biografi

Paul Cohens forældre, Abraham og Minnie Cohen, var jødiske indvandrere til USA fra deres hjemland Polen. Abraham Cohen var dybest set en ulige job mand, dreje sin hånd til en række forskellige job, mens hans kone bragt i nogle tiltrængte penge til familien fra dressmaking. Paul var den yngste af sine forældres fire børn, og han blev opdraget i Brooklyn. Han blev opdraget af sin mor fra en alder af ni siden dengang hans forældre adskilt. Interesseret i matematik fra barndommen begyndte han at studere avanceret matematik fra en ung alder. Han: –

… var kun ni år gammel, da hans søster Sylvia tjekket ud en bog om calculus fra et bibliotek for ham. Bibliotekarer var tilbageholdende med at lade hende få bogen, meget mindre for sin yngre bror, argumenterer for, at selv nogle universitetsprofessorer ikke forstod calculus.

gennem sine teenageår blev han betragtet som en matematisk vidunderbarn, forbløffende alle omkring ham med de evner, han viste i matematik konkurrencer. Han deltog Stuyvesant High School, eksamen i 1950 i en ung alder af seksten år. Denne skole, med et højt ry for matematik og videnskab, accepterede kun de bedste studerende efter at have taget en optagelsesprøve. Efter eksamen fra Stuyvesant High School var Cohen studerende ved Brooklyn College fra 1950 til 1953, men forlod uden at tage en grad, der var blevet optaget til kandidatstudier ved University of Chicago efter at have besøgt for at diskutere hans forskningsmuligheder i Chicago. Han studerede til sin kandidatgrad i Chicago og tog kurser for at passe ind i sit mål på det tidspunkt, som var at foretage forskning i talteori. Hans viden om talteori før han ankom til Chicago var fra en række klassiske tekster, som han havde læst alene, mens han var på College. For at passe ind med dette mål begyndte han at arbejde på talteori under opsyn af Andr. Han blev tildelt sin kandidatgrad i 1954, men han blev mere interesseret i, at visse resultater i talteori var ubeslutsomme end i talteori selv, talteori forblev dog et emne af interesse for ham gennem hele sin karriere :-

han gjorde en vane med at spørge fakultetet og medstuderende, hvad de vigtigste problemer var inden for deres felter, fordi det var de eneste problemer, han ønskede at løse.

fortsætter med at studere i Chicago for sin doktorgrad under tilsyn af Antoni Gygmund han blev tildelt sin ph.d. i 1958 for hans ph. d. – afhandling emner i teorien om unikke trigonometriske serie. I denne afhandling siger Cohen, at han :-

… ønsker at udtrykke sin dybeste taknemmelighed over for Professor a Kindmund for hans konstante hjælp og opmuntring under forberedelsen af denne afhandling.

han begynder introduktionen ved at sætte emnet for afhandlingen i sammenhæng :-

teorien om unikke trigonometriske serier kan betragtes som arsing fra spørgsmålet om at afgøre, i hvilken forstand Fourier-serien af en funktion kan betragtes som den legitime udvidelse af funktionen i en uendelig trigonometrisk serie. Vi ved selvfølgelig, at hvis serien konvergerer bundet til funktionen, så skal seriens koefficienter faktisk gives af Euler-Fourier-formlerne. Men i mangel af en sådan tilstand kan vi spørge os selv, om to trigonometriske serier kan konvergere til den samme funktion overalt. Svaret på dette spørgsmål er negativt og blev i det væsentlige bevist det af Riemann, beviset udfyldes af Cantor. Det er med udskiftningen af konvergensbetingelsen overalt med konvergensen næsten overalt, at teorien om sæt af unikhed er bekymret.

