Když jsme se natáhnout gumičku kolem povrchu jablko, pak můžeme zmenšit, aby se bod pohyboval pomalu, bez trhání a bez umožňuje opustit povrch. Na druhou stranu, když si představíme, že stejný gumička se nějak protáhl v příslušném směru kolem koblihu, pak neexistuje žádný způsob, jak zmenšující se to do bodu, bez porušení buď gumičkou, nebo kobliha. Říkáme, že povrch jablka je „jednoduše spojen“, ale že povrch koblihy není. Poincaré, téměř před sto lety, věděl, že dvourozměrná koule je v podstatě charakterizována touto vlastností jednoduché konektivity, a položil odpovídající otázku pro trojrozměrnou sféru.

tato otázka se ukázala jako mimořádně obtížná. Téměř sto let uplynulo mezi jeho formulaci v roce 1904 Henri Poincaré a jeho řešení tím, že Grigorij Perelman, oznámil v preprinty zveřejněny na ArXiv.org v letech 2002 a 2003. Perelman řešení bylo založeno na Richarda Hamiltona, teorie Ricci toku, a z využívání výsledků na prostory metriky vzhledem k Cheeger, Gromov, a Perelman sám. V těchto dokumentech Perelman také prokázal Geometrizační domněnku Williama Thurstona, zvláštním případem je Poincaréova domněnka. Viz tisková zpráva ze dne 18. března 2010.

Image credit: http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/Special_Topics/Hyperbolic_Geometry/