Das Thema der reellen Analyse befasst sich mit der Untersuchung des Verhaltens und der Eigenschaften von Funktionen, Sequenzen und Mengen auf der reellen Zahlenlinie, die wir als mathematisch bekanntes R bezeichnen. Viele dieser Ideen sind, auf einer konzeptionellen oder praktischen Ebene, behandelt auf niedrigeren Ebenen der Mathematik, einschließlich eines regelmäßigen ersten Jahres Kalkül Kurs, und so, für den uneingeweihten Leser, Das Thema der realen Analyse mag eher sinnlos und trivial erscheinen. Die wirkliche Analyse ist jedoch in einer Tiefe, Komplexität und wohl Schönheit, weil es unter der Oberfläche der alltäglichen Mathematik eine Zusicherung der Korrektheit gibt, die wir Strenge nennen, die die gesamte Mathematik durchdringt. Daher kann eine echte Analyse bis zu einem gewissen Grad als Entwicklung eines rigorosen, bewährten Rahmens angesehen werden, um die intuitiven Ideen zu unterstützen, die wir häufig für selbstverständlich halten.Die reale Analyse ist ein sehr einfaches Thema, da es sich einfach um eine fast lineare Entwicklung mathematischer Ideen handelt, auf die Sie in Ihrer Geschichte der Mathematik gestoßen sind. Anstatt uns jedoch auf eine manchmal unsichere Intuition zu verlassen (die wir alle gespürt haben, als wir ein Problem gelöst haben, das wir nicht verstanden haben), werden wir es an einem strengen Satz mathematischer Theoreme verankern. In diesem Buch werden wir sehen, dass wir keine Intuition brauchen, um Mathematik zu verstehen – wir brauchen ein Handbuch.

Die übergeordnete These dieses Buches ist, wie man die reellen Zahlen axiomatisch definiert. Wie würde das funktionieren? Dieses Buch wird auf diese Weise gelesen: Wir legen die Eigenschaften fest, von denen wir glauben, dass sie die reellen