rovnice v této části nepoužívejte axiomy kvantové mechaniky, ale místo toho použít vztahy pro které existuje přímá korespondence v klasické mechanice.

například: pevná pravidelná krystalická (ne amorfní) mřížka se skládá z n částic. Tyto částice mohou být atomy nebo molekuly. N je velké číslo, řekněme řádově 1023, nebo na pořadí Avogadrova čísla pro typický vzorek pevné látky. Protože mřížka je tuhá, atomy musí na sebe vyvíjet síly, aby udržely každý atom v rovnovážné poloze. Tyto síly mohou být van der Waalsovy síly, kovalentní vazby, elektrostatické přitažlivosti a další, které jsou nakonec způsobeny elektrickou silou. Magnetické a gravitační síly jsou obecně zanedbatelné. Síly mezi každou dvojicí atomů mohou být charakterizovány potenciální energetickou funkcí V, která závisí na vzdálenosti oddělení atomů. Potenciální energie celé mřížky je součtem všech párových potenciálních energií vynásobených faktorem 1/2, aby se kompenzovalo dvojité počítání:

1 2 ∑ i ≠ j V ( r j − r j ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}

kde ri je poloha i-tého atomu, a V je potenciální energie mezi dvěma atomy.

je obtížné vyřešit tento problém s mnoha těly explicitně v klasické nebo kvantové mechanice. Pro zjednodušení úkolu jsou obvykle uloženy dvě důležité aproximace. Za prvé, součet se provádí pouze nad sousedními atomy. Ačkoli elektrické síly v reálných pevných látkách sahají do nekonečna, tato aproximace je stále platná, protože pole produkovaná vzdálenými atomy jsou účinně promítána. Za druhé, potenciály V jsou považovány za harmonické potenciály. To je přípustné, pokud atomy zůstanou blízko svých rovnovážných poloh. Formálně, toho je dosaženo tím, že Taylor rozšiřuje V o jeho rovnovážnou hodnotu na kvadratický řád, dávat v úměrné posunutí x2 a elastická síla jednoduše úměrná x. Chyba při ignorování výrazů vyššího řádu zůstává malá, pokud x zůstává blízko rovnovážné polohy.

výsledná mřížka může být vizualizována jako soustava kuliček Spojených pružinami. Následující obrázek ukazuje kubickou mřížku, což je dobrý model pro mnoho typů krystalických pevných látek. Mezi další mřížky patří lineární řetězec, což je velmi jednoduchá mřížka, kterou brzy použijeme pro modelování fononů. (Pro jiné běžné mříže viz krystalová struktura.)

potenciální energie mřížky může být nyní zapsána jako

{{ i j } (n n ) 1 2 n n ω 2 (R i − R j ) 2 . {\displaystyle \sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}{\tfrac {1}{2}}nn\omega ^{2}\left(R_{i}-R_{j}\right)^{2}.}

zde ω je přirozená frekvence harmonických potenciálů, které se považují za stejné, protože mřížka je pravidelná. Ri je poziční souřadnice i. atomu, kterou nyní měříme z jeho rovnovážné polohy. Součet nad nejbližšími sousedy je označen (nn).

Mříž wavesEdit

Phonon šíření prostřednictvím čtverec mřížky (atomové výchylky značně přehnané)

Vzhledem k propojení mezi atomy, posunutí jednoho nebo více atomů z jejich rovnovážných poloh vede k nastavení vibrací vln, jak se šíří přes mříž. Jedna taková vlna je znázorněna na obrázku vpravo. Amplituda vlny je dána posunem atomů z jejich rovnovážných poloh. Vlnová délka λ je označena.

existuje minimální možná vlnová délka daná dvojnásobnou rovnovážnou separací a mezi atomy. Jakákoli vlnová délka kratší, než je tato, může být mapována na vlnovou délku delší než 2a, kvůli periodicitě mřížky. To lze považovat za jeden důsledek Nyquist-Shannonovy vzorkovací věty, mřížkové body jsou považovány za „vzorkovací body“ spojité vlny.