årene som forskningsstuderende var gode for Cohen, og han lavede mange venskaber med medstuderende, venskaber, der ville vare hele sit liv. John Thompson var en sådan forskerstuderende i Chicago. Cohen, gennem disse venskaber, var også begyndt at interessere sig for logik :-

som kandidatstuderende Cohens forbindelse med logik var hans venskaber med en livlig gruppe studerende, der blev logikere; Michael Morley, Anil Nerode, Bill I et stykke tid boede han i Tennenbaums hus og absorberede logik ved osmose, for der var ingen kurser i logik i Chicago mathematics department.

i 1957, før tildelingen af sin doktorgrad, blev Cohen udnævnt til instruktør i matematik ved University of Rochester i et år. Derefter tilbragte han det akademiske år 1958-59 på Massachusetts Institute of Technology, før han tilbragte 1959-61 som stipendiat ved Institute for Advanced Study på Princeton. Disse var år, hvor Cohen gjort en række væsentlige matematiske gennembrud. I Faktorisering i gruppe algebraer (1959) viste han, at enhver integrerbar funktion på en lokalt kompakt gruppe er sammenfaldet af to sådanne funktioner, der løser et problem, der stilles af Rudin. I om en formodning om Lilletræ og idempotent foranstaltninger (1960) gjorde Cohen et betydeligt gennembrud i løsningen af Lilletræs formodninger. Han havde tidligere skrevet til Harold Davenport fortæller ham om dette resultat og Davenport svarede: –

… til Paulus sagde, at hvis Pauls bevis holdt op, ville han have forbedret en generation af britiske analytikere, der havde arbejdet hårdt på dette problem. Paulus ‘bevis holdt op; faktisk var Davenport den første til at forbedre Paulus’ resultat.

i 1961 blev Cohen udnævnt til fakultetet ved Stanford University som adjunkt i matematik. Han blev forfremmet til lektor i matematik i det følgende år, og også i 1962, blev tildelt en Alfred P Sloan forskningsstipendium. I August 1962 Cohen deltog i Den Internationale Kongres matematikere i Stockholm. Han var en inviteret taler, der gav adressen Idempotent foranstaltninger og homomorfier af gruppe algebraer. På et krydstogt fra Stockholm til Leningrad efter kongressen mødte Cohen Christina Karls fra Malung, Sverige. De giftede sig den 10. oktober 1963 og havde tre sønner, tvillingerne Eric og Steven og Charles.

han blev forfremmet til fuld professor ved Stanford University i 1964 har, på dette tidspunkt, løst en af de mest udfordrende åbne problemer i matematik. Cohen brugte en teknik kaldet” tvang ” for at bevise uafhængigheden i sætteorien om det valgte aksiom og den generaliserede kontinuumhypotese. Angus MacIntyre skriver :-

et dramatisk aspekt af kontinuumhypotesearbejdet er, at Cohen var en selvlært outsider i logik. Hans arbejde med sætteori og p-adiske felter har en meget karakteristisk stil, kombinatorisk og temmelig fri for generel teori.

i Cohen forklarer han, hvordan han kom til ideen om at tvinge fra at læse Kurt G. Kontinuum hypotese problem var den første af David Hilbert ‘ s berømte 23 problemer leveret til den Anden Internationale Kongres matematikere i Paris i 1900. Hilberts berømte tale matematikens problemer udfordrede (og udfordrer i dag stadig) matematikere til at løse disse grundlæggende spørgsmål, og Cohen har sondringen mellem at løse Problem 1.
han var begyndt at arbejde på uafhængigheden af kontinuumhypotesen mod slutningen af 1962. I April 1963 følte han, at tingene klikkede på plads :-

der er visse øjeblikke i enhver matematisk opdagelse, når løsningen af et problem finder sted på et så underbevidst niveau, at det i eftertid synes umuligt at dissekere det og forklare dets oprindelse. Snarere præsenterer hele ideen sig på en gang, ofte måske i en vag form, men bliver gradvist mere præcis.

efter at have læst Cohens bevis, som han sendte i et brev af 9. maj 1963, svarede Kurt g:-

lad mig gentage, at det virkelig er en fornøjelse at læse dit bevis på kontinuumhypotesens uafhængighed. Jeg tror, at de i alle væsentlige henseender har givet det bedst mulige bevis, og det sker ikke ofte. At læse dit bevis havde en lignende behagelig effekt på mig som at se et rigtig godt spil.

