Taux de transition

Pour la spécification complète du modèle, les flèches doivent être étiquetées avec les taux de transition entre les compartiments. Entre S et I, le taux de transition est supposé être d(S / N) / dt = -ßSI /N2, où N est la population totale, β est le nombre moyen de contacts par personne et par temps, multiplié par la probabilité de transmission de la maladie lors d’un contact entre un sujet sensible et un sujet infectieux, et SI /N2 est la fraction de ces contacts entre un individu infectieux et un individu sensible qui entraînent l’infection de la personne sensible. (Ceci est mathématiquement similaire à la loi de l’action de masse en chimie dans laquelle des collisions aléatoires entre molécules entraînent une réaction chimique et le taux fractionnaire est proportionnel à la concentration des deux réactifs).

Entre I et R, le taux de transition est supposé proportionnel au nombre d’individus infectieux qui est yI. Cela équivaut à supposer que la probabilité qu’un individu infectieux se rétablisse dans un intervalle de temps dt est simplement ydt. Si un individu est infectieux pendant une période de temps moyenne D, alors γ = 1/D. Cela équivaut également à l’hypothèse que la durée passée par un individu à l’état infectieux est une variable aléatoire avec une distribution exponentielle. Le modèle SIR « classique » peut être modifié en utilisant des distributions plus complexes et réalistes pour le taux de transition I-R (par exemple la distribution d’Erlang).

Pour le cas particulier où il n’y a pas de retrait du compartiment infectieux (γ = 0), le modèle SIR se réduit à un modèle SI très simple, qui a une solution logistique, dans laquelle chaque individu finit par être infecté.

Le modèle SIR sans dynamique vitaledit

Une réalisation unique de l’épidémie de SIR telle qu’elle est produite avec une implémentation de l’algorithme de Gillespie et la solution numérique du système d’équations différentielles ordinaires (en pointillés).

La dynamique d’une épidémie, par exemple la grippe, est souvent beaucoup plus rapide que la dynamique de la naissance et de la mort, par conséquent, la naissance et la mort sont souvent omises dans de simples modèles compartimentés. Le système SIR sans dynamique dite vitale (naissance et mort, parfois appelée démographie) décrit ci-dessus peut être exprimé par l’ensemble d’équations différentielles ordinaires suivantes:

d S D t = − β I S N, d I d t = β I S N − γ I, d R d t = γ I, {\displaystyle {\begin{aligned} & {\frac {dS}{dt}} = -{\frac {\beta IS}{N}}, \\& {\frac {dI}{dt}}={\frac{\beta IS}{N}} -\gamma I, \\& {\frac{dR}{dt}} =\gamma I,\end {aligné}}}

où S {\displaystyle S}

est le stock de population sensible, I {\displaystyle I}

est le stock de population infectée, R {\displaystyle R}

est le stock de population retirée ( que ce soit par la mort ou la récupération), et N {\displaystyle N}

est la somme de ces trois.

Ce modèle a été proposé pour la première fois par William Ogilvy Kermack et Anderson Gray McKendrick comme un cas particulier de ce que nous appelons maintenant la théorie de Kermack–McKendrick, et faisait suite aux travaux que McKendrick avait effectués avec Ronald Ross.

Ce système est non linéaire, mais il est possible de dériver sa solution analytique sous forme implicite. Notez tout d’abord que de:

d S D t + d i d t + d r d t = 0, {\displaystyle {\frac{dS}{dt}} +{\frac {dI}{dt}} + {\frac {dR}{dt}} = 0, }

il s’ensuit que:

S(t) + I(t) + R(t) = constant = N, {\displaystyle S(t) + I(t) +R(t) = {\text {constant}} =N,}

exprimant en termes mathématiques le constance de la population N {\displaystyle N}

. Notez que la relation ci-dessus implique qu’il suffit d’étudier l’équation pour deux des trois variables.