ne všechny možné vibrace mřížky mají dobře definovanou vlnovou délku a frekvenci. Normální režimy však mají dobře definované vlnové délky a frekvence.

jednorozměrné latticeEdit

Animace zobrazuji prvních 6 normální režimy one-dimenzionální mřížky: lineární řetězce částic. Nejkratší vlnová délka je nahoře, s postupně delšími vlnovými délkami níže. V nejnižších liniích je vidět pohyb vln doprava.

pro zjednodušení analýzy potřebné pro 3-dimenzionální mřížku atomů je vhodné modelovat 1-dimenzionální mřížku nebo lineární řetězec. Tento model je dostatečně složitý, aby zobrazoval hlavní rysy fononů.

klasická úprava

předpokládá se, že síly mezi atomy jsou lineární a nejbližší soused a jsou reprezentovány pružnou pružinou. Každý atom je považován za bodovou částici a jádro a elektrony se pohybují v kroku (adiabatická věta):

n − 1 n n + 1 ← a →

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o···

→→ → →→→ un − 1 un, un + 1

, kde n značí n-tý atom z celkového počtu N, a je vzdálenost mezi atomy, kdy řetěz je v rovnováze, a osn posunutí n-tého atomu z rovnovážné polohy.

je-Li C elastická konstanta pružiny a m hmotnost atomu, pak pohybová rovnice n-tého atomu,

− 2 C u n + C ( u n + 1 + u n − 1 ) = m d 2 u n d t 2 . {\displaystyle -2Cu_{n}+C\left(u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}

Toto je množina vázaných rovnic.

protože se očekává, že řešení budou oscilační, nové souřadnice jsou definovány diskrétní Fourierovou transformací, aby se je oddělily.

Put

u n = N N a k / 2 π = 1 N Q K E i k n a . {\displaystyle u_{n}=\sum _ {Nak / 2 \ pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}

zde na odpovídá a převádí spojité proměnné x Teorie skalárního pole. Qk jsou známé jako normální souřadnice, kontinuum pole režimy φk.

Substituce do rovnice pohybu produkuje následující oddělené rovnice (to vyžaduje značné manipulace pomocí orthonormality a úplnost vztahů diskrétní Fourierovy transformace,

2. C ( cos ⁡ k − 1 ) Q k = m d 2 Q k d t 2 . {\displaystyle 2C (\cos {ka-1})Q_{k}=m {\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}

toto jsou rovnice pro oddělené harmonické oscilátory, které mají řešení Q k = k e i ω k t, ω k = 2 C m ( 1 − cos ⁡ k ) . {\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.}

Každý normální souřadnici Qk představuje nezávislý vibrační režim mřížky s vlnočtu k, který je známý jako normálního režimu.

druhá rovnice, pro wk, je označován jako disperze vztah mezi úhlovou frekvenci a vlnočet.

V kontinuu limit, a→0, N→∞, přičemž Na pevně fixován, un → φ(x), skalární pole, a ω ( k ) ∝ k a {\displaystyle \omega (k)\propto ka}

. To odpovídá klasické teorii volného skalárního pole, sestavě nezávislých oscilátorů.

kvantové zpracováníedit

jednorozměrný kvantově mechanický harmonický řetězec se skládá z n identických atomů. Jedná se o nejjednodušší kvantově mechanický model mřížky, který umožňuje, aby z ní vznikly fonony. Formalismus pro tento model je snadno zobecnitelný na dva a tři rozměry.

