Biografie

Paul Cohens Eltern, Abraham und Minnie Cohen, waren jüdische Einwanderer aus ihrem Heimatland Polen in die Vereinigten Staaten. Abraham Cohen war im Grunde ein Gelegenheitsjob Mann, seine Hand auf eine Vielzahl von verschiedenen Jobs drehen, während seine Frau in einigen dringend benötigten Geld in die Familie von Schneiderei gebracht. Paul war das jüngste von vier Kindern seiner Eltern und wuchs in Brooklyn, New York, auf. Er wurde ab dem Alter von neun Jahren von seiner Mutter erzogen, da sich zu dieser Zeit seine Eltern trennten. Von Kindheit an an Mathematik interessiert, begann er schon in jungen Jahren fortgeschrittene Mathematik zu studieren. Er :-

… war erst neun Jahre alt, als seine Schwester Sylvia ein Buch über Kalkül aus einer New Yorker Bibliothek für ihn auscheckte. Bibliothekare zögerten, ihr das Buch zu geben, geschweige denn für ihren jüngeren Bruder, und argumentierten, dass selbst einige College-Professoren Kalkül nicht verstanden hätten.

Während seiner Teenagerjahre galt er als mathematisches Wunderkind und verblüffte alle um ihn herum mit den Fähigkeiten, die er in Mathematikwettbewerben zeigte. Er besuchte die Stuyvesant High School in New York City, die er 1950 im Alter von sechzehn Jahren abschloss. Diese Schule mit einem guten Ruf in Mathematik und Naturwissenschaften akzeptierte nach einer Aufnahmeprüfung nur die besten Schüler. Nach seinem Abschluss an der Stuyvesant High School war Cohen von 1950 bis 1953 Student am Brooklyn College, verließ es jedoch ohne Abschluss, nachdem er nach einem Besuch in Chicago zum Studium an der University of Chicago zugelassen worden war, um seine Forschungsmöglichkeiten in Chicago zu erörtern. Er studierte für seinen Master-Abschluss in Chicago, wobei Kurse zu passen mit seinem Ziel zu der Zeit, die Forschung in der Zahlentheorie zu verpflichten war. Sein Wissen über Zahlentheorie, bevor er in Chicago ankam, stammte aus einer Reihe klassischer Texte, die er während seines Studiums selbst gelesen hatte. Um diesem Ziel gerecht zu werden, begann er unter der Leitung von André Weil an der Zahlentheorie zu arbeiten. Er erhielt seinen Master-Abschluss im Jahr 1954, aber er wurde mehr daran interessiert, dass bestimmte Ergebnisse in der Zahlentheorie unentscheidbar waren als in der Zahlentheorie selbst, Zahlentheorie blieb jedoch ein Thema von Interesse für ihn während seiner gesamten Karriere : –

Er machte es sich zur Gewohnheit, die Fakultät und Kommilitonen zu fragen, was die wichtigsten Probleme in ihren Bereichen seien, weil dies die einzigen Probleme seien, die er lösen wollte.

Fortsetzung des Studiums in Chicago für seine Promotion unter der Aufsicht von Antoni Zygmund erhielt er seinen Doktortitel im Jahr 1958 für seine Doktorarbeit Themen in der Theorie der Einzigartigkeit der trigonometrischen Reihen. In dieser Arbeit gibt Cohen an, dass er :-

… möchte Professor A. Zygmund seinen tiefsten Dank für seine ständige Hilfe und Ermutigung bei der Vorbereitung dieser Dissertation aussprechen.

