Ein lineares Gleichungssystem kann gelöst werden, indem seine erweiterte Matrix in eine reduzierte Echelonform reduziert wird.

Eine Matrix kann mit den elementaren Zeilenoperationen in ihre reduzierte Zeilenstaffelform oder in ihre reduzierte Zeilenstaffelform reduziert werden. Diese sind:

1. Vertausche eine Zeile der Matrix mit einer anderen der Matrix.
2. Multiplizieren Sie eine Zeile der Matrix mit einer Skalarkonstante ungleich Null.
3. Ersetzen Sie die eine Zeile durch die eine Zeile plus eine Konstante mal eine andere Zeile der Matrix.

Zum Beispiel das folgende lineare System mit entsprechender erweiterter Matrix:

3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 {\displaystyle 3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}=-5}

3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 {\displaystyle 3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=9}

3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 {\displaystyle 3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}=15}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&&&&&&&&&&&&&&15\end{bmatrix}}}

To solve in diesem System muss die Matrix in eine reduzierte Echelon-Form reduziert werden.

Schritt 1: Schalten Sie Zeile 1 und Zeile 3. Alle führenden Nullen befinden sich jetzt unter führenden Einträgen ungleich Null.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 2: Setzen Sie Zeile 2 auf Zeile 2 plus (-1) mal Zeile 1. Mit anderen Worten, subtrahieren Sie Zeile 1 von Zeile 2. Dadurch wird der erste Eintrag von Zeile 2 entfernt.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 3: Multiply row 2 by 3 and row 3 by 2. This will eliminate the first entry of row 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-10\end{bmatrix}}}

Schritt 4: Setzen Sie Zeile 3 auf Zeile 3 plus (-1) mal Zeile 2. Mit anderen Worten, subtrahieren Sie Zeile 2 von Zeile 3. Dadurch wird der zweite Eintrag von Zeile 3 entfernt.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&8\end{bmatrix}}}

Step 5: Multiplizieren Sie jede Zeile mit dem Kehrwert ihres ersten Werts ungleich Null. Dadurch beginnt jede Zeile mit einer 1.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

The matrix is jetzt in Reihenstaffelform: Alle Zeilen ungleich Null befinden sich über allen Zeilen aller Nullen (es gibt keine Nullzeilen), jeder führende Eintrag einer Zeile befindet sich in einer Spalte rechts vom führenden Eintrag der darüber liegenden Zeile und alle Einträge in einer Spalte unter einem führenden Eintrag sind Nullen.

Wie später gezeigt werden kann und wird, kann man aus dieser Form beobachten, dass das System unendlich viele Lösungen hat. Um diese Lösungen zu erhalten, wird die Matrix weiter in eine reduzierte Echelon-Form reduziert.

Schritt 6: Setzen Sie Zeile 2 auf Zeile 2 plus (-1) mal Zeile 3 und Zeile 1 auf Zeile 1 plus (-2) mal Zeile 3. Dadurch werden die Einträge über dem führenden Eintrag von Zeile 3 entfernt.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

Step 7: Setzen Sie Zeile 1 auf Zeile 1 plus 3 mal Zeile 2. Dadurch entfällt der Eintrag oberhalb des führenden Eintrags von Zeile 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

This is a reduzierte Echelon-Form, da der führende Eintrag in jeder Zeile ungleich Null 1 ist und jede führende 1 der einzige Eintrag ungleich Null in ihrer Spalte ist.

Daraus kann die Lösung des Systems abgelesen werden:
x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 24 {\displaystyle x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24}

x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = − 7 {\displaystyle x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7}

x 5 = 4 {\displaystyle x_{5}=4}

Those equations can be solved for x 1 {\displaystyle x_{1}}

, x 2 {\displaystyle x_{2}}

and x 5 {\displaystyle x_{5}}