Na rozdíl od předchozí části nejsou polohy hmot označeny ui, ale místo toho x1, x2…, měřeno z jejich rovnovážných poloh (tj. xi = 0, pokud je částice i v rovnovážné poloze.) Ve dvou nebo více rozměrech jsou Xi vektorové veličiny. Hamiltonian pro tento systém je

H = ∑ i = 1 N p i 2 2 m + 1 2 m ω 2 ∑ { i, j } ( n n ) ( x i − x j ) 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}}

kde m je hmotnost každého atomu (za předpokladu, že je stejné pro všechny), a xi a pi jsou polohy a hybnosti operátory, resp., pro i. atom a součet se provádí nad nejbližšími sousedy (nn). Očekává se však, že v mřížce se mohou objevit i vlny, které se chovají jako částice. Je obvyklé zabývat se vlnami ve Fourierově prostoru, který používá normální režimy wavevektoru jako proměnné místo souřadnic částic. Počet normálních režimů je stejný jako počet částic. Fourierův prostor je však velmi užitečný vzhledem k periodicitě systému.

sada N „normální souřadnice“ Qk, může být zaveden, definována jako diskrétní Fourierova transformace z xk a N „sdružené hybnosti“ Πk definován jako Fourierova transformace pk:

Q k = 1 N ∑ l e i k a l x l Π k = 1 N ∑ l e − i k a l p o l . {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}}

množství kn ukáže být vlnočet z phonon, tj. 2π rozdělena podle vlnové délky.

Tato volba zachová požadovaný komutace vztahy v reálném prostoru nebo vlnový vektor prostoru,

= i ℏ δ l , m = 1 N ∑ l , m e i k a l e − i k ‚m = i ℏ N ∑ l e i l ( k − k‘ ) = i ℏ δ k , k ‚ = = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left&=i\hbar \delta _{l,m}\\\left&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik am}\left\\&={\frac {i\hbar }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(k-k’\right)}=i\hbar \delta _{k,k‘}\\\left&=\left=0\end{aligned}}}

Z obecného výsledek,

∑ l x l x l + m = 1 N ∑ k k ‚Q k Q k‘ ∑ l e i l ( k + k ‚ ) e i m k ‚ = ∑ k Q k Q − k e i m k ∑ l p l 2 = ∑ k Π k Π − k {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk}Q_{k}Q_{k‘}\sum _{l}e^{ial\left(k+k’\right)}e^{iamk‘}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}}

potenciální energie termín je

1 2 m ω 2 ∑ j ( x j − x j + 1 ) 2 = 1 2 m ω 2 ∑ k Q k Q − k ( 2 − e k − e − i q ) = 1 2 ∑ k I ω k 2 Q k − Q k {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika} e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}

, kde

ω k = 2 ω 2 ( 1 − cos ⁡ (k ) = 2 ω | sin ⁡ k 2 | {\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}

Kanonickou může být napsán v vlnový vektor prostoru jako

H = 1 2 m ∑ k ( Π k, Π − k + m 2 ω k 2 Q k Q − k ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}

spojky mezi polohou proměnné byly transformovány pryč; pokud Q A Π byly Hermitian (které nejsou), transformovaný Hamiltonian by popsal N nespojené harmonické oscilátory.

forma kvantizace závisí na volbě okrajových podmínek; pro jednoduchost jsou uloženy periodické okrajové podmínky, které definují (N + 1)atom jako ekvivalent prvního atomu. Fyzicky to odpovídá spojení řetězce na jeho koncích. Výsledná kvantizace je

K = K n = 2 π n N A pro n = 0 , ± 1 , ± 2 , … ± N 2 . {\displaystyle k=k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{pro }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ }

horní hranice n pochází z minimální vlnové délky, což je dvojnásobek odstupu mřížky a, jak bylo uvedeno výše.

vlastní hodnoty harmonického oscilátoru nebo energetické hladiny pro režim wk jsou:

E n = ( 1 2 + n ) ℏ ω k n = 0 , 1 , 2 , 3 … {\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }

úrovně jsou rovnoměrně rozloženy na:

1 2 ℏ ω , 3 2 ℏ ω , 5 2 ℏ ω ⋯ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }

, kde 1/2ħw je energie nulového bodu kvantového harmonického oscilátoru.

přesné množství energie ħw musí být dodáno do mřížky harmonického oscilátoru, aby se posunulo na další energetickou úroveň. Ve srovnání s fotonovým případem, kdy je elektromagnetické pole kvantováno, se kvantum vibrační energie nazývá fonon.

všechny kvantové systémy vykazují současně vlnové a částicové vlastnosti. Vlastnosti fononu podobné částicím jsou nejlépe pochopeny pomocí metod druhé kvantizace a operátorských technik popsaných později.