Cohen talte om sit arbejde med uafhængigheden af det valgte aksiom og kontinuumhypotesen fra Aksiomerne i Sermelo-Fraenkel sætteori i et forelæsningsuafhængighed resulterer i sætteori leveret på det internationale symposium om ‘Modelteori’ i Berkeley den 4.juli 1963. Hans bevis optrådte i de to papirer kontinuumhypotesens uafhængighed (1963) og kontinuumhypotesens uafhængighed. II (1964). Andrej Mostovsky, gennemgå den første af disse, skriver:-

disse resultater præsenterer de længe ventede løsninger på de mest fremragende åbne problemer med aksiomatisk sætteori og bør vurderes som det vigtigste fremskridt i studiet af aksiomatisk sætteori siden offentliggørelsen af G. K. R. ‘S monografi fra 1940’ kontinuumhypotesen ‘ (1940). … for denne korrekturlæser synes det mere end sandsynligt, at indflydelsen fra Cohens opdagelse vil være mindst lige så dyb i metamatematik som i den generelle matematikfilosofi (og måske ikke kun matematik).

Angus MacIntyre, der var kandidatstuderende ved Stanford fra 1964 til 1967, skriver:-

Han inspirerede mig, da jeg var en ung matematiker. Jeg har aldrig hørt ham foredrag om sætteori, men snarere om algebraisk geometri og p-adiske felter. Han havde en meget speciel stil, fuld af entusiasme og meget ‘hænder på.’Han brugte så lidt generel teori som muligt og formidlede altid en fornemmelse af, at han kom til hjertet af tingene. Hans teknikker, selv i noget så abstrakt som sætteori, var meget konstruktive. Han var dauntingly klog, og man ville have været nødt til at være naiv eller usædvanligt altruistisk for at sætte sit ‘hårdeste problem’ til Paul, jeg kendte i 60 ‘erne.

se en artikel af Paul Cohen om matematik og undervisning på dette LINK
i 1966 offentliggjorde Cohen monografisætteorien og kontinuumhypotesen baseret på et kursus, han gav på Harvard i foråret 1965. Den første, der hørte Cohens resultater på Berkeley model theory conference, skriver:-

denne monografi er for det meste en redegørelse for forfatterens berømte resultater, nemlig uafhængigheden af kontinuumhypotesen og det valgte aksiom. Derudover præsenterer den også de vigtigste klassiske resultater i logik og sætteori. … Denne bog præsenterer en frisk og intuitiv tilgang, og den giver nogle glimt af den mentale proces, der førte forfatteren til hans opdagelser. Læseren finder i denne bog lige den rigtige mængde filosofiske bemærkninger til en matematisk monografi.

samme år blev Cohen tildelt en Fields-medalje for sit grundlæggende arbejde med grundlaget for sætteori. Det blev præsenteret for ham af Mstislav Vsevolodovich Keldysh, præsident for USSR Academy of Sciences, på den internationale kongres for matematikere i Moskva i 1966. Kun en Fields medalje (Lars Ahlfors) er blevet tildelt Fields Medal i en yngre alder. Kirken holdt en tale til Kongressen om Paul J Cohen og kontinuumproblemet, der beskriver Cohens bemærkelsesværdige resultater. Fields-medaljen var imidlertid ikke den første pris, som Cohen modtog. I 1964 blev han tildelt B-Kurtcher Memorial Prisen fra American Mathematical Society: –

…for hans papir, om en formodning om Lilletræ og idempotent foranstaltninger, American Journal of Mathematics 82 (1960), 191-212.

tre år senere, i 1967, modtog Cohen National Medal of Science:-

for epokegørende resultater i matematisk logik, som har oplivet og udvidet undersøgelser i grundlaget for matematik.

han modtog prisen fra præsident Lyndon B Johnson i en ceremoni i Det Hvide Hus den 13.februar 1968. Han er også blevet valgt til National Academy of Sciences, American Academy of Arts and Sciences, og som en honorær udenlandsk medlem af London Mathematical Society.ud over sit arbejde med sætteori arbejdede Cohen på differentialligning og harmonisk analyse. Daggry Levy rapporter i kommentarer om Cohen af Peter Sarnak (professor i matematik ved Princeton og en tidligere ph.d.-studerende i Cohens med afhandlingen Prime geodesiske teoremer (1980)): –

