ligningerne i dette afsnit bruger ikke aksiomer af kvantemekanik, men bruger i stedet relationer, for hvilke der findes en direkte korrespondance i klassisk mekanik.

for eksempel: et stift regelmæssigt, krystallinsk (ikke amorft) gitter er sammensat af N-partikler. Disse partikler kan være atomer eller molekyler. N er et stort antal, siger i størrelsesordenen 1023 eller i rækkefølgen af Avogadro-nummeret for en typisk prøve af et fast stof. Da gitteret er stift, skal atomerne udøve kræfter på hinanden for at holde hvert atom nær dets ligevægtsposition. Disse kræfter kan være Van Der Vaals kræfter, kovalente bindinger, elektrostatiske attraktioner og andre, som alle i sidste ende skyldes den elektriske kraft. Magnetiske og gravitationelle kræfter er generelt ubetydelige. Kræfterne mellem hvert par atomer kan være kendetegnet ved en potentiel energifunktion V, der afhænger af afstanden til adskillelse af atomerne. Den potentielle energi i hele gitteret er summen af alle parvise potentielle energier multipliceret med en faktor på 1/2 for at kompensere for dobbelt tælling:

1 2 lit i lit j V ( r i − R j ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\nek j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}

hvor ri er placeringen af Ith-atomet, og V er den potentielle energi mellem to atomer.

det er vanskeligt at løse dette mange-kropsproblem eksplicit i enten klassisk eller kvantemekanik. For at forenkle opgaven pålægges der normalt to vigtige tilnærmelser. For det første udføres summen kun over naboatomer. Selvom de elektriske kræfter i virkelige Faste stoffer strækker sig til uendelig, er denne tilnærmelse stadig gyldig, fordi felterne produceret af fjerne atomer effektivt screenes. For det andet behandles potentialerne V som harmoniske potentialer. Dette er tilladt, så længe atomerne forbliver tæt på deres ligevægtspositioner. Formelt opnås dette ved, at Taylor udvider V om dens ligevægtsværdi til kvadratisk rækkefølge, hvilket giver V proportional med forskydningen H2 og den elastiske kraft simpelthen proportional med H. Fejlen ved at ignorere højere ordens vilkår forbliver lille, hvis h forbliver tæt på ligevægtspositionen.

det resulterende gitter kan visualiseres som et system af bolde forbundet med fjedre. Den følgende figur viser et kubisk gitter, som er en god model for mange typer krystallinsk fast stof. Andre gitter inkluderer en lineær kæde, som er et meget simpelt gitter, som vi snart vil bruge til modellering af fononer. (For andre almindelige gitter, se krystalstruktur.)

gitterets potentielle energi kan nu skrives som

lira { i j } (n n) 1 2 n Lira 2 ( R i − R j ) 2 . {\displaystyle \ sum _ {\{ij\} (\mathrm {nn})} {\tfrac {1}{2}}NN\omega ^{2}\venstre (R_{i}-r_{j} \ højre)^{2}.}

Her er den naturlige frekvens af de harmoniske potentialer, som antages at være den samme, da gitteret er regelmæssigt. Ri er positionskoordinaten for ith-atomet, som vi nu måler ud fra dets ligevægtsposition. Summen over nærmeste naboer er betegnet (nn).

Gitterbølgeredit

Phonon formerer sig gennem et firkantet gitter (atomforskydninger stærkt overdrevet)

På grund af forbindelserne mellem atomer, forskydningen af en eller flere atomer, en eller flere flere atomer fra deres ligevægtspositioner giver anledning til et sæt vibrationsbølger, der formerer sig gennem gitteret. En sådan bølge er vist i figuren til højre. Amplituden af bølgen er givet ved forskydningerne af atomerne fra deres ligevægtspositioner. Bølgelængden er markeret.

der er en mindst mulig bølgelængde, givet ved to gange ligevægtsadskillelsen a mellem atomer. Enhver bølgelængde, der er kortere end denne, kan kortlægges på en bølgelængde, der er længere end 2A, på grund af gitterets periodicitet. Dette kan tænkes som en konsekvens af Nykvist–Shannon prøveudtagningssætning, gitterpunkterne betragtes som “prøveudtagningspunkter” for en kontinuerlig bølge.

ikke alle mulige gittervibrationer har en veldefineret bølgelængde og frekvens. Imidlertid har de normale tilstande veldefinerede bølgelængder og frekvenser.

