Životopis

Paul Cohen rodiče, Abraham a Minnie Cohen, byli Židovští přistěhovalci do Spojených Států ze své rodné země Polska. Abraham Cohen byl v podstatě podivný muž, obrátil ruku k řadě různých zaměstnání, zatímco jeho žena přinesla rodině tolik potřebné peníze z krejčovství. Paul byl nejmladší ze čtyř dětí svých rodičů a byl vychován v Brooklynu, New York. Byl vychován jeho matkou od devíti let, protože v té době se jeho rodiče oddělili. Zájem o matematiku od dětství začal studovat pokročilou matematiku od mladého věku. He: –

… bylo mu teprve devět let, když mu jeho sestra Sylvia odhlásila knihu o počtu z Newyorské knihovny. Knihovníci se zdráhali nechat ji mít knihu, mnohem méně pro jejího mladšího bratra, argumentovat, že ani někteří vysokoškolští profesoři nerozuměli kalkulu.

během svého dospívání byl považován za matematický zázrak, úžasný všude kolem sebe se schopnostmi, které projevoval v matematických soutěžích. Navštěvoval Stuyvesant High School v New Yorku, promoval v roce 1950 v mladém věku šestnácti let. Tato škola s vysokou pověstí v matematice a vědě přijala po přijímací zkoušce pouze ty nejlepší studenty. Po absolvování Stuyvesant High School, Cohen studoval na Brooklyn College od roku 1950 do roku 1953, ale opustil bez míru, že byl přijat na postgraduální studium na Univerzitě v Chicagu po provedení navštívit a probrat jeho možnosti výzkumu v Chicagu. Studoval na magisterský titul v Chicagu, přičemž kurzy, aby se vešly s jeho cílem v době, která měla provádět výzkum v teorii čísel. Jeho znalosti teorie čísel před příjezdem do Chicaga pocházely z řady klasických textů, které četl sám na vysoké škole. Aby zapadl do tohoto cíle, začal pracovat na teorii čísel pod dohledem André Weila. Mu byla udělena jeho magisterský titul v roce 1954, ale on přišel být větší zájem v tom, že některé výsledky v počtu teorie byly nerozhodnutelné, než v počtu teorie samotné, teorie čísel, nicméně, zůstaly na téma zájmu k němu v celé jeho kariéře :-

udělal zvyku ptát fakulty a ostatními studenty, co je nejdůležitější problémy byly ve svých oborech, protože to byly jediné problémy, které chtěl řešit.

pokračoval ve studiu v Chicagu za svůj doktorát pod vedením Antoniho Zygmunda v roce 1958 získal doktorát za disertační práce v teorii jedinečnosti trigonometrických sérií. V této práci Cohen uvádí, že: –

… přeje si vyjádřit svou nejhlubší vděčnost profesorovi A Zygmundovi za jeho neustálou pomoc a povzbuzení při přípravě této disertační práce.

Úvod začíná uvedením tématu práce do kontextu :-

teorie jedinečnost trigonometrické řady lze považovat za poflakovat od otázky, rozhodování o tom, v jakém smyslu Fourierovy řady funkce mohou být považovány za legitimní rozšíření funkce v nekonečné trigonometrické řady. Víme, samozřejmě, že pokud řada konverguje boundedly funkce, pak skutečně koeficienty série musí být dána Euler-Fourierových Vzorců. Pokud však taková podmínka neexistuje, můžeme si položit otázku, zda se dvě trigonometrické řady mohou shodovat se stejnou funkcí všude. Odpověď na tuto otázku je záporná a byla v podstatě prokázána Riemannem, důkazem je Cantor. Teorie množin jedinečnosti se týká nahrazení podmínky konvergence všude s konvergencí téměř všude.

roky jako student výzkumu byly pro Cohena dobré a navázal mnoho přátelství se spolužáky, přátelství, která by trvala po celý jeho život. John Thompson byl jedním z takových studentů výzkumu v Chicagu. Cohen, a to prostřednictvím těchto přátelství, měl také začal vzít zájem v logice :-