Er beginnt die Einführung, indem er das Thema der Arbeit in einen Kontext stellt :-

Die Theorie der Eindeutigkeit der trigonometrischen Reihen kann als arsing aus der Frage der Entscheidung, in welchem Sinne die Fourier-Reihe einer Funktion kann als legitime Erweiterung der Funktion in einer unendlichen trigonometrischen Reihe betrachtet werden angesehen werden. Wir wissen natürlich, dass, wenn die Reihe gebunden an die Funktion konvergiert, die Koeffizienten der Reihe tatsächlich durch die Euler-Fourier-Formeln gegeben sein müssen. In Ermangelung einer solchen Bedingung können wir uns jedoch fragen, ob zwei trigonometrische Reihen überall zu derselben Funktion konvergieren können. Die Antwort auf diese Frage ist negativ und wurde im Wesentlichen von Riemann bewiesen, wobei der Beweis von Cantor vervollständigt wurde. Mit der Ersetzung der Bedingung der Konvergenz überall durch die der Konvergenz fast überall befasst sich die Theorie der Mengen der Einzigartigkeit.

Die Jahre als Forschungsstudent waren für Cohen gut und er schloss viele Freundschaften mit Kommilitonen, Freundschaften, die sein ganzes Leben lang anhalten würden. John Thompson war ein solcher Forschungsstudent in Chicago. Cohen hatte durch diese Freundschaften auch begonnen, sich für Logik zu interessieren : –

Als Doktorand war Cohens Verbindung zur Logik seine Freundschaften mit einer lebhaften Gruppe von Studenten, die Logiker wurden; Michael Morley, Anil Nerode, Bill Howard, Ray Smullyan und Stanley Tennenbaum. Für eine Weile lebte er in Tennenbaum’s Haus und absorbiert Logik durch Osmose, denn es gab keine Kurse in Logik in der Chicago Mathematics Department.

Im Jahr 1957, vor der Verleihung seiner Promotion, wurde Cohen als Dozent für Mathematik an der University of Rochester für ein Jahr ernannt. Anschließend verbrachte er das akademische Jahr 1958-59 am Massachusetts Institute of Technology, bevor er 1959-61 als Fellow am Institute for Advanced Study in Princeton arbeitete. In diesen Jahren machte Cohen eine Reihe bedeutender mathematischer Durchbrüche. In Faktorisierung in Gruppenalgebren (1959) zeigte er, dass jede integrierbare Funktion in einer lokal kompakten Gruppe die Faltung zweier solcher Funktionen ist, wodurch ein von Walter Rudin aufgeworfenes Problem gelöst wird. In On a conjecture of Littlewood and idempotent measures (1960) gelang Cohen ein bedeutender Durchbruch bei der Lösung der Littlewood-Vermutung. Er hatte Harold Davenport zuvor geschrieben und ihm von diesem Ergebnis erzählt, und Davenport antwortete : –

… zu Paul sagen, dass, wenn Paul Beweis gehalten, er hätte eine Generation von britischen Analysten besser, die hart an diesem Problem gearbeitet hatte. Pauls Beweis hielt; Tatsächlich war Davenport der erste, der Pauls Ergebnis verbesserte.

1961 wurde Cohen als Assistenzprofessor für Mathematik an die Fakultät der Stanford University berufen. Im folgenden Jahr wurde er zum Associate Professor für Mathematik befördert und erhielt 1962 ein Alfred P Sloan Research Fellowship. Im August 1962 nahm Cohen am Internationalen Mathematikerkongress in Stockholm teil. Er war ein eingeladener Redner, der die Adresse Idempotente Maßnahmen und Homomorphismen von Gruppenalgebren. Auf einer Kreuzfahrt von Stockholm nach Leningrad traf Cohen nach dem Kongress Christina Karls aus Malung, Schweden. Sie heirateten am 10.Oktober 1963 und hatten drei Söhne, die Zwillinge Eric und Steven und Charles.
Er wurde zum ordentlichen Professor an der Stanford University im Jahr 1964 mit, zu diesem Zeitpunkt gelöst eine der schwierigsten offenen Probleme in der Mathematik. Cohen verwendete eine Technik namens „Forcing“, um die Unabhängigkeit des Axioms der Wahl und der verallgemeinerten Kontinuumshypothese in der Mengenlehre zu beweisen. Angus MacIntyre schreibt :-

Ein dramatischer Aspekt der Arbeit der Kontinuumshypothese ist, dass Cohen ein autodidaktischer Außenseiter in der Logik war. Seine Arbeit über Mengenlehre und p-adische Felder hat einen sehr charakteristischen Stil, kombinatorisch und eher frei von allgemeiner Theorie.