endimensional latticeEdit

Animation, der viser de første 6 normale tilstande af et endimensionelt gitter: en lineær kæde af partikler. Den korteste bølgelængde er øverst med gradvist længere bølgelængder nedenfor. I De laveste linjer kan bølgenes bevægelse til højre ses.

for at forenkle den analyse, der er nødvendig for et 3-dimensionelt gitter af atomer, er det praktisk at modellere et 1-dimensionelt gitter eller lineær kæde. Denne model er kompleks nok til at vise de fremtrædende træk ved fononer.

klassisk behandlingredit

kræfterne mellem atomerne antages at være lineære og nærmeste nabo, og de er repræsenteret af en elastisk fjeder. Hvert atom antages at være en punktpartikel, og kernen og elektronerne bevæger sig i trin (adiabatisk sætning):

n − 1 n n + 1 list a list

···o+++++++o++++++o++++++o++++++o+++++o+++++o+++++o++++o++++o++++o++ + + o···

list un − 1 un un + 1

hvor n mærker det nte Atom ud af i alt N, A er afstanden mellem atomer, når kæden er placeret i en i ligevægt, og un forskydningen af det n ‘ te atom fra dets ligevægtsposition.

Hvis C er fjederens elastiske konstant og m atomets masse, er bevægelsesligningen for det n ‘ te atom

− 2 C u n + C ( u n + 1 + u n − 1 ) = m d 2 u n d t 2 . {\displaystyle-2cu_{n}+C\venstre(u_{n+1}+u_{n-1}\højre)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}

Dette er et sæt koblede ligninger.

da løsningerne forventes at være oscillerende, defineres nye koordinater ved en diskret Fourier-transformation for at afkoble dem.

Put

u n = lign .N A k / 2 lign. = 1 N K e i k n A. {\displaystyle u_{n}= \ sum _{Nak / 2 \ pi =1}^{N}K_{k}e^{ikna}.}

Her svarer na til den kontinuerlige variabel i skalarfeltteori. Kk er kendt som de normale koordinater, continuum felttilstande KK.

Substitution i bevægelsesligningen producerer følgende afkoblede ligninger (dette kræver en signifikant manipulation ved hjælp af ortonormalitet og fuldstændighedsrelationer af den diskrete Fourier − transformation,

2 C ( cos-k a-1 ) K = m d 2 K K D T 2 . {\displaystyle 2C (\cos {K-1})K_{k}=m{\frac {d^{2}K_{k}}{dt^{2}}}.}

dette er ligningerne for afkoblede harmoniske oscillatorer, der har løsningen K K = A k e I list k t ; list k = 2 C m ( 1 − cos list k a ) . {\displaystyle K_{k}=a_{k}e^{i \ omega _{k}t};\k \omega _{k}={\frac {2C} {m}}(1-\cos {k})}}.}

hver normal koordinatk repræsenterer en uafhængig vibrationstilstand for gitteret med bølgetal k, som er kendt som en normal tilstand.

den anden ligning er kendt som dispersionsforholdet mellem vinkelfrekvensen og bølgetallet.

i kontinuumgrænsen er en lp 0, n lp{\displaystyle \Omega(k)\propto ka}

. Dette svarer til klassisk fri skalarfeltteori, en samling af uafhængige oscillatorer.

Kvantebehandlingredit

en endimensionel kvantemekanisk harmonisk kæde består af N identiske atomer. Dette er den enkleste kvantemekaniske model af et gitter, der gør det muligt for fononer at opstå fra det. Formalismen for denne model kan let generaliseres til to og tre dimensioner.

i modsætning til det foregående afsnit betegnes massernes positioner ikke af ui, men i stedet af H1, H2… målt ud fra deres ligevægtspositioner (dvs. 0 hvis partikel i er i sin ligevægtsposition.) I to eller flere dimensioner er vektormængder. Hamiltonian for dette system er

H = lira i = 1 N P i 2 2 m + 1 2 m Lira 2 lira { i j } ( n n ) ( i − J ) 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2M}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {NN} )}\venstre ({i}-{J}\højre)^{2}}

hvor M er massen af hvert atom (forudsat at det er ens for alle), og hhv. hhv. positions-og momentumoperatørerne, for Ith atom og summen er lavet over de nærmeste naboer (nn). Man forventer dog, at der i et gitter også kan forekomme bølger, der opfører sig som partikler. Det er sædvanligt at håndtere bølger i Fourier-rummet, der bruger normale tilstande af bølgevektoren som variabler i stedet for koordinater for partikler. Antallet af normale tilstande er det samme som antallet af partikler. Fourier-rummet er imidlertid meget nyttigt i betragtning af systemets periodicitet.

