Biografie

Giuseppe Peanos Eltern arbeiteten auf einem Bauernhof und Giuseppe wurde im Bauernhaus ‚Tetto Galant‘ etwa 5 km von Cuneo entfernt geboren. Er besuchte die Dorfschule in Spinetta, wechselte dann zur Schule in Cuneo und machte jeden Tag die 5 km lange Reise dorthin und zurück zu Fuß. Seine Eltern kauften ein Haus in Cuneo, aber sein Vater arbeitete mit Hilfe eines Bruders und einer Schwester von Giuseppe weiter auf den Feldern in Tetto Galant, während seine Mutter mit Giuseppe und seinem älteren Bruder in Cuneo blieb.
Giuseppes Mutter hatte einen Bruder, der Priester und Anwalt in Turin war, und als er merkte, dass Giuseppe ein sehr talentiertes Kind war, brachte er ihn 1870 nach Turin, um seine Sekundarschule zu besuchen und ihn auf ein Universitätsstudium vorzubereiten. Giuseppe nahm Prüfungen an Ginnasio Cavour im Jahre 1873 und dann war ein Schüler an der Liceo Cavour, von wo er seinen Abschluss im Jahre 1876 und in diesem Jahr trat er in die Universität von Turin.
Unter Peano’s Lehrer in seinem ersten Jahr an der Universität von Turin war D’Ovidio lehrte ihn analytische Geometrie und Algebra. In seinem zweiten Jahr unterrichtete er Kalkül von Angelo Genocchi und beschreibende Geometrie von Giuseppe Bruno. Peano weiterhin studieren reine Mathematik in seinem dritten Jahr und fand, dass er der einzige Student, dies zu tun. Die anderen hatten ihr Studium an der Ingenieurschule fortgesetzt, das Peano ursprünglich selbst beabsichtigt hatte. In seinem dritten Jahr Francesco Faà di Bruno lehrte ihn Analyse und D’Ovidio lehrte Geometrie. Zu seinen Lehrern in seinem letzten Jahr gehörten erneut D’Ovidio mit einem weiteren Geometriekurs und Francesco Siacci mit einem Mechanikkurs. Am 29. September 1880 promovierte Peano zum Doktor der Mathematik.Peano trat dem Personal an der Universität Turin im Jahr 1880, als Assistent von D’Ovidio ernannt. Er veröffentlichte seine erste mathematische Papier in 1880 und drei weitere Papiere im folgenden Jahr. Peano wurde 1881-82 zum Assistenten von Genocchi ernannt, und 1882 machte Peano eine Entdeckung, die für viele Jahre typisch für seinen Stil sein würde, er entdeckte einen Fehler in einer Standarddefinition.
Genocchi war zu dieser Zeit ziemlich alt und bei relativ schlechter Gesundheit und Peano übernahm einen Teil seiner Lehre. Peano wollte den Schülern gerade die Fläche einer gekrümmten Oberfläche beibringen, als er feststellte, dass die Definition in Serrets Buch, das der Standardtext für den Kurs war, falsch war. Peano erzählte Genocchi sofort von seiner Entdeckung, um zu erfahren, dass Genocchi es bereits wusste. Genocchi war im Vorjahr von Schwarz informiert worden, der anscheinend der erste war, der Serrets Fehler fand.

1884 erschien ein Text, der auf Genocchis Vorlesungen in Turin basierte. Dieser Buchkurs in Infinitesimalrechnung, obwohl er auf Genocchis Vorlesungen basiert, wurde von Peano herausgegeben und enthält in der Tat viel von Peano selbst. Das Buch selbst gibt auf der Titelseite an, dass es ist:-

… veröffentlicht mit Ergänzungen von Dr. Giuseppe Peano.

Genocchi schien etwas unglücklich, dass die Arbeit unter seinem Namen herauskam, denn er schrieb:-

… der Band enthält wichtige Ergänzungen, einige Änderungen und verschiedene Anmerkungen, die an erster Stelle stehen. Damit mir nichts zugeschrieben wird, was nicht mir gehört, muss ich erklären, dass ich an der Zusammenstellung des oben genannten Buches nicht beteiligt war und dass alles diesem herausragenden jungen Mann Dr. Giuseppe Peano zu verdanken ist …

