Hvis vi strækker et gummibånd rundt om et æbles overflade, kan vi krympe det ned til et punkt ved at bevæge det langsomt uden at rive det og uden at lade det forlade overfladen. På den anden side, hvis vi forestiller os, at det samme gummibånd på en eller anden måde er blevet strakt i den rigtige retning omkring en doughnut, er der ingen måde at krympe det til et punkt uden at bryde enten gummibåndet eller doughnut. Vi siger, at overfladen af æblet er “simpelthen forbundet”, men at overfladen af doughnut ikke er. Poincar Krist, for næsten hundrede år siden, vidste, at en todimensionel sfære i det væsentlige er kendetegnet ved denne egenskab ved simpel forbindelse og stillede det tilsvarende spørgsmål til den tredimensionelle sfære.

dette spørgsmål viste sig at være ekstraordinært vanskeligt. Næsten et århundrede gik mellem formuleringen i 1904 af Henri Poincar Kurt og dens løsning af Grigoriy Perelman, annonceret i preprints udgivet den ArXiv.org i 2002 og 2003. Perelmans løsning var baseret på Richard Hamiltons teori om Ricci-strømning og brugte resultater på metrics på grund af Cheeger, Gromov og Perelman selv. I disse papirer beviste Perelman også Vilhelm Thurstons formodning om Geometriisering, hvoraf et specielt tilfælde er Poincar-Kirsten-formodningen. Se pressemeddelelsen af 18. marts 2010.

Billedkredit: http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/Special_Topics/Hyperbolic_Geometry/