Deuxièmement, nous notons que la dynamique de la classe infectieuse dépend du rapport suivant:

R 0 = β γ, {\displaystyle R_{0} = {\frac{\beta}{\gamma}},}

le nombre de reproduction dit de base (également appelé rapport de reproduction de base). Ce ratio est calculé comme le nombre attendu de nouvelles infections (ces nouvelles infections sont parfois appelées infections secondaires) provenant d’une seule infection dans une population où tous les sujets sont sensibles. Cette idée peut probablement être plus facilement vue si nous disons que le temps typique entre les contacts est T c = β−1 {\displaystyle T_{c}= \beta^{-1}}

, et le temps typique jusqu’à la suppression est T r = γ−1 {\displaystyle T_ {r}= \gamma^ {-1}}

. Il s’ensuit qu’en moyenne, le nombre de contacts d’un individu infectieux avec d’autres personnes avant l’élimination de l’infection est de: T r / T c. {\displaystyle T_{r}/T_{c}.}

En divisant la première équation différentielle par la troisième, en séparant les variables et en intégrant, on obtient

S(t)= S(0) E−R 0(R(t)−R(0)) /N, {\displaystyle S(t) = S(0) e ^ {-R_{0}(R(t)-R(0)) /N}, }

où S(0) {\displaystyle S(0)}

et R(0) {\displaystyle R(0)}

sont les nombres initiaux de sujets sensibles et de sujets retirés, respectivement. Écrire s 0= S(0)/N {\displaystyle s_{0}=S(0)/N}

pour la proportion initiale d’individus sensibles, et S ∞ = S(∞)/N {\displaystyle s_{\infty} = S(\infty)/N}

et r ∞ = R(∞)/N {\displaystyle r_{\infty} = R(\infty)/N}

pour la proportion d’individus sensibles et retirés respectivementdans la limite t → ∞, {\displaystyle t\to\infty, }

on a s ∞= 1−r ∞ = s 0 e−R 0 (r ∞−r 0) {\displaystyle s_{\infty} = 1-r_{\infty}= s_{0} e ^{-R_{0}(r_{\infty}-r_{0}) } }

(notez que le compartiment infectieux se vide dans cette limite).Cette équation transcendantale a une solution en termes de la fonction W de Lambert, à savoir

s ∞ = 1−r ∞ = −R 0−1 W (−s 0 R 0 e−R 0 (1−r 0)). {\displaystyle s_{\infty} = 1-r_{\infty} = -R_{0}^{-1}\, W(-s_{0} R_{0} e^{-R_{0}(1-r_{0})}).}

Ceci montre qu’à la fin d’une épidémie conforme aux hypothèses simples du modèle SIR, à moins que s 0= 0 {\displaystyle s_{0} = 0}

, tous les individus de la population n’ont pas été enlevés, de sorte que certains doivent rester sensibles. Une force motrice conduisant à la fin d’une épidémie est la baisse du nombre d’individus infectieux. L’épidémie ne se termine généralement pas en raison d’un manque total d’individus sensibles.

Le rôle du nombre de reproduction de base et de la susceptibilité initiale sont extrêmement importants. En fait, lors de la réécriture de l’équation pour les individus infectieux comme suit:

d I d t =(R 0 S N−1) γ I, {\displaystyle {\frac{dI}{dt}} = \left(R_{0}{\frac{S}{N}} -1\right) \gamma I, }

cela donne que si:

R 0 ⋅S(0) > N, {\displaystyle R_{0}\cdot S(0) > N, }

alors:

d I d t(0) > 0, {\displaystyle{\frac{dI}{dt}}(0) > 0,}

c’est-à-dire qu’il y aura une épidémie épidémique appropriée avec une augmentation du nombre des infections (qui peuvent atteindre une fraction considérable de la population). Au contraire, si

R 0 ⋅S(0) < N, {\displaystyle R_{0}\cdot S(0) < N, }

puis

d I d t(0) < 0, {\displaystyle{\frac{dI}{dt}}(0) < 0, }

c’est-à-dire qu’indépendamment de la taille initiale de la population sensible, la maladie ne peut jamais provoquer une épidémie appropriée. En conséquence, il est clair que le nombre de reproduction de base et la susceptibilité initiale sont extrêmement importants.