et sæt af N “normale koordinater” kan indføres, defineret som de diskrete Fourier − transformationer af KK og N “konjugat momenta”, der er defineret som Fourier-transformationerne af pk:

K = 1 n l l e i k a L L L K = 1 n l l e-i k a l p l . {\displaystyle {\begin{aligned}S_{k}&={\frac {1}{\frat {N}}}\sum _{l}e^{ikal}S_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\frat {N}}}\Sum _{l}e^{-ikal}P_{l}.\end{aligned}}}

mængden kn viser sig at være bølgetallet for fononet, dvs.2 liter divideret med bølgelængden.

dette valg bevarer de ønskede kommutationsrelationer i enten det virkelige rum eller bølgevektorrummet

= i liter L , M = 1 n liter L , m e i K A l E − i K ‘A m = i liter n liter L e I A l ( k − k’ ) = i liter K , k ‘ = = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left&=i\hbar \Delta _{l,m}\\\Left&={\frac {1}{n}}\Sum _{l,m}e^{ikal}e^{-ik’am}\left\\&={\frac {i\hbar }{n}}\Sum _{l}e^{ial\Left(k-k’\right)}=I\Hbar \Delta _{k,k’}\\\Left&=\left=0\end{aligned}}}

Fra den generelle resultat

∑ l x l x l + m = 1 N ∑ k k ‘Q-k-Q-k’ ∑ l e i a l ( k + k ‘ ) e a m k ‘ = ∑ k-Q-k-Q − k e a m k ∑ l p l 2 = ∑ k Π k Π − k {\displaystyle {\begin{justeret}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk’}Q_{k}Q_{k’}\sum _{l}e^{ial\left(k+k’\right)}e^{iamk’}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{justeret}}}

Den potentielle energi sigt er

1 2 m ω 2 ∑ j ( x j − x j + 1 ) 2 = 1 2 m ω 2 ∑ k-Q-k-Q − k ( 2 − e i k − e − jeg q ) = 1 2 ∑ k jeg ω k 2 Q-k − Q-k {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\venstre ({j}-s_{j+1}\højre)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}K_{k}K_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{K}M{\omega _{k}}^{2}K_{k}K_{-k}}

hvor

list K = 2 list 2 ( 1 − cos list (k a ) = 2 list | sin list K 2 | {\displaystyle \omega _{k}={\kvm {2}\Left(1-\cos{ka}\højre)}}=2\omega\venstre|\sin {\frac {ka} {2}} \højre|}

Hamiltonian kan skrives i bølgevektorrum som

H = 1 2 m k ( k k − k + m 2 K 2 K − K-K ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\venstre(\pi _{k}\pi _{- k}+m^{2}\omega _{K}^{2}k_{k}k_ {- k}\højre)}

koblingerne mellem positionsvariablerne var Hermitiske (hvilket de ikke er), ville den transformerede Hamiltonian beskrive n afkoblede harmoniske oscillatorer.

kvantiseringsformen afhænger af valget af randbetingelser; for enkelhed pålægges periodiske randbetingelser, der definerer (N + 1)th atom som ækvivalent med det første atom. Fysisk svarer dette til at forbinde kæden i dens ender. Den resulterende kvantisering er

k = k n = 2 liter N N A for n = 0 , ± 1 , ± 2 , … ± N 2 . {\displaystyle k=k_{n}={\frac {2 \ pi n}{Na}} \ firkant {\m boks{for }}n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {n}{2}}.\ }

den øvre grænse til n kommer fra den minimale bølgelængde, som er to gange gitterafstanden A, som diskuteret ovenfor.

de harmoniske oscillator egenværdier eller energiniveauer for tilstanden UK er:

E N = (1 2 + n ) = 0 , 1 , 2 , 3 … {\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\right)\hbar \omega _{k}\kvad n=0,1,2,3\ldots }

niveauerne er jævnt fordelt på:

1 2 list , 3 2 list , 5 2 list {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {3}{2}}\hbar \omega ,\ {\tfrac {5}{2}}\hbar \omega \ \cdots }

hvor 1/2 kg er nulpunktsenergien i en kvanteharmonisk oscillator.

