspiegelt de tijd in de gevoelige stand voor de besmetting, die kan worden vereenvoudigd: E ⁡ = ∫ 0 ∞ e − ( μ + δ ) x d x = 1 μ + δ , {\displaystyle \operatorname {E} =\int _{0}^{\infty }e^{-(\mu +\delta )x}\,dx={\frac {1}{\mu +\delta }},}

zodanig dat het aantal gevoelige personen is het aantal invoeren van de gevoelige compartiment μ N {\displaystyle \mu N}

keer de duur van de gevoeligheid: S = μ N μ + λ . {\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}