Jako postgraduální student Cohen souvislosti s logikou bylo jeho přátelství s temperamentní skupina studentů, kteří se stali logiky; Michael Morley, Anil Nerode, Bill Howard, Ray Smullyan, a Stanley Tennenbaumová. Chvíli žil v Tennenbaumově domě a absorboval logiku osmózou, protože v katedře matematiky v Chicagu nebyly žádné kurzy logiky.

v roce 1957, před udělením doktorátu, byl Cohen jmenován jako instruktor matematiky na univerzitě v Rochesteru na rok. Poté strávil akademický rok 1958-59 na Massachusetts Institute of Technology, než strávil 1959-61 jako kolega na Institutu pro pokročilé studium v Princetonu. Byly to roky, ve kterých Cohen provedl řadu významných matematických průlomů. V Faktorizace ve skupině algebry (1959) ukázal, že žádné integrovatelné funkce na místně kompaktní skupinu, je konvoluce dvou takových funkcí, řešení problému, které představuje Walter Rudin. V na domněnce Littlewood a idempotent opatření (1960) Cohen udělal významný průlom v řešení Littlewood domněnku. Předtím napsal Haroldovi Davenportovi, že mu o tomto výsledku řekl, A Davenport odpověděl: –

… Paulovi řekl, že kdyby Paulův důkaz vydržel, vylepšil by generaci britských analytiků, kteří na tomto problému tvrdě pracovali. Paulův důkaz vydržel; ve skutečnosti, Davenport byl první, kdo zlepšil Paulův výsledek.

v roce 1961 byl Cohen jmenován na fakultu Stanfordovy univerzity jako odborný asistent matematiky. V následujícím roce byl povýšen na docenta v matematice a také v roce 1962 mu bylo uděleno stipendium Alfreda P Sloana research fellowship. V srpnu 1962 se Cohen zúčastnil Mezinárodního kongresu matematiků ve Stockholmu. Byl pozvaný řečník dává adresu Idempotentních opatření a homomorfismy skupiny algebry. Na plavbě ze Stockholmu do Leningradu se Cohen po Kongresu setkal s Christinou Karlsovou ze švédského Malungu. Vzali se 10. října 1963 a měli tři syny, dvojčata Erica a Stevena a Charlese.

byl povýšen na řádného profesora na Stanfordské univerzitě v roce 1964, který do této doby vyřešil jeden z nejnáročnějších otevřených problémů v matematice. Cohen použil techniku zvanou „nutit“ k prokázání nezávislosti v teorii množin axiomu volby a generalizované hypotézy kontinua. Angus MacIntyre píše :-

dramatickým aspektem práce s hypotézou kontinua je to, že Cohen byl v logice samouk outsider. Jeho práce na teorii množin a p-adických polích má velmi charakteristický styl, kombinatorický a spíše prostý obecné teorie.

Cohen vysvětluje, jak přišel na nápad nutit od čtení Kurt Gödel Konzistence, Hypotéza Kontinua, knihy, skládající se z poznámek z kurzu uveden v Institutu pro Pokročilé Studium v 1938-39. Problém hypotézy kontinua byl prvním ze slavných 23 problémů Davida Hilberta dodaných druhému mezinárodnímu kongresu matematiků v Paříži v roce 1900. Hilbert slavné řeči Problémy Matematiky napadal (a dnes stále problémy) matematici k vyřešení těchto základních otázek a Cohen má rozlišení řešení Problému 1.
začal pracovat na nezávislosti hypotézy kontinua ke konci roku 1962. V dubnu 1963 cítil, že věci zapadají na místo :-

Existují určité momenty v jakékoli matematické objev při řešení problému probíhá v těchto podvědomé úrovni, že při zpětném pohledu, zdá se, nemožné zanalyzovat a vysvětlit jeho původ. Spíše se celá myšlenka prezentuje najednou, často možná v vágní podobě, ale postupně se stává přesnější.

po přečtení Cohenova důkazu, který zaslal v dopise ze dne 9. května 1963, mu Kurt Gödel odpověděl:-

dovolte mi zopakovat, že je opravdu potěšením číst váš důkaz nezávislosti hypotézy kontinua. Myslím, že ve všech podstatných ohledech jste poskytli nejlepší možný důkaz, a to se nestává často. Čtení vašeho důkazu na mě mělo podobně příjemný účinek, jako když jsem viděl opravdu dobrou hru.

