et system af lineære ligninger kan løses ved at reducere dets forstærkede matrice til reduceret echelonform.

en matrice kan ændres til dens reducerede række echelon-form eller række reduceret til dens reducerede række echelon-form ved hjælp af de elementære rækkeoperationer. Disse er:

1. udveksling af en række af matricen med en anden af matricen.
2. Multiplicer en række af matricen med en ikke-nul skalar konstant.
3. udskift den ene række med den ene række plus en konstant gange en anden række i matricen.

for eksempel givet følgende lineære system med tilsvarende augmented matrice:

3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 {\displaystyle 3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}=-5}

3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 {\displaystyle 3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=9}

3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 {\displaystyle 3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}=15}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&&&&&&&&&&&&&&15\end{bmatrix}}}

To solve dette system, matricen skal reduceres til reduceret echelon form.Trin 1: Skift række 1 og række 3. Alle førende nuller er nu under ikke-nul førende poster.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 2: Sæt række 2 til Række 2 plus (-1) gange række 1. Med andre ord trækker du Række 1 fra række 2. Dette eliminerer den første indgang i Række 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 3: Multiply row 2 by 3 and row 3 by 2. This will eliminate the first entry of row 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-10\end{bmatrix}}}

Trin 4: Sæt række 3 til række 3 plus (-1) gange række 2. Med andre ord trækker du Række 2 Fra række 3. Dette eliminerer den anden indgang i række 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&8\end{bmatrix}}}

Step 5: Multiplicer hver række med den gensidige af dens første ikke-nul værdi. Dette får hver række til at starte med en 1.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

The matrix is nu i række echelon form: alle ikke-nul rækker er over alle rækker af alle nuller (der er ingen nul rækker), hver førende post i en række er i en kolonne til højre for den førende post i rækken over den, og alle poster i en kolonne under en førende post er nuller.

som det kan og vil blive vist senere, kan man fra denne formular observere, at systemet har uendeligt mange løsninger. For at få disse løsninger reduceres matricen yderligere til reduceret echelonform.

Trin 6: Indstil række 2 til Række 2 plus (-1) gange række 3 og række 1 til Række 1 plus (-2) gange række 3. Dette eliminerer posterne over den førende post i række 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

Step 7: Sæt række 1 til Række 1 plus 3 gange række 2. Dette eliminerer posten over den førende post i Række 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

This is a reduceret echelon form, da den førende post i hver ikke-nul række er 1, og hver førende 1 er den eneste ikke-nul post i sin kolonne.

herfra kan løsningen af systemet læses:
x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 24 {\displaystyle x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24}

x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = − 7 {\displaystyle x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7}

x 5 = 4 {\displaystyle x_{5}=4}

Those equations can be solved for x 1 {\displaystyle x_{1}}

, x 2 {\displaystyle x_{2}}

and x 5 {\displaystyle x_{5}}