In Cohen erklärt, wie er auf die Idee kam, Kurt Gödels The Consistency of the Continuum Hypothesis zu lesen, ein Buch, das aus Notizen eines Kurses besteht, der 1938-39 am Institute for Advanced Study gegeben wurde. Das Kontinuumshypotheseproblem war das erste von David Hilberts berühmten 23 Problemen, die 1900 auf dem Zweiten Internationalen Mathematikerkongress in Paris vorgestellt wurden. Hilberts berühmte Rede Die Probleme der Mathematik forderte Mathematiker heraus (und fordert sie heute noch heraus), diese grundlegenden Fragen zu lösen, und Cohen hat die Auszeichnung, Problem 1 zu lösen.Gegen Ende des Jahres 1962 hatte er begonnen, an der Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese zu arbeiten. Im April 1963 spürte er, wie die Dinge einrasteten :-

Es gibt bestimmte Momente in jeder mathematischen Entdeckung, in denen die Lösung eines Problems auf einer so unbewussten Ebene stattfindet, dass es im Nachhinein unmöglich erscheint, es zu sezieren und seinen Ursprung zu erklären. Vielmehr präsentiert sich die ganze Idee auf einmal, oft vielleicht in einer vagen Form, wird aber allmählich präziser.

Nachdem Kurt Gödel Cohens Beweis gelesen hatte, den er in einem Brief vom 9. Mai 1963 geschickt hatte, antwortete er ihm:-

Lassen Sie mich wiederholen, dass es wirklich eine Freude ist, Ihren Beweis für die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese zu lesen. Ich denke, dass Sie in allen wesentlichen Punkten den bestmöglichen Beweis erbracht haben, und das kommt nicht oft vor. Das Lesen Ihres Beweises hatte eine ähnlich angenehme Wirkung auf mich wie das Sehen eines wirklich guten Stücks.

Cohen sprach über seine Arbeit zur Unabhängigkeit des Axioms der Wahl und der Kontinuumshypothese von den Axiomen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre in einem Vortrag Unabhängigkeit führt zu Mengenlehre auf dem internationalen Symposium über die „Theorie der Modelle“ in Berkeley am 4. Juli 1963. Sein Beweis erschien in den beiden Papieren Die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese (1963) und Die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese. II (1964). Andrzej Mostowski, der den ersten von ihnen rezensiert, schreibt:-

Diese Ergebnisse stellen die lang erwarteten Lösungen der herausragendsten offenen Probleme der axiomatischen Mengenlehre dar und sollten als der wichtigste Fortschritt in der Erforschung der axiomatischen Mengenlehre seit der Veröffentlichung von Gödels Monographie „Die Konsistenz der Kontinuumshypothese“ (1940) von 1940 angesehen werden. … für diesen Rezensenten scheint es mehr als wahrscheinlich, dass der Einfluss von Cohens Entdeckung in der Metamathematik mindestens so tief sein wird wie in der allgemeinen Philosophie der Mathematik (und vielleicht nicht nur der Mathematik).

Angus MacIntyre, der von 1964 bis 1967 in Stanford studierte, schreibt :-

Er hat mich inspiriert, als ich ein junger Mathematiker war. Ich hörte ihn nie Vorlesung über Mengenlehre, sondern über algebraische Geometrie und p-adic Felder. Er hatte einen ganz besonderen Stil, voller Begeisterung und sehr ‚Hände auf. Er benutzte so wenig allgemeine Theorie wie möglich und vermittelte immer das Gefühl, dass er die Dinge auf den Punkt brachte. Seine Techniken, selbst in etwas so Abstraktem wie der Mengenlehre, waren sehr konstruktiv. Er war entmutigend klug, und man hätte naiv oder außergewöhnlich altruistisch sein müssen, um sein „härtestes Problem“ dem Paul zu stellen, den ich in den 60er Jahren kannte.