La force de l’infectiondit

Notez que dans le modèle ci-dessus, la fonction:

F= β I, {\displaystyle F =\beta I,}

modélise le taux de transition du compartiment des individus sensibles au compartiment des individus infectieux, de sorte qu’on l’appelle la force de l’infection. Cependant, pour de grandes classes de maladies transmissibles, il est plus réaliste de considérer une force d’infection qui ne dépend pas du nombre absolu de sujets infectieux, mais de leur fraction (par rapport à la population constante totale N {\displaystyle N}

): F = β I N. {\displaystyle F=\beta{\frac{I}{N}}.}

Capasso et, par la suite, d’autres auteurs ont proposé des forces non linéaires d’infection pour modéliser de manière plus réaliste le processus de contagion.

Solutions analytiques exactes au modèle SIRMODIFIER

En 2014, Harko et ses coauteurs ont dérivé une solution analytique exacte (impliquant une intégrale qui ne peut être calculée que numériquement) au modèle SIR. Dans le cas sans configuration de dynamique vitale, pour S(u) = S(t) {\displaystyle {\mathcal{S}}(u) =S(t)}

, etc., il correspond à la paramétrisation temporelle suivante S(u) = S(0) u {\displaystyle {\mathcal{S}}(u) = S(0)u}

I(u) = N−R(u)−S(u) {\displaystyle{\mathcal{I }}(u) = N -{\mathcal{R}}(u) – {\mathcal{S}}(u)}

R(u) = R(0) −ρ ln l(u) {\ pour la première fois, il est possible d’utiliser le code de configuration de la ligne de commande pour la première fois, mais il n’y a pas de code de configuration de la ligne de commande pour la première fois. t = N β ∫ u 1 d u ∗ u ∗ I (u ∗), ρ = γ N β, {\displaystyle t = {\frac{N} {\beta}}\int _{u}^{1} {\frac{du^{*}} {u^{*}{\mathcal{I}}(u^{*})}}, \quad\rho = {\frac{\gamma N}{\beta}}, }

avec les conditions initiales

(S(1), I( 1), R(1)) =(S(0), N−R(0)−S(0), R(0)), u T < u <1, {\displaystyle({\mathcal{S}}(1), {\mathcal {I}}(1),{\mathcal {R}}(1))=(S(0),N-R(0)-S(0),R(0)),\quad u_{T}<u<1,}

where u T {\displaystyle u_{T}}

satisfies I ( u T ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {I}}(u_{T})=0}

. Par l’équation transcendantale pour R ∞ {\displaystyle R_{\infty}}

ci−dessus, il s’ensuit que u T = e−(R ∞-R(0))/ ρ(= S ∞/S(0) {\displaystyle u_{T} = e^ {-(R_{\infty}-R(0)) / \rho} (=S_{\infty}/S(0)}

, si S(0) ≠ 0) {\displaystyle S(0)\neq 0) }

et I ∞ = 0 {\displaystyle I_{\infty} = 0}

.

Une solution dite analytique équivalente (impliquant une intégrale qui ne peut être calculée que numériquement) trouvée par Miller donne

S(t)= S(0) e-ξ(t) I(t) = N−S(t) − R(t) R(t) = R(0) + ρ ξ(t) ξ(t) = β N ∫ 0 t I(t ∗) d t ∗ {\displaystyle{\begin{aligned} S(t) &=S(0) e ^{−\xi(t)} \\I(t) &= N-S(t)-R(t) \\R(t) &=R(0)+\rho\xi(t)\\\xi(t) &={\frac{\beta}{N}}\int_{0}^{t} I(t^{*})\, dt^{*}\end {aligned}}}

Ici ξ(t){\displaystyle\xi(t)}

peut être interprété comme le nombre attendu de transmissions qu’un individu a reçues au moment t {\displaystyle t}

. Les deux solutions sont liées par e-ξ(t) = u {\displaystyle e^{-\xi(t)} =u}

.

On retrouve effectivement le même résultat dans l’œuvre originale de Kermack et McKendrick.

