arbejder 2.000 år før udviklingen af calculus, udarbejdede den græske matematiker Archimedes en simpel formel for volumenet af en kugle:

af hans mange matematiske bidrag var Archimedes mest stolt af dette resultat og gik endda så langt som at bede om, at den metode, han brugte til at udarbejde formlen — et diagram, der omskrev en kugle inde i en cylinder sammen med forholdet 2:3— være præget på hans gravsten.Archimedes ‘ formel kan have været et slag af videnskabeligt geni i 250 F. kr., men ved hjælp af moderne beregning er afledningen ekstremt enkel. I dette indlæg vil jeg forklare en måde at udlede den berømte formel på, og forklare, hvordan det kan gøres i andre dimensioner end de sædvanlige tre.

afledningen

overvej diagrammet nedenfor. Det er en kugle med radius r. målet er at finde lydstyrken, og her er hvordan vi gør det.

Bemærk, at en ting kan vi nemt finde ud af, er arealet af en enkelt vandret udsnit af bolden. Disken har en radius på H, som vi skal finde diskens område. For at finde H kan vi danne en højre trekant med siderne h og H og hypotenusen r. Dette er tegnet i figuren. Så kan vi nemt løse for H.

ved Pythagoras sætning ved vi, at

Jump løsning for vi har

derefter er området af den skraverede disk simpelthen pi gange radius kvadreret, eller

nu hvor vi har arealet af en vandret disk, vil vi finde området for alle vandrette diske inde i bolden opsummeret sammen. Det vil give os omfanget af kuglen.

for at gøre dette tager vi simpelthen det bestemte integral af diskområdeformlen ovenfra for alle mulige højder s, som er mellem-r (nederst på bolden) og r (øverst på bolden). Det vil sige, vores volumen er givet af

hvilket er den volumenformel, vi ledte efter.

denne samme logik kan også bruges til at udlede formler for volumenet af en “bold” i 4, 5 og højere dimensioner. Hvis du gør det, kan du vise, at volumenet af en enhedskugle i en dimension (en linje) kun er 2; volumenet i to dimensioner (en disk) er

og — som vi netop har vist — er lydstyrken i tre dimensioner (en kugle)

” >

fortsætter til fire, fem og i sidste ende n dimensioner, vises et overraskende resultat.

det viser sig, at volumenet af en enhedskugle topper ved fem dimensioner, og fortsætter derefter med at krympe derefter og i sidste ende nærmer sig nul, når dimensionen n går til uendelig.