Peano erhielt im Dezember 1884 seine Qualifikation zum Universitätsprofessor und unterrichtete weiterhin weitere Kurse, einige für Genocchi, deren Gesundheit sich nicht ausreichend erholt hatte, um an die Universität zurückkehren zu können.
1886 bewies Peano, dass, wenn f(x,y)f (x, y)f(x,y) stetig ist, die Differentialgleichung erster Ordnung dydx = f(x,y) \ large\frac{dy} {dx}\normalsize = f (x, y)dxdy=f(x,y) eine Lösung hat. Die Existenz von Lösungen mit stärkerer Hypothese auf fff war früher von Cauchy und dann Lipschitz gegeben worden. Vier Jahre später zeigte Peano, dass die Lösungen nicht eindeutig waren, und gab als Beispiel die Differentialgleichung dydx = 3y2 / 3 \ large \ frac {dy} {dx} \ normalsize = 3y ^ {2/3} dxdy = 3y2 / 3 mit y (0) = 0y (0) = 0y (0) = 0.Neben seiner Lehrtätigkeit an der Universität Turin begann Peano 1886 an der Militärakademie in Turin zu unterrichten. Im folgenden Jahr entdeckte und veröffentlichte er eine Methode zur Lösung linearer Differentialgleichungen unter Verwendung aufeinanderfolgender Näherungen. Émile Picard hatte diese Methode jedoch unabhängig entdeckt und Schwarz die Entdeckung der Methode zuerst zugeschrieben. 1888 veröffentlichte Peano das Buch Geometrical Calculus, das mit einem Kapitel über mathematische Logik beginnt. Dies war seine erste Arbeit zu diesem Thema, die in den nächsten Jahren eine wichtige Rolle in seiner Forschung spielen würde, und sie basierte auf der Arbeit von Schröder, Boole und Charles Peirce. Ein bedeutenderes Merkmal des Buches ist, dass Peano darin mit großer Klarheit die Ideen Grassmanns darlegt, die sicherlich von Grassmann selbst auf ziemlich obskure Weise dargelegt wurden. Dieses Buch enthält die erste Definition eines Vektorraums mit einer bemerkenswert modernen Notation und einem bemerkenswert modernen Stil, und obwohl dies zu dieser Zeit von vielen nicht geschätzt wurde, ist dies sicherlich eine bemerkenswerte Leistung von Peano.Im Jahr 1889 veröffentlichte Peano seine berühmten Axiome, genannt Peano Axiome, die die natürlichen Zahlen in Bezug auf Mengen definiert. Diese wurden in einer Broschüre Arithmetices principia, nova methodo exposita Ⓣ veröffentlicht, die laut waren:-

… zugleich ein Meilenstein in der Geschichte der mathematischen Logik und der Grundlagen der Mathematik.

Die Broschüre wurde in lateinischer Sprache verfasst und niemand konnte einen guten Grund dafür nennen, außer :-

… es scheint ein Akt purer Romantik zu sein, vielleicht der einzige romantische Akt in seiner wissenschaftlichen Karriere.

Die Peano-Axiome sind unter DIESEM LINK aufgelistet.
Genocchi starb 1889 und Peano erwartet, ernannt zu werden, um seinen Stuhl zu füllen. Er schrieb an Casorati, von dem er glaubte, dass er Teil des Ernennungsausschusses war, um Informationen zu erhalten, nur um festzustellen, dass es eine Verzögerung gab, da es schwierig war, genügend Mitglieder zu finden, um im Ausschuss tätig zu werden. Casorati war angesprochen worden, aber seine Gesundheit war der Aufgabe nicht gewachsen. Bevor der Termin vereinbart werden konnte, veröffentlichte Peano ein weiteres erstaunliches Ergebnis.
Er erfand 1890 ‚raumfüllende‘ Kurven, das sind kontinuierliche surjektive Abbildungen von auf das Einheitsquadrat. Hilbert beschrieb 1891 ähnliche raumfüllende Kurven. Man hatte gedacht, dass solche Kurven nicht existieren könnten. Cantor hatte gezeigt, dass es eine Bijektion zwischen dem Intervall und dem Einheitsquadrat gibt, aber kurz darauf hatte Netto bewiesen, dass eine solche Bijektion nicht kontinuierlich sein kann.
Sie können einige Phasen in der Konstruktion dieser Kurve unter DIESEM LINK sehen.
Peanos kontinuierliche Raumfüllungskurven können natürlich nicht 1-1 sein, sonst würde Nettos Theorem widersprochen. Hausdorff schrieb über Peanos Ergebnis in Grundzüge der Mengenlehre Ⓣ im Jahr 1914: –

Dies ist eine der bemerkenswertesten Tatsachen der Mengenlehre.