Ces solutions peuvent être facilement comprises en notant que tous les termes sur les côtés droits des équations différentielles originales sont proportionnels à I {\displaystyle I}

. Les équations peuvent ainsi être divisées par I {\displaystyle I}

, et le temps rééchelonné de sorte que l’opérateur différentiel du côté gauche devienne simplement d/d τ {\displaystyle d/d\tau}

, où d τ = I d t {\displaystyle d\tau=Idt}

, c’est-à-dire τ= I I d t {\displaystyle\tau=\int Idt}

. Les équations différentielles sont maintenant toutes linéaires, et la troisième équation, de la forme d R/d τ= {\displaystyle dR/d\tau=}

const., montre que τ{\displaystyle\tau}

et R {\displaystyle R}

(et ξ{\displaystyle\xi}

ci-dessus) sont simplement liés linéairement.

Un approximant analytique très précis du modèle SIR a été fourni par Kröger et Schlickeiser, de sorte qu’il n’est pas nécessaire d’effectuer une intégration numérique pour résoudre le modèle SIR, pour obtenir ses paramètres à partir de données existantes ou pour prédire la dynamique future d’une épidémie modélisée par le modèle SIR. L’approximant implique la fonction Lambert W qui fait partie de tous les logiciels de visualisation de données de base tels que Microsoft Excel, MATLAB et Mathematica.

Le modèle SIR avec dynamique vitale et population constantedit

Considère une population caractérisée par un taux de mortalité μ{\displaystyle\mu}

et un taux de natalité Λ{\displaystyle\Lambda}

, et où une maladie transmissible se propage. Le modèle avec transmission à action de masse est: d S D t = Λ−μ S−β I S N d i d t = β I S N−γ I−μ I d r t = γ I−μ R {\displaystyle {\begin{aligned} {\frac {dS}{dt}} &= \Lambda-\mu S- {\frac{\beta IS}{N}} \\{\frac {dI} {dt}} &={\frac {\beta IS}{N}} -\gamma I-\mu I\\{\frac{dR}{dt}}&=\gamma I-\mu R\end {aligned}}}

pour où l’équilibre sans maladie (DFE) est:

(S(t), I(t), R(t)) =(Λ μ, 0, 0). {\displaystyle\left(S(t), I(t), R(t)\right) = \left({\frac{\Lambda}{\mu}}, 0, 0\right).}

Dans ce cas, on peut dériver un nombre de reproduction de base :

R 0= β μ + γ, {\displaystyle R_{0}= {\frac{\beta}{\mu+\gamma}}, }

qui a des propriétés de seuil. En fait, indépendamment des valeurs initiales biologiquement significatives, on peut montrer que:

R 0 ≤ 1 ⇒ lim t → ∞(S(t), I(t), R(t)) = DFE =(λ μ, 0, 0) {\displaystyle R_{0}\leq 1\Rightarrow\lim_{t\to\infty}(S(t), I(t), R(t)) = {\textrm{DFE}} = \left({\frac{\Lambda}{\mu}}, 0, 0\right) }

R 0 > 1, I(0) > 0 ⇒ lim t → ∞ (S(t), I(t), R(t)) = EE = (γ + μ β, μ β (R 0 − 1), γ β(R 0−1)). {\displaystyle R_{0}>1, I(0) > 0\Rightarrow\lim_{t\to\infty}(S(t), I(t), R(t)) ={\textrm{EE}} = \left({\frac{\gamma+\mu}{\beta}} , {\frac {\mu} {\beta}}\left(R_{0}-1\right), {\frac {\gamma}{\beta}}\left(R_{0}-1\right)\right).}

Le point EE est appelé l’Équilibre endémique (la maladie n’est pas totalement éradiquée et reste dans la population). Avec des arguments heuristiques, on peut montrer que R 0 {\displaystyle R_{0}}

peut être lu comme le nombre moyen d’infections causées par un seul sujet infectieux dans une population entièrement sensible, la relation ci-dessus signifie biologiquement que si ce nombre est inférieur ou égal à un, la maladie disparaît, alors que si ce nombre est supérieur à un, la maladie restera endémique en permanence dans la population.