Siehe einen Artikel von Paul Cohen über Mathematik und Lehre unter DIESEM LINK
1966 veröffentlichte Cohen die Monographie Mengenlehre und Kontinuumshypothese basierend auf einem Kurs, den er im Frühjahr 1965 in Harvard gab. Azriel Lévy (der Cohens Ergebnisse zum ersten Mal auf der Berkeley Model Theory Conference hörte) schreibt:-

Diese Monographie ist hauptsächlich eine Darstellung der gefeierten Ergebnisse des Autors, nämlich der Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese und des Axioms der Wahl. Darüber hinaus präsentiert es auch die wichtigsten klassischen Ergebnisse in Logik und Mengenlehre. … Dieses Buch präsentiert einen frischen und intuitiven Ansatz und gibt Einblicke in den mentalen Prozess, der den Autor zu seinen Entdeckungen geführt hat. Der Leser wird in diesem Buch genau die richtige Menge an philosophischen Bemerkungen für eine mathematische Monographie finden.

Im selben Jahr erhielt Cohen eine Fields-Medaille für seine grundlegenden Arbeiten über die Grundlagen der Mengenlehre. Es wurde ihm von Mstislav Vsevolodovich Keldysh, Präsident der Akademie der Wissenschaften der UdSSR, auf dem Internationalen Mathematikerkongress 1966 in Moskau überreicht. Nur ein Fields-Medaillengewinner (Lars Ahlfors) wurde in jüngerem Alter mit der Fields-Medaille ausgezeichnet. Alonzo Church hielt vor dem Kongress eine Ansprache über Paul J. Cohen und das Kontinuumsproblem, in der er Cohens bemerkenswerte Leistungen beschrieb. Die Fields-Medaille war jedoch nicht die erste Auszeichnung, die Cohen erhielt. 1964 erhielt er den Bôcher Memorial Prize der American Mathematical Society:-

…für sein Papier, Auf einer Vermutung von Littlewood und idempotent Maßnahmen, American Journal of Mathematics 82 (1960), 191-212.

Drei Jahre später, 1967, erhielt Cohen die National Medal of Science:-

Für epochale Ergebnisse in der mathematischen Logik, die belebt und erweitert Untersuchungen in der Grundlage der Mathematik.

Er erhielt die Auszeichnung von Präsident Lyndon B Johnson in einer Zeremonie im Weißen Haus am 13. Februar 1968. Er hat auch gewählt worden, um die National Academy of Sciences, der American Academy of Arts and Sciences, und als honorary foreign member der London Mathematical Society.Zusätzlich zu seiner Arbeit an der Mengenlehre arbeitete Cohen auf Differentialgleichung und harmonische Analyse. Dawn Levy berichtet in Kommentaren über Cohen von Peter Sarnak (Professor für Mathematik in Princeton und ehemaliger Doktorand von Cohen mit der Arbeit Prime Geodesic Theorems (1980)): –

Paul Cohen war einer der brillantesten Mathematiker des 20. Wie viele große Mathematiker waren seine mathematischen Interessen und Beiträge sehr breit und reichten von mathematischer Analyse und Differentialgleichungen bis hin zu mathematischer Logik und Zahlentheorie. Diese Breite wurde auf einer Konferenz in Stanford im vergangenen September hervorgehoben, auf der Cohens Arbeit und sein 72. Das Treffen bestand aus führenden Experten auf verschiedenen Gebieten, die normalerweise nicht die gleichen Vorträge hören würden. … Cohen war ein dynamischer und begeisterter Dozent und Lehrer. Er ließ die Mathematik einfach und einheitlich aussehen. Er war immer bestrebt, seine vielen Ideen und Erkenntnisse in verschiedenen Bereichen zu teilen. Seine Leidenschaft für Mathematik ließ nie nach.