en nøjagtig mængde energi skal tilføres det harmoniske oscillatorgitter for at skubbe det til det næste energiniveau. I sammenligning med foton-sagen, når det elektromagnetiske felt kvantiseres, kaldes kvantum af vibrationsenergi en fonon.

alle kvantesystemer viser bølgelignende og partiklelignende egenskaber samtidigt. Fononens partikellignende egenskaber forstås bedst ved hjælp af metoderne til anden kvantisering og operatørteknikker beskrevet senere.

tredimensionelt latticeEdit

dette kan generaliseres til et tredimensionelt gitter. Bølgetallet k erstattes af en tredimensionel bølgevektor k. Desuden er hver k nu forbundet med tre normale koordinater.

de nye indekser s = 1, 2, 3 mærker polariseringen af fononerne. I den endimensionelle model var atomerne begrænset til at bevæge sig langs linjen, så fononerne svarede til langsgående bølger. I tre dimensioner er vibrationer ikke begrænset til udbredelsesretningen og kan også forekomme i de vinkelrette planer, som tværgående bølger. Dette giver anledning til de yderligere normale koordinater, som, som formen af Hamiltonian indikerer, vi kan se som uafhængige arter af fononer.

Dispersion relationEdit

Dispersion curves in linear diatomic chain

Optical and acoustic vibrations in a linear diatomic chain.

Dispersion relation ω = ω(k) for some waves corresponding to lattice vibrations in GaAs.

for et endimensionelt alternerende array af to typer ion eller atom af masse m1 gentages m2 periodisk i en afstand a, forbundet med fjedre af fjederkonstant K, to vibrationsformer resultat:

list 2 = K ( 1 m 1 + 1 m 2) list k ( 1 m 1 + 1 m 2 ) 2 − 4 Sin 2 list k a 2 m 1 m 2 , {\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=k\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\højre)\pm k{\KVRT {\left({\frac {1}{m_{1}}}}+{\frac {1} {m_{2}}}\højre)^{2}-{\frac {4\Sin ^{2} {\frac {ka} {2}}} {m_{1} m_{2}}}}},}

hvor k er bølgevektoren af vibrationen relateret til dens bølgelængde ved k = 2 liter {\displaystyle k = {\tfrac {2\pi} {\Lambda}}}

.

forbindelsen mellem frekvens og bølgevektor, lp = lp (k), er kendt som en spredningsrelation. Plustegnet resulterer i den såkaldte optiske tilstand og minustegnet til den akustiske tilstand. I optisk tilstand bevæger to tilstødende forskellige atomer sig mod hinanden, mens de i akustisk tilstand bevæger sig sammen.

udbredelseshastigheden for en akustisk fonon, som også er lydens hastighed i gitteret, er givet ved hældningen af det akustiske dispersionsforhold, Hr.) Ved lave værdier af k (dvs. lange bølgelængder) er dispersionsforholdet næsten lineært, og lydens hastighed er ca. Som et resultat kan pakker af fononer med forskellige (men lange) bølgelængder forplantes i store afstande over gitteret uden at bryde fra hinanden. Dette er grunden til, at lyden formerer sig gennem faste stoffer uden væsentlig forvrængning. Denne adfærd fejler ved store værdier af k, dvs.korte bølgelængder, på grund af gitterets mikroskopiske detaljer.

for en krystal, der har mindst to atomer i sin primitive celle, udviser dispersionsforholdene to typer fononer, nemlig optiske og akustiske tilstande svarende til henholdsvis den øvre blå og den nedre røde kurve i diagrammet. Den lodrette akse er energien eller frekvensen af fonon, mens den vandrette akse er bølgevektoren. Grænserne at −kr/A og kr/A er grænserne for det første Brillouin-område. En krystal med n-2 forskellige atomer i den primitive celle udviser tre akustiske tilstande: en langsgående akustisk tilstand og to tværgående akustiske tilstande. Antallet af optiske tilstande er 3N-3. Den nederste figur viser spredningsrelationerne for flere fonontilstande i GaAs som en funktion af bølgevektor k i de vigtigste retninger af dets Brillouin-område.

mange phonon dispersionskurver er blevet målt ved uelastisk neutronspredning.