The SIR modelEdit

Diagram of the SIR model with initial values S ( 0 ) = 997 , I ( 0 ) = 3 , R ( 0 ) = 0 {\textstyle S(0)=997,I(0)=3,R(0)=0}

, and rates for infection β = 0.4 {\textstyle \beta =0.4}

and for recovery γ = 0.04 {\textstyle \gamma =0.04}

Animation du modèle SIR avec les valeurs initiales S(0) = 997, I(0) = 3, R(0) = 0 {\textstyle S( 0) = 997, I(0) = 3, R(0) = 0}

, et taux de récupération γ= 0,04 {\textstyle\gamma= 0,04}

. L’animation montre l’effet de la réduction du taux d’infection à partir de β= 0,5 {\textstyle\beta= 0,5}

à β=0,12 {\textstyle\beta=0,12}

. S’il n’y a pas de médicament ou de vaccination disponible, il est seulement possible de réduire le taux d’infection (souvent appelé « aplatissement de la courbe ») par des mesures appropriées telles que la distanciation sociale.

En 1927, W. O. Kermack et A. G. McKendrick ont créé un modèle dans lequel ils considéraient une population fixe avec seulement trois compartiments : sensible, S(t) {\displaystyle S(t)}

; je suis infecté, I(t) {\displaystyle I(t)}

; et récupéré, R(t) {\displaystyle R(t)}

. Les compartiments utilisés pour ce modèle sont constitués de trois classes :

• S(t) {\displaystyle S(t)}
  

  est utilisé pour représenter les individus non encore infectés par la maladie au moment t, ou ceux sensibles à la maladie de la population.

• I(t) {\displaystyle I(t)}
  

  désigne les individus de la population qui ont été infectés par la maladie et sont capables de propager la maladie à ceux de la catégorie sensible.

• R(t) {\displaystyle R(t)}
  

  est le compartiment utilisé pour les individus de la population qui ont été infectés puis retirés de la maladie, soit par immunisation, soit par décès. Ceux de cette catégorie ne peuvent pas être infectés à nouveau ou transmettre l’infection à d’autres.

Le flux de ce modèle peut être considéré comme suit:

S → I → R {\displaystyle {\color{blue} {{\mathcal{S}} \ rightarrow {\mathcal{I}} \rightarrow {\mathcal{R}}}}}

En utilisant une population fixe, N = S(t) + I(t) + R(t) {\displaystyle N= S(t) +I(t) + R(t)}

dans les trois fonctions résout que la valeur N {\displaystyle N}

doit rester constant dans la simulation, si une simulation est utilisée pour résoudre le modèle SIR. Alternativement, l’approximant analytique peut être utilisé sans effectuer de simulation. Le modèle est démarré avec les valeurs de S(t= 0) {\displaystyle S(t= 0)}

, I(t=0) {\displaystyle I(t=0)}

et R(t=0) {\displaystyle R(t=0)}

. Il s’agit du nombre de personnes dans les catégories sensibles, infectées et enlevées au moment égal à zéro. Si le modèle SIR est supposé tenir en tout temps, ces conditions initiales ne sont pas indépendantes. Par la suite, le modèle de flux met à jour les trois variables pour chaque point temporel avec des valeurs définies pour β{\displaystyle\beta}

et γ{\displaystyle\gamma}

. La simulation met d’abord à jour l’infecté à partir de la catégorie sensible, puis la catégorie supprimée est mise à jour à partir de la catégorie infectée pour le prochain point temporel (t = 1). Ceci décrit les personnes de flux entre les trois catégories. Au cours d’une épidémie, la catégorie sensible n’est pas décalée avec ce modèle, β{\displaystyle\beta}

change au cours de l’épidémie et γ{\displaystyle\gamma}

. Ces variables déterminent la durée de l’épidémie et devraient être mises à jour à chaque cycle. d S D t = − β S I N {\displaystyle {\frac{dS}{dt}} = -{\frac {\beta SI} {N}}}