Im Dezember 1890 war Peanos Warten auf die Ernennung zum Genocchi-Stuhl vorbei, als Peano nach der üblichen Konkurrenz der Posten angeboten wurde. 1891 gründete Peano Rivista di matematica, eine Zeitschrift, die sich hauptsächlich der Logik und den Grundlagen der Mathematik widmete. Das erste Papier im ersten Teil ist ein zehnseitiger Artikel von Peano fasst seine Arbeit über mathematische Logik bis zu diesem Zeitpunkt.Peano hatte eine große Fähigkeit zu sehen, dass Theoreme falsch waren, indem er Ausnahmen entdeckte. Andere waren nicht so glücklich, auf diese Fehler hingewiesen zu haben, und einer davon war sein Kollege Corrado Segre. Als Corrado Segre einen Artikel bei Rivista di matematica einreichte, wies Peano darauf hin, dass einige der Sätze in dem Artikel Ausnahmen hatten. Segre war nicht bereit, die Theoreme nur zu korrigieren, indem er Bedingungen hinzufügte, die die Ausnahmen ausschlossen, sondern verteidigte seine Arbeit mit den Worten, dass der Moment der Entdeckung wichtiger sei als eine strenge Formulierung. Natürlich war dies so gegen Peanos rigorosen Ansatz zur Mathematik, dass er stark argumentierte: –

Ich glaube, es ist neu in der Geschichte der Mathematik, dass Autoren wissentlich in ihrer Forschung Sätze verwenden, für die Ausnahmen bekannt sind oder für die sie keinen Beweis haben…

Nicht nur Corrado Segre litt unter Peanos herausragender Fähigkeit, mangelnde Strenge zu erkennen. Natürlich war es die Präzision seines Denkens, mit der Genauigkeit seiner mathematischen Logik, die Peano diese Klarheit des Denkens gab. Peano wies 1892 auf einen Fehler in einem Beweis von Hermann Laurent hin und rezensierte im selben Jahr ein Buch von Veronese, das die Rezension mit dem Kommentar beendete: –

Wir könnten die Absurditäten, die der Autor angehäuft hat, ausführlich aufzählen. Aber diese Fehler, der Mangel an Präzision und Strenge im ganzen Buch nehmen ihm jeden Wert.

Ab etwa 1892 begann Peano ein neues und äußerst ehrgeiziges Projekt, nämlich das Formulario Mathematico. Er erklärte im März 1892 Teil von Rivista di matematica sein Denken: –

Von größter Nützlichkeit wäre die Veröffentlichung von Sammlungen aller jetzt bekannten Theoreme, die sich auf bestimmte Zweige der Mathematik beziehen Wissenschaften … Eine solche Sammlung, die in der gewöhnlichen Sprache lang und schwierig wäre, wird durch die Verwendung der Notation der mathematischen Logik spürbar erleichtert …

In vielerlei Hinsicht markiert diese großartige Idee das Ende von Peanos außergewöhnlicher kreativer Arbeit. Es war ein Projekt, das von einigen mit Begeisterung und von den meisten mit wenig Interesse begrüßt wurde. Peano begann zu versuchen, alle um ihn herum dazu zu bringen, an die Wichtigkeit dieses Projekts zu glauben, und dies ärgerte sie. Doch Peano und seine engen Mitarbeiter, darunter seine Assistenten, Vailati, Burali-Forti, Pieri und Fano wurden bald tief in die Arbeit involviert.
Bei der Beschreibung einer neuen Ausgabe des Formulario Mathematico von 1896 schreibt Peano:-

Jeder Professor wird in der Lage sein, dieses Formulario als Lehrbuch anzunehmen, denn es sollte alle Theoreme und alle Methoden enthalten. Sein Unterricht wird darauf reduziert, zu zeigen, wie man die Formeln liest und den Schülern die Theoreme anzeigt, die er in seinem Kurs erklären möchte.

Als das Kalkülvolumen des Formulario veröffentlicht wurde, begann Peano, wie er angegeben hatte, es für seinen Unterricht zu verwenden. Dies war die Katastrophe, die man erwarten würde. Peano, der zu Beginn seiner Lehrerkarriere ein guter Lehrer war, wurde sowohl für seine Schüler als auch für seine Kollegen durch den Stil seines Unterrichts inakzeptabel. Einer seiner Schüler, der eigentlich ein großer Bewunderer von Peano war, schrieb: –

Aber wir Schüler wussten, dass diese Anweisung über unseren Köpfen lag. Wir haben verstanden, dass eine so subtile Analyse von Konzepten, eine so winzige Kritik an den Definitionen anderer Autoren, nicht für Anfänger geeignet war und insbesondere für Ingenieurstudenten nicht nützlich war. Wir mochten es nicht, Zeit und Mühe für die „Symbole“ aufwenden zu müssen, die wir in späteren Jahren vielleicht nie verwenden würden.