Macintyre schreibt über die wichtigen Arbeiten, die Cohen nach seinen herausragenden Ergebnissen zur Kontinuumshypothese produzierte: –

1969 veröffentlichte Cohen ein sehr originelles Papier über die Zersetzung p-adischer Zellen, das eine konstruktive Version der berühmten Ergebnisse von Ax-Kochen-Ersov enthält. Es ist jetzt grundlegend für die logische Analyse der motivischen Integration. Ab 1969 widmete sich Cohen einigen der schwierigsten und unnachgiebigsten Probleme, wie der Riemannschen Hypothese. Er war ein leidenschaftlicher und inspirierender Mathematiker.

Kathy Owen, die in den 1970er Jahren Zeit in Stanford verbrachte, schrieb damals über Cohen : –

Paul war ein erstaunlicher Mann. Ungeduldig, unruhig, wettbewerbsfähig, provokativ und brillant. Er war regelmäßig zur Kaffeestunde für die Doktoranden und die Fakultät. Er liebte den Schnitt und Schub der Debatte und Argumentation zu jedem Thema und war unerbittlich, wenn er eine logische Schwäche in einer entgegengesetzten Sichtweise fand. Es gab einfach keinen Ort, an dem man sich verstecken konnte! Er zeichnete sich durch seinen messerscharfen Intellekt, seine Faszination für die großen Fragen, sein seltsames Interesse an „Perfect Pitch“ (er brachte eine Stimmgabel zur Kaffeestunde und testete alle) und seine leichte Irritation mit den wenigen, die perfekte Tonhöhe haben. Er war ein bemerkenswerter Mann, ein lieber Freund, der einen großen Einfluss auf mein Leben hatte, ein Licht mit dem vollen Spektrum an Farben.

Cohen wurde 1972 zum Marjorie Mhoon Fair Professor für quantitative Wissenschaften an der Stanford University ernannt und war der erste Inhaber dieses Lehrstuhls. Er ging 2004 offiziell in den Ruhestand, unterrichtete aber bis kurz vor seinem Tod in Stanford. Er starb an einer seltenen Lungenerkrankung im Stanford Hospital in Palo Alto.Was Cohens Interessen außerhalb der Mathematik betrifft, spielte er sowohl Klavier als auch Violine, sang in einem Stanford-Chor und war Mitglied einer schwedischen Folk-Gruppe. Er war ein versierter Linguist, der Schwedisch, Französisch, Spanisch, Deutsch und Jiddisch sprach. Er und seine Frau veranstalteten häufig Dinnerpartys für Studenten, Kollegen und Freunde. Er liebte es, Besuchern San Francisco und die Umgebung zu zeigen.
Lassen Sie uns diese Biographie beenden, indem wir Cohens Erinnerungen an seine Arbeit an der Kontinuumshypothese zitieren :-

… es ist etwas merkwürdig, dass die Kontinuumshypothese und das Axiom der Wahl in gewissem Sinne keine wirklich schwierigen Probleme sind – sie beinhalten keine technische Komplexität; Dennoch wurden sie zu der Zeit als schwierig angesehen. Man könnte auf humorvolle Weise sagen, dass die Einstellung zu meinem Beweis wie folgt war. Als es zum ersten Mal vorgestellt wurde, dachten einige Leute, es sei falsch. Dann wurde es als extrem kompliziert angesehen. Dann dachte man, es sei einfach. Aber natürlich ist es einfach in dem Sinne, dass es eine klare philosophische Idee gibt. Es gab technische Punkte, wissen Sie, die mich störten, aber im Grunde war es nicht wirklich ein enorm involviertes kombinatorisches Problem; es war eine philosophische Idee.