Eine einfache Ableitung der Kugelvolumenformel
Der griechische Mathematiker Archimedes arbeitete 2.000 Jahre vor der Entwicklung der Infinitesimalrechnung an einer einfachen Formel für das Volumen einer Kugel:
Von seinen vielen mathematischen Beiträgen war Archimedes stolz auf dieses Ergebnis und sogar so weit, dass er die Methode, mit der er die Formel erarbeitete — ein Diagramm, das eine Kugel in einem Zylinder umschreibt, zusammen mit dem Verhältnis 2: 3 — auf seinen Grabstein drucken ließ.Archimedes ‚Formel mag 250 v. Chr. ein wissenschaftlicher Geniestreich gewesen sein, aber mit Hilfe der modernen Analysis ist die Ableitung äußerst einfach. In diesem Beitrag erkläre ich eine Möglichkeit, die berühmte Formel abzuleiten, und erkläre, wie dies in anderen Dimensionen als den üblichen drei erfolgen kann.
Die Ableitung
Betrachten Sie das folgende Diagramm. Es ist eine Kugel mit dem Radius r. Das Ziel ist es, das Volumen zu finden, und so machen wir das.
Beachten Sie, dass was wir leicht finden können, ist die Fläche einer einzelnen horizontalen Scheibe des Balls. Dies ist die schattierte Scheibe am oberen Rand des Diagramms, die in der Höhe z gezeichnet wird. Um x zu finden, können wir ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten z und x und Hypotenuse r bilden. Dann können wir leicht für x lösen.
Nach dem Satz des Pythagoras wissen wir, dass
Sprunglösung für x haben wir
Dann ist die Fläche der schattierten Scheibe einfach pi mal der Radius im Quadrat oder
Nachdem wir nun die Fläche einer horizontalen Scheibe haben, möchten wir die Fläche aller horizontalen Scheiben innerhalb der Kugel summieren. Das gibt uns das Volumen der Kugel.
Dazu nehmen wir einfach das definitive Integral der Scheibenflächenformel von oben für alle möglichen Höhen z, die zwischen -r (unten am Ball) und r (oben am Ball) liegen. Das heißt, unser Volumen ist gegeben durch
Das ist die Volumenformel, nach der wir gesucht haben.
Dieselbe Logik kann verwendet werden, um Formeln für das Volumen einer „Kugel“ in 4, 5 und höheren Dimensionen abzuleiten. Auf diese Weise können Sie zeigen, dass das Volumen einer Einheitskugel in einer Dimension (einer Linie) nur 2 beträgt; das Volumen in zwei Dimensionen (eine Festplatte) ist
und — wie wir haben gerade gezeigt — das Volumen in drei Dimensionen (eine Kugel) ist
Wenn man mit vier, fünf und schließlich n Dimensionen fortfährt, erscheint ein überraschendes Ergebnis.
Es stellt sich heraus, dass das Volumen einer Einheitskugel bei fünf Dimensionen seinen Höhepunkt erreicht und danach weiter schrumpft und sich letztendlich Null nähert, wenn die Dimension n ins Unendliche geht.