emnet for reel analyse beskæftiger sig med at studere adfærd og egenskaber ved funktioner, sekvenser og sæt på den reelle talelinje, som vi betegner som den matematisk velkendte R. begreber, som vi ønsker at undersøge gennem reel analyse, inkluderer egenskaber som grænser, kontinuitet, derivater (ændringshastigheder) og Integration (mængde ændring over tid). Mange af disse ideer behandles på et konceptuelt eller praktisk niveau på lavere niveauer af matematik, herunder et regelmæssigt førsteårs Beregningskursus, og for den uindviede læser kan emnet for reel analyse virke temmelig meningsløst og trivielt. Imidlertid, reel analyse er på en dybde, kompleksitet, og uden tvivl skønhed, at det er fordi under overfladen af hverdagens matematik, der er en sikkerhed for korrekthed, at vi kalder strenghed, der gennemsyrer hele matematikken. Således kan reel analyse til en vis grad ses som en udvikling af en streng, velprøvet ramme til støtte for de intuitive ideer, som vi ofte tager for givet.

reel analyse er et meget ligetil emne, idet det simpelthen er en næsten lineær udvikling af matematiske ideer, du er stødt på gennem din historie om matematik. I stedet for at stole på undertiden usikker intuition (som vi alle har følt, da vi løste et problem, vi ikke forstod), vil vi forankre det til et strengt sæt matematiske sætninger. I hele denne bog vil vi begynde at se, at vi ikke har brug for intuition for at forstå matematik – vi har brug for en manual.

den overordnede afhandling i denne bog er, hvordan man definerer de reelle tal aksiomatisk. Hvordan ville det fungere? Denne bog vil læse på denne måde: vi fastsætter de egenskaber, som vi mener definerer de reelle tal. Vi beviser derefter ud fra disse egenskaber – og kun disse egenskaber – at de reelle tal opfører sig på den måde, som vi altid har forestillet dem at opføre sig. Vi vil derefter omarbejde alle vores elementære sætninger og fakta, Vi indsamlede over vores matematiske liv, så det hele kommer sammen, næsten som om det altid har været sandt, før vi analyserede det; at det faktisk var strengt hele tiden – bortset fra at vi nu vil vide, hvordan det blev.

tro ikke, at når du har afsluttet denne bog, er matematik forbi. På andre områder af akademisk undersøgelse, der er glimt af en mærkelig realm af matematik i stigende grad bragt til forkant med standard tanke. Efter at have forstået denne bog vil matematik nu virke som om den er ufuldstændig og mangler begreber, som du måske har spekuleret på før. I denne bog vil vi give glimt af noget mere til matematik end de reelle tal og reel analyse. Når alt kommer til alt synes den matematik, vi taler om her, altid kun at involvere en variabel i et hav af tal og operationer og sammenligninger.

bemærk: en tabel over de matematiske symboler, der bruges nedenfor, og deres definitioner er tilgængelig i tillægget.

• forord
• gammel introduktion
• Manual of Style – Sådan læses denne bog

en udvalgt liste over kapitler kurateret fra andre bøger er angivet nedenfor. De bør hjælpe med at udvikle din matematiske stringens, der er en nødvendig tankegang, Du får brug for i denne bog såvel som i højere matematik.

• sætteori notation og matematiske beviser, fra bogen matematisk bevis
• oplevelsen af at arbejde med calculus begreber, fra bogen Calculus