Pracovní 2.000 let před rozvojem kalkul, řecký matematik Archimedes vymyslel jednoduchý vzorec pro objem koule:

Z mnoha jeho matematické příspěvky, Archimedes byl velmi hrdý na tento výsledek, dokonce jde tak daleko, jak se zeptat, že metoda, kterou používá pro práci se vzorci — diagram opsané koule uvnitř válce podél s poměrem 2:3— být potiskem na jeho náhrobku.

Archimédův vzorec mohl být v roce 250 př. n. l. tahem vědeckého génia, ale s pomocí moderního kalkulu je odvození velmi jednoduché. V tomto příspěvku vysvětlím jeden způsob, jak odvodit slavný vzorec, a vysvětlit, jak to lze provést v jiných dimenzích, než jsou obvyklé tři.

derivace

zvažte níže uvedený diagram. Je to koule s poloměrem r. cílem je najít hlasitost, a takto to uděláme.

Všimněte si, že jedna věc, kterou můžeme snadno najít, je oblast jednotné horizontální plátek míč. Toto je stínovaný disk v horní části diagramu, který je nakreslen ve výšce z. disk má poloměr x, který budeme potřebovat k nalezení oblasti disku. Chcete-li najít x, můžeme vytvořit pravý trojúhelník se stranami z A x a přeponu r. To je nakresleno na obrázku. Pak můžeme snadno vyřešit Pro x.

Pomocí Pythagorovy věty, víme, že

přejít řešení pro x máme

Pak je plocha té vystínované disk je prostě pí krát poloměr na druhou, nebo

Nyní, že máme oblasti horizontální disk, chceme najít prostor pro všechny horizontální disky uvnitř míče sečtou dohromady. To nám dá objem koule.

k tomu jednoduše vezmeme určitý integrál vzorce oblasti disku shora pro všechny možné výšky z, které jsou mezi -r (ve spodní části koule)a r (v horní části koule). To je, naše objem je dán tím,

Což je objem vzorec, který jsme hledali.

tato stejná logika může být použita k odvození vzorců pro objem „koule“ ve 4, 5 a vyšších rozměrech. Tímto způsobem můžete ukázat, že objem jednotkové koule v jedné dimenzi (čára) je pouze 2; objem ve dvou rozměrech (disku) je

a — jak jsme ukázali — objem ve třech rozměrech (koule) je

Pokračování na čtyři, pět, a nakonec n rozměry, překvapivý výsledek se zobrazí.

ukázalo se, že objem jednotkové koule vrcholí v pěti rozměrech a poté pokračuje ve zmenšování, nakonec se blíží nule, protože dimenze n jde do nekonečna.