Cohen mluvil o své práci na nezávislost na axiom výběru a hypotéza kontinua od axiomy Zermelo-Fraenkel teorie množin se v přednášce Nezávislost výsledky v teorii množin přednesené na mezinárodním sympoziu o Teorii Modelů v Berkeley dne 4. července 1963. Jeho důkaz se objevil ve dvou dokumentech nezávislost hypotézy kontinua (1963) a nezávislost hypotézy kontinua. II (1964). Andrzej Mostowski, přezkoumání první z nich, píše:-

Tyto výsledky, že představit dlouho očekávaný řešení z nejvýraznějších otevřené problémy axiomatická teorie a měly by být hodnocené jako nejvíce důležité předem ve studiu axiomatická teorie od zveřejnění Gödel 1940 monografie ‚konzistenci hypotéza kontinua‘ (1940). … na to recenzent se zdá více než pravděpodobné, že vliv Cohen je objev bude alespoň tak hluboko v metamathematics jako v obecné filozofii matematiky (a možná nejen z matematiky).

Angus MacIntyre, který byl postgraduální student na Stanfordské od roku 1964 do roku 1967, píše :-

mě inspiroval, když jsem byl mladý matematik. Nikdy jsem ho neslyšel přednášet o teorii množin, ale spíše o algebraické geometrii a p-adických polích. Měl velmi zvláštní styl, plný nadšení a velmi ‚ ruce na. Používal co nejmenší obecnou teorii a vždy vyjadřoval pocit, že se dostal k jádru věci. Jeho techniky, dokonce i v něčem tak abstraktním, jako je teorie množin, byly velmi konstruktivní. Byl děsivě chytrý, a jeden by musel být naivní, nebo mimořádně altruistické dát jeden je nejtěžší problém se Paul věděl jsem, že v 60. letech.

Viz článek Paul Cohen v matematice a výuce na TENTO ODKAZ
V roce 1966 Cohen publikoval monografii teorie množin a hypotéza kontinua založené na kurz, dal na Harvardu na jaře 1965. Azriel Lévy (který poprvé slyšel Cohenovy výsledky na konferenci teorie modelů Berkeley) píše:-

Tato monografie je většinou expozice slaví výsledky autora, a sice nezávislost, hypotéza kontinua a axiom výběru. Kromě toho prezentuje také hlavní klasické výsledky v logice a teorii množin. … Tato kniha představuje svěží a intuitivní přístup a dává některé pohledy do mentálního procesu, který vedl autora k jeho objevům. Čtenář najde v této knize to správné množství filozofických poznámek pro matematickou monografii.

ve stejném roce získal Cohen Fieldsovu medaili za svou základní práci na základech teorie množin. Představil mu ho Mstislav Vsevolodovič Keldysh, prezident Akademie věd SSSR, na mezinárodním kongresu matematiků v Moskvě v roce 1966. Pouze jeden Fields medailista (Lars Ahlfors) byl udělen Fields medaili v mladším věku. Alonzo Church přednesl Kongres o Paul J Cohen a problému kontinua popisující Cohenovy pozoruhodné úspěchy. Fieldsova medaile však nebyla prvním oceněním, které Cohen obdržel. V roce 1964 mu byla udělena Bôcher Památník Cenu od Americké Matematické Společnosti:-

…pro jeho práci, na domněnku Littlewood a idempotent opatření, American Journal of Mathematics 82 (1960), 191-212.

o Tři roky později, v roce 1967, Cohen obdržel Národní Medaile Vědy:-

Pro epochální výsledky v matematické logice, která oživila a rozšířila vyšetřování v základech matematiky.

obdržel cenu od prezidenta Lyndona B Johnsona při slavnostním ceremoniálu v Bílém domě dne 13. února 1968. Byl také zvolen do Národní Akademie Věd, Americké Akademie Umění a Věd, a jako čestným zahraničním členem Londýnské Matematické Společnosti.
kromě své práce na teorii množin pracoval Cohen na diferenciální rovnici a harmonické analýze. Dawn Levy zprávy v komentáře o Cohen Peter Sarnak (profesor matematiky na Princetonské univerzitě a bývalý doktorand cohenova s tezí Předsedy Geodetické Věty (1980)):-