Die Militärakademie beendete 1901 seinen Vertrag, dort zu unterrichten, und obwohl viele seiner Kollegen an der Universität auch gerne seine Lehre dort eingestellt hätten, war unter der Art und Weise, wie die Universität gegründet wurde, nichts möglich. Der Professor war ein Gesetz für sich in seinem eigenen Fach und Peano war nicht bereit, seinen Kollegen zuzuhören, als sie versuchten, ihn zu ermutigen, zu seinem alten Unterrichtsstil zurückzukehren. Das Formulario Mathematico-Projekt wurde 1908 abgeschlossen, und man muss bewundern, was Peano erreicht hat, aber obwohl die Arbeit eine Informationsquelle enthielt, wurde sie wenig genutzt.Der vielleicht größte Triumph von Peano kam jedoch 1900. In diesem Jahr fanden zwei Kongresse in Paris statt. Der erste war der Internationale Philosophiekongress, der am 1. August in Paris eröffnet wurde. Es war ein Triumph für Peano und Russell, der an dem Kongress teilnahm, schrieb in seiner Autobiographie: –

Der Kongress war der Wendepunkt meines intellektuellen Lebens, weil ich dort Peano traf. Ich kannte ihn bereits beim Namen und hatte einige seiner Werke gesehen, hatte mir aber nicht die Mühe gemacht, seine Notation zu beherrschen. In den Diskussionen auf dem Kongress bemerkte ich, dass er immer präziser war als jeder andere, und dass er jedes Argument, auf das er sich einließ, ausnahmslos bezwang. Als die Tage vergingen, entschied ich, dass dies an seiner mathematischen Logik liegen musste. … Mir wurde klar, dass seine Notation ein Instrument der logischen Analyse bot, wie ich es seit Jahren gesucht hatte …

Am Tag nach dem Ende des Philosophiekongresses begann der Zweite Internationale Mathematikerkongress. Peano blieb für diesen Kongress in Paris und hörte Hilberts Vortrag zu, in dem er zehn der 23 Probleme darlegte, die in seinem Papier auftauchten, um die Agenda für das nächste Jahrhundert zu geben. Peano interessierte sich besonders für das zweite Problem, das fragte, ob die Axiome der Arithmetik als konsistent erwiesen werden könnten.
Noch bevor die Formulario Mathematico Projekt abgeschlossen war Peano war die Umsetzung der nächste große Projekt seines Lebens. 1903 äußerte Peano Interesse an der Suche nach einer universellen oder internationalen Sprache und schlug eine künstliche Sprache „Latino sine flexione“ vor, die auf Latein basiert, aber jeglicher Grammatik beraubt ist. Er stellte den Wortschatz zusammen, indem er Wörter aus Englisch, Französisch, Deutsch und Latein nahm. In der Tat die endgültige Ausgabe des Formulario Mathematico geschrieben wurde in Latino sine flexione, die ein weiterer Grund ist die Arbeit war so wenig genutzt.
Peanos Karriere war daher merkwürdigerweise in zwei Perioden unterteilt. Die Zeit bis 1900 ist eine, wo er zeigte große Originalität und ein bemerkenswertes Gespür für Themen, die wichtig wäre, in der Entwicklung der Mathematik. Seine Leistungen waren hervorragend und er hatte einen modernen Stil, der zu seiner Zeit ziemlich fehl am Platz war. Doch dieses Gefühl für das, was wichtig war, schien ihn zu verlassen und nach 1900 arbeitete er mit großer Begeisterung an zwei Projekten von großer Schwierigkeit, die enorme Unternehmen, sondern erwies sich als ganz unwichtig in der Entwicklung der Mathematik.
Seiner Persönlichkeit Kennedy schreibt in :-

… Ich bin fasziniert von seiner sanften Persönlichkeit, seiner Fähigkeit, lebenslange Jünger anzuziehen, seiner Toleranz gegenüber menschlicher Schwäche, seinem beständigen Optimismus. … Peano kann nicht nur als Mathematiker und Logiker des 19.Jahrhunderts eingestuft werden, sondern muss aufgrund seiner Originalität und seines Einflusses als einer der großen Wissenschaftler dieses Jahrhunderts beurteilt werden.

Obwohl Peano ein Begründer der mathematischen Logik ist, gilt der deutsche Mathematikphilosoph Gottlob Frege heute als Vater der mathematischen Logik.