Paul Cohen var en af de mest strålende matematikere i det 20. århundrede. Ligesom mange store matematikere, hans matematiske interesser og bidrag var meget bred, lige fra matematisk analyse og differentialligninger til matematisk logik og talteori. Denne bredde blev fremhævet på en konference, der blev afholdt i Stanford i September sidste år for at fejre Cohens arbejde og hans 72-års fødselsdag. Samlingen bestod af førende eksperter inden for forskellige områder, som normalt ikke ville finde sig i at lytte til det samme sæt Forelæsninger. … Cohen var en dynamisk og entusiastisk underviser og lærer. Han fik matematik til at se enkel og samlet ud. Han var altid ivrig efter at dele sine mange ideer og indsigter på forskellige områder. Hans passion for matematik aldrig aftaget.

Macintyre skriver om de vigtige papirer, som Cohen producerede efter sine fremragende resultater på kontinuumhypotesen:-

i 1969 offentliggjorde Cohen et meget originalt papir om p-adisk celledbrydning, hvilket gav en konstruktiv version af de berømte resultater af økse-Kochen-Ersov. Det er nu grundlæggende for logisk analyse af motivisk integration. Fra 1969 dedikerede Cohen sig til nogle af de mest udfordrende og ubøjelige problemer, såsom Riemann-hypotesen. Han var en passioneret og inspirerende matematiker.

Kathy oven, Der tilbragte tid på Stanford i 1970 ‘ erne, skrev om Cohen på det tidspunkt:-

Paul var en forbløffende mand. Utålmodig, rastløs, konkurrencedygtig, provokerende og strålende. Han var en regelmæssig på kaffe time for de studerende og fakultetet. Han elskede cut-and-thrust af debat og argument om ethvert emne og var ubarmhjertig, hvis han fandt en logisk svaghed i et modsat synspunkt. Der var simpelthen ingen steder at skjule! Han stod ud for sit knivskarpe intellekt, hans fascination for de store spørgsmål, hans mærkelige interesse for “perfekt tonehøjde” (han bragte en tuninggaffel til kaffetime og testede alle) og hans milde irritation med de få, der har perfekt tonehøjde. Han var en bemærkelsesværdig mand, en kær ven, der havde stor indflydelse på mit liv, et lys med det fulde spektrum af farver.

Cohen blev udnævnt til Marjorie Mhoon Fair Professor i kvantitativ videnskab ved Stanford i 1972 og var den første indehaver af denne stol. Han trak sig formelt tilbage i 2004, men fortsatte med at undervise i Stanford indtil kort før sin død. Han døde af en sjælden lungesygdom på Stanford Hospital i Palo Alto.med hensyn til Cohens interesser uden for matematik spillede han både klaver og violin, sang i et Stanford-kor og var medlem af en svensk folkegruppe. Han var en dygtig sprogforsker, der talte Svensk, Fransk, Spansk, Tysk og jiddisch. Han og hans kone var vært for hyppige middagsfester for studerende, kolleger og venner. Han elskede at vise besøgende rundt i San Francisco og det omkringliggende område.
Lad os afslutte denne biografi ved at citere Cohens erindringer om hans arbejde med kontinuumhypotesen :-

… det er lidt nysgerrig, at kontinuumhypotesen og det valgte aksiom i en vis forstand ikke er virkelig vanskelige problemer – de involverer ikke teknisk kompleksitet; ikke desto mindre blev de på det tidspunkt betragtet som vanskelige. Man kan på en humoristisk måde sige, at holdningen til mit bevis var som følger. Da det først blev præsenteret, troede nogle mennesker, at det var forkert. Derefter blev det anset for at være ekstremt kompliceret. Så blev det anset for at være let. Men selvfølgelig er det let i den forstand, at der er en klar filosofisk ide. Der var tekniske punkter, du ved, som generede mig, men dybest set var det ikke rigtig et enormt involveret kombinatorisk problem; det var en filosofisk ide.