d I D t = β S I N−γ I {\displaystyle {\frac {dI}{dt} }= {\frac {\beta SI}{N}} -\gamma I}

d R d t = γ I {\displaystyle {\frac{dR}{dt}} = \gamma I}

Plusieurs hypothèses ont été formulées dans la formulation de ces équations: Premièrement, un individu de la population doit être considéré comme ayant une probabilité égale que tout autre individu de contracter la maladie avec un taux de a {\displaystyle a}

et une fraction égale b {\displaystyle b}

de personnes avec lesquelles un individu entre en contact par unité de temps. Ensuite, soit β {\displaystyle\beta}

la multiplication de a {\displaystyle a}

et b{\displaystyle b}

. C’est la probabilité de transmission multipliée par le taux de contact. En outre, un individu infecté entre en contact avec b{\displaystyle b}

personnes par unité de temps alors qu’une fraction seulement, S N {\displaystyle{\frac{S}{N}}}

d’entre eux sont sensibles.Ainsi, nous avons tous les infectieux pouvant infecter a b S = β S {\displaystyle abS = \beta S}

personnes sensibles, et par conséquent, le nombre total de susceptibilités infectées par des infectieux par unité de temps est β S I {\displaystyle \beta SI}

. Pour les deuxième et troisième équations, considérez la population quittant la classe sensible comme égale au nombre entrant dans la classe infectée. Cependant, un nombre égal à la fraction γ{\displaystyle\gamma}

(qui représente le taux moyen de récupération/mortalité, ou 1/γ{\displaystyle 1/\gamma}

la période infectieuse moyenne) des infectieux quittent cette classe par unité de temps pour entrer dans la classe supprimée. Ces processus qui se produisent simultanément sont appelés Loi de l’Action de masse, une idée largement acceptée selon laquelle le taux de contact entre deux groupes dans une population est proportionnel à la taille de chacun des groupes concernés. Enfin, on suppose que le taux d’infection et de rétablissement est beaucoup plus rapide que l’échelle de temps des naissances et des décès et, par conséquent, ces facteurs sont ignorés dans ce modèle.

Solutions à l’état stationnaire

La durée de susceptibilité attendue sera E {{\displaystyle\operatorname{E}}

où T L {\displaystyle T_{L}}

reflète le temps de vie (espérance de vie) et T S{\displaystyle T_{S}}

reflète le temps passé à l’état sensible avant d’être infecté, ce qui peut être simplifié pour: E ∞ = 00 ∞ e−(μ + δ) x d x = 1 μ + δ, {\displaystyle\nom de l’opérateur {E} = \int_{0}^{\infty} e ^ {-(\mu +\delta) x} \, dx = {\frac{1} {\mu+\delta}}, }

tel que le nombre de personnes sensibles soit le nombre entrant dans le compartiment sensible μ N {\displaystyle\mu N}

fois la durée de la susceptibilité : S = μ n μ + λ. {\displaystyle S={\frac {\mu N}{\mu +\lambda }}.}

De manière analogue, le nombre à l’état stable de personnes infectées est le nombre entrant dans l’état infecté à partir de l’état sensible (nombre sensible, fois le taux d’infection λ = β I N, {\displaystyle\lambda= {\tfrac {\beta I}{N}},}

fois la durée de l’infectiosité 1 μ +v {\displaystyle {\tfrac{1} {\mu+v}}}

: I = μ N μ + λ λ 1 μ +v. {\displaystyle I= {\frac {\mu N}{\mu+\lambda}}\lambda{\frac{1}{\mu+v}}.}

Autres modèles compartimentsmodifier

Il existe de nombreuses modifications du modèle SIR, y compris celles qui incluent les naissances et les décès, où lors de la guérison, il n’y a pas d’immunité (modèle SIS), où l’immunité ne dure que pendant une courte période (SIRS), où il existe une période de latence de la maladie où la personne n’est pas infectieuse (SEIS et SEIR), et où les nourrissons peuvent naître avec une immunité (MSIR).