Paul Cohen byl jedním z nejbrilantnějších matematiků 20.století. Stejně jako mnoho velkých matematiků, jeho matematické zájmy a příspěvky byly velmi široké, od matematické analýzy a diferenciálních rovnic matematické logiky a teorie čísel. Tato šířka byla zdůrazněna na konferenci konané ve Stanfordu loni v září oslavující Cohenovu práci a jeho 72. narozeniny. Shromáždění se skládalo z předních odborníků z různých oborů, kteří by za normálních okolností nenašli, že by poslouchali stejný soubor přednášek. … Cohen byl dynamický a nadšený lektor a učitel. Udělal matematiku jednoduchou a jednotnou. Vždy toužil sdílet své mnoho nápadů a postřehů v různých oblastech. Jeho vášeň pro matematiku nikdy nezmizela.

Macintyre píše o důležité dokumenty Cohen vyrobené po jeho vynikající výsledky na „hypotéze kontinua“:-

V roce 1969 Cohen publikoval velmi originální papír na p-adic buňky rozkladu, dávat konstruktivní verze slavné výsledky Ax-Kochen-Ersov. Nyní je zásadní pro logickou analýzu motivické integrace. Od roku 1969 se Cohen věnoval některým z nejnáročnějších a nejodolnějších problémů, jako je Riemannova hypotéza. Byl to vášnivý a inspirativní matematik.

Kathy Owen, který strávil čas na Stanfordu v roce 1970, napsal o Cohen v té době :-

Paul byl úžasný člověk. Netrpělivý, neklidný, soutěživý, provokativní a brilantní. Byl pravidelným v kávové hodině pro postgraduální studenty a fakultu. Miloval střih a tah debaty a argumentů na jakékoli téma a byl neúprosný, pokud našel logickou slabost v protichůdném pohledu. Prostě se nebylo kam schovat! Stál za jeho ostrý intelekt, jeho fascinace pro velké otázky, jeho zvláštní zájem „perfect pitch“ (přinesl vidličku na kávu hodinu a testovány každý) a jeho mírné podráždění s několika, kteří mají absolutní sluch. Byl to pozoruhodný muž, drahý přítel, který měl velký dopad na můj život, světlo s plným spektrem barev.

Cohen byl jmenován Marjorie Mhoon Fair profesorem kvantitativní vědy na Stanfordu v roce 1972, jako první držitel této židle. Formálně odešel do důchodu v roce 2004, ale pokračoval ve výuce na Stanfordu až krátce před svou smrtí. Zemřel na vzácnou plicní chorobu ve Stanfordské nemocnici v Palo Alto.
Cohen zájmy mimo matematiku, hrál i na klavír a housle, zpíval v Stanford sbor, a byl členem švédské folkové skupiny. Byl uznávaným lingvistou hovořícím švédsky, francouzsky, španělsky, německy a Jidiš. On a jeho manželka pořádali časté večeře pro studenty, kolegy a přátele. Rád ukazoval návštěvníkům kolem San Franciska a okolí.
ukončme tuto biografii citací Cohenových vzpomínek na jeho práci na hypotéze kontinua: –

… je poněkud zvláštní, že v jistém smyslu hypotéza kontinua a axiom volby nejsou opravdu obtížnými problémy – nezahrnují technickou složitost; nicméně v té době byly považovány za obtížné. Dalo by se humorným způsobem říci, že postoj k mému důkazu byl následující. Když to bylo poprvé představeno, někteří lidé si mysleli, že je to špatné. Pak to bylo považováno za nesmírně komplikované. Pak to bylo považováno za snadné. Ale samozřejmě je to snadné v tom smyslu, že existuje jasná filozofická myšlenka. Byly tam technické body, které mi vadily, ale v podstatě to nebyl opravdu enormně zapojený kombinatorický problém; byla to filozofická myšlenka.