Wenn wir ein Gummiband um die Oberfläche eines Apfels strecken, können wir es auf einen Punkt schrumpfen, indem wir es langsam bewegen, ohne es zu zerreißen und ohne es die Oberfläche verlassen zu lassen. Wenn wir uns andererseits vorstellen, dass dasselbe Gummiband irgendwie in die entsprechende Richtung um einen Donut gestreckt wurde, gibt es keine Möglichkeit, es auf einen Punkt zu schrumpfen, ohne das Gummiband oder den Donut zu brechen. Wir sagen, dass die Oberfläche des Apfels „einfach verbunden“ ist, aber die Oberfläche des Donuts nicht. Poincaré wusste vor fast hundert Jahren, dass eine zweidimensionale Kugel im Wesentlichen durch diese Eigenschaft der einfachen Konnektivität gekennzeichnet ist, und stellte die entsprechende Frage für die dreidimensionale Kugel.

Diese Frage erwies sich als außerordentlich schwierig. Fast ein Jahrhundert verging zwischen seiner Formulierung im Jahr 1904 von Henri Poincaré und seiner Lösung von Grigoriy Perelman, angekündigt in Preprints ArXiv.org 2002 und 2003. Perelmans Lösung basierte auf Richard Hamiltons Theorie des Ricci-Flusses und verwendete Ergebnisse zu Räumen von Metriken aufgrund von Cheeger, Gromov und Perelman selbst. In diesen Papieren bewies Perelman auch William Thurstons Geometrisierungsvermutung, von der ein Sonderfall die Poincaré-Vermutung ist. Siehe Pressemitteilung vom 18.März 2010.

Bildnachweis: http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/Special_Topics/Hyperbolic_Geometry/