Tři-dimenzionální latticeEdit

To může být zobecněna do trojrozměrné mřížky. Vlnové číslo k je nahrazeno trojrozměrným vlnovým vektorem k. Kromě toho je každé k nyní spojeno se třemi normálními souřadnicemi.

nové indexy s = 1, 2, 3 označují polarizaci fononů. V jednorozměrném modelu byly atomy omezeny na pohyb podél linie, takže fonony odpovídaly podélným vlnám. Ve třech rozměrech nejsou vibrace omezeny na směr šíření a mohou se vyskytovat také v kolmých rovinách, jako jsou příčné vlny. To vede k další normální souřadnice, které, jako forma Hamiltonian označuje, můžeme zobrazit jako samostatné druhy fonony.

Dispersion relationEdit

Dispersion curves in linear diatomic chain

Optical and acoustic vibrations in a linear diatomic chain.

Dispersion relation ω = ω(k) for some waves corresponding to lattice vibrations in GaAs.

Pro jednorozměrné střídavé pole dva typy ion nebo atom hmoty m1, m2 periodicky opakuje na dálku, spojené pružiny tuhost pružiny K, dva režimy vibrací výsledek:

ω ± 2 = K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) ± K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) 2 − 4 sin 2 ⁡ k a 2 m 1 m 2 , {\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},}

, kde k je vlnový vektor vibrací související s jeho vlnová délka, tím, že k = 2 π λ {\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}

.

spojení mezi kmitočtem a vlnovým vektorem, ω = ω(k), je známé jako disperzní vztah. Znaménko plus vede k takzvanému optickému režimu a znaménko mínus k akustickému režimu. V optickém režimu se dva sousední různé atomy pohybují proti sobě, zatímco v akustickém režimu se pohybují společně.

rychlost šíření akustické phonon, který je také rychlost zvuku v mřížce, je dána sklonem akustický rozptyl vztahu, ∂wk/∂k (viz skupina rychlost. Dlouhé vlnové délky) je disperzní vztah téměř lineární a rychlost zvuku je přibližně wa, nezávislá na frekvenci fononu. Výsledkem je, že pakety fonony s různými (ale dlouhé) vlnové délky může šířit na velké vzdálenosti přes mříž, aniž by rozpadá. To je důvod, proč se zvuk šíří pevnými látkami bez významného zkreslení. Toto chování selhává při velkých hodnotách k, tj. krátké vlnové délky, kvůli mikroskopickým detailům mřížky.

Pro krystal, který má alespoň dva atomy v primitivní buňce, disperze vztahy vykazují dva typy fonony, tedy optické a akustické režimy odpovídající horní modré a dolní červené křivky v diagramu, resp. Svislá osa je energie nebo frekvence phononu, zatímco vodorovná osa je wavevector. Hranice v −π/a a π/a jsou hranice první Brillouinové zóny. Krystal s n ≥ 2 různými atomy v primitivní buňce vykazuje tři akustické režimy: jeden podélný akustický režim a dva příčné akustické režimy. Počet optických režimů je 3N-3. Dolní obrázek ukazuje rozptyl vztahy pro několik fononové módy v GaAs jako funkce vlnový vektor k v hlavních směrech své Brillouinově zóně.

mnoho fononových disperzních křivek bylo měřeno nepružným rozptylem neutronů.

fyzika zvuku v kapalinách se liší od fyziky zvuku v pevných látkách, i když jsou obě hustoty vlny: zvukové vlny v kapalinách mají pouze podélné složky, vzhledem k tomu, zvukové vlny v pevných látkách mají podélné a příčné složky. Je to proto, že tekutiny nemohou podporovat smyková napětí (ale viz viskoelastické tekutiny, které se vztahují pouze na vysoké frekvence).

