systém lineárních rovnic lze řešit snížením její rozšířená matice do zkráceného sledu formě.

matice může být změněn tak, aby jeho horní trojúhelníkové formy, nebo řádku snížen na jeho horní trojúhelníkové formy použití základní řadě operací. Jedná se o:

1. vyměňte jeden řádek matice za jiný z matice.
2. vynásobte jeden řádek matice nenulovou skalární konstantou.
3. nahraďte jeden řádek jedním řádkem plus konstanta krát další řádek matice.

například vzhledem k následujícímu lineárnímu systému s odpovídající rozšířenou maticí:

3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 {\displaystyle 3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}=-5}

3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 {\displaystyle 3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=9}

3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 {\displaystyle 3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}=15}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&&&&&&&&&&&&&&15\end{bmatrix}}}

To solve tento systém, matrice musí být redukována na redukovanou echelonovou formu.

Krok 1: přepněte řádek 1 a řádek 3. Všechny vedoucí nuly jsou nyní pod nenulovými vedoucími položkami.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 2: Nastavte řádek 2 na řádek 2 plus (-1) krát řádek 1. Jinými slovy, odečtěte řádek 1 od řádku 2. Tím se odstraní první položka řádku 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 3: Multiply row 2 by 3 and row 3 by 2. This will eliminate the first entry of row 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-10\end{bmatrix}}}

Krok 4: Nastavit řádek 3 řádek 3 plus (-1) násobek řádku 2. Jinými slovy, odečtěte řádek 2 od řádku 3. Tím se vyloučí druhá položka řádku 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&8\end{bmatrix}}}

Step 5: vynásobte každý řádek vzájemnou jeho první nenulovou hodnotou. Díky tomu bude každý řádek začínat 1.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

The matrix is teď v trojuhelníkové: Všechny nenulové řádky jsou výše uvedené řádky všech nul (neexistují žádné řádky), každý vedoucí vstupu řádku je ve sloupci na pravé straně přední vstup z řádku nad ním a všechny položky ve sloupci pod předním vstupu jsou nuly.

jak lze a bude ukázáno později, z této formy lze pozorovat, že systém má nekonečně mnoho řešení. Získat tato řešení, matrix je dále snížena do zkráceného sledu formě.

Krok 6: Nastavte řádek 2 na řádek 2 plus (-1) krát řádek 3 a řádek 1 na řádek 1 plus (-2) krát řádek 3. Tím se odstraní položky nad předním záznamem řádku 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

Step 7: Nastavte řádek 1 na řádek 1 plus 3 krát řádek 2. Tím se eliminuje záznam nad předním vstupem řádku 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

This is a snížená forma echelonu, protože přední položka v každém nenulovém řádku je 1 a každý vedoucí 1 je jediný nenulový záznam ve svém sloupci.

Z toho lze vyčíst řešení systému:
x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 24 {\displaystyle x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24}

x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = − 7 {\displaystyle x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7}

x 5 = 4 {\displaystyle x_{5}=4}

Those equations can be solved for x 1 {\displaystyle x_{1}}

, x 2 {\displaystyle x_{2}}

and x 5 {\displaystyle x_{5}}