lydens fysik i væsker adskiller sig fra lydens fysik i faste stoffer, skønt begge er tæthedsbølger: lydbølger i væsker har kun langsgående komponenter, mens lydbølger i faste stoffer har langsgående og tværgående komponenter. Dette skyldes, at væsker ikke kan understøtte forskydningsspændinger (Men se viskoelastiske væsker, som kun gælder for høje frekvenser).

fortolkning af fononer ved hjælp af anden kvantiseringsteknikredit

den ovenfor afledte Hamiltonian kan se ud som en klassisk Hamiltonian-funktion, men hvis den fortolkes som en operatør, beskriver den en kvantefeltteori om ikke-interagerende bosoner.Den anden kvantiseringsteknik, der ligner stigeoperatørmetoden, der anvendes til kvanteharmoniske oscillatorer, er et middel til at udvinde energi egenværdier uden direkte at løse differentialligningerne. I betragtning af Hamiltonian, H {\displaystyle {\mathcal {H}}}

samt konjugatpositionen , K {\displaystyle K_{k}}

K {\displaystyle \pi _{k}}

defineret i afsnittet kvantebehandling ovenfor, kan vi definere oprettelse og udslettelse operatører: b k = jeg ω k 2 ℏ ( Q k + i m ω k Π − k ) {\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{k}+{\frac {jeg}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)}

og b k † = jeg ω k 2 ℏ ( Q − k − jeg jeg ω k Π k ) {\displaystyle {b_{k}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\hbar }}}\left(Q_{-k}-{\frac {jeg}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\right)}

følgende kommutatorer kan let opnås ved at erstatte i den kanoniske kommutationsrelation:

= Kurt k , k ‘, = = 0 {\displaystyle\left=\delta _{k,k’},\fird {\Big} =\left=0}

Ved hjælp af dette kan operatørerne BK prisT og BK vendes for at omdefinere den konjugerede position og momentum som:

Q k = ℏ 2 m ω k b k † + b − k ) {\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\hbar }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\dagger }+b_{-k}\right)}

og Π k = jeg ℏ m ω k 2, litra b k † − b − k ) {\displaystyle \Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\hbar m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\dagger }-b_{-k}\right)}

Direkte at erstatte disse definitioner med K {\displaystyle K_{k}}

og K {\displaystyle \Pi _{k}}

i Bølgevektorrummet Hamiltonian, som det er defineret ovenfor, og forenkling resulterer derefter i, at Hamiltonian tager formen: H = k k k ( b k k k + 1 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\hbar \omega _{k}\venstre({b_{k}}^{\dolk }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\højre)}

dette er kendt som den anden kvantiseringsteknik, også kendt som besættelsesnummerformuleringen, hvor nk = BK kurst BK er besættelsesnummeret. Dette kan ses som en sum af N uafhængig oscillator Hamiltonians, hver med en unik bølgevektorog kompatibel med de metoder, der anvendes til kvanteharmonisk oscillator (bemærk, at nk er hermitisk). Når en Hamiltonian kan skrives som en sum af pendling sub-Hamiltonians, energien egenstater vil blive givet af produkterne fra egenstater af hver af de separate sub-Hamiltonians. Det tilsvarende energispektrum gives derefter af summen af de individuelle egenværdier af sub-Hamiltonians.

Som med den kvanteharmoniske oscillator, kan man vise, at BK-hhv.

tre vigtige egenskaber ved fononer kan udledes af denne teknik. For det første er fononer bosoner, da et hvilket som helst antal identiske Ophidselser kan oprettes ved gentagen anvendelse af oprettelsesoperatøren bk prist. For det andet er hver fonon en “kollektiv tilstand” forårsaget af bevægelsen af hvert atom i gitteret. Dette kan ses af det faktum, at skabelses-og udslettelsesoperatørerne, defineret her i momentumrum, indeholder Summer over position og momentumoperatører for hvert atom, når de er skrevet i positionsrum (Se position og momentumrum). Endelig kan det ved hjælp af position–position korrelationsfunktionen vises, at fononer fungerer som bølger af gitterforskydning.

denne teknik er let generaliseret til tre dimensioner , hvor Hamiltonian tager form:

H = liter k liter s = 1 3 liter k , s ( b k , s liter B K, s + 1 2 ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}= \ sum _ {k} \ sum _{s=1}^{3}\hbar \,\omega _{k,s}\venstre({b_{k,s}}^{\dolk }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\højre).}