Výklad fonony pomocí druhého kvantování techniquesEdit

výše odvozené Hamiltonian může vypadat jako klasický Hamiltonián funkce, ale pokud je interpretován jako operátor, pak je popisuje kvantová teorie pole non-interagujících bosonů.Druhá kvantizační technika, podobná metodě operátoru žebříku používané pro kvantové harmonické oscilátory, je prostředkem extrakce vlastních čísel energie bez přímého řešení diferenciálních rovnic. Vzhledem k Hamiltonián, H {\displaystyle {\mathcal {H}}}

, stejně jako konjugované poloze, Q k {\displaystyle Q_{k}}

, a konjugát impuls Π k {\displaystyle \Pi _{k}}

definovanými v kvantové léčení sekci výše, můžeme definovat stvoření a zničení operátorů: b k = I ω k 2 ℏ ( Q k + i m ω k Π − k ) {\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)}

a b k † = I ω k 2 ℏ ( Q − k − i i ω k Π k ) {\displaystyle {b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}

následující komutátory lze snadno získat dosazením v kanonické komutační relace:

= δ k , k ‚, = = 0 {\displaystyle \left=\delta _{k,k‘},\quad {\Big }=\left=0}

Použitím tohoto, provozovatelé bk† a bk může být převrácený předefinovat konjugát polohy a hybnosti jako:

Q k = ℏ 2 m ω k ( b k † + b − k ) {\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\dagger }+b_{-k}\right)}

Π k = i ℏ m ω k 2 ( b k † − b − k ) {\displaystyle \Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dagger }-b_{-k}\right)}

Přímo nahrazení těchto definic pro Q k {\displaystyle Q_{k}}

Π k {\displaystyle \Pi _{k}}

do vlnový vektor prostoru Hamiltonian, jak je definováno výše, a zjednodušení pak výsledky v Kanonickou podobu: H = ∑ k ℏ ω k ( b k † b k + 1 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\left({b_{k}}^{\dagger }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)}

Toto je známé jako druhé kvantování technika, také známý jako okupace číslo formulace, kde nk = bk†bk je okupace číslo. To může být chápáno jako součet N nezávislých oscilátorů Hamiltoniány, každý s unikátní vlnový vektor, a je kompatibilní s metodami používanými pro kvantový harmonický oscilátor (všimněte si, že nk je hermitian). Když Hamiltonián lze zapsat jako součet dojíždění sub-Hamiltoniány, energie eigenstates bude dal produkty eigenstates každé samostatné sub-Hamiltoniány. Odpovídající energetické spektrum je pak dáno součtem jednotlivých vlastních čísel sub-Hamiltoniány.

stejně jako u kvantového harmonického oscilátoru lze ukázat, že bk† a BK vytvářejí a ničí buzení jednoho pole, phonon, s energií ħwk.

z této techniky lze odvodit tři důležité vlastnosti fononů. Za prvé, fonony jsou bosony, protože libovolný počet identických excitací může být vytvořen opakovanou aplikací operátora tvorby bk†. Za druhé, každý fonon je „kolektivní režim“ způsobený pohybem každého atomu v mřížce. To může být viděn z faktu, že stvoření a zničení operátorů, zde definované v hybnosti prostor, obsahuje částky nad polohy a hybnosti operátory každý atom, když napsal v pozici prostoru (Viz poloha a hybnost prostor). Nakonec pomocí funkce korelace polohy a polohy lze ukázat, že fonony působí jako vlny posunutí mřížky.

tato technika je snadno zobecněna na tři dimenze, kde Hamiltonian má tvar:

H = ∑ k s s = 1 3 ω ω k, s (b k, s † B k, s + 1 2). {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\sum _{y=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\left({b_{k,y}}^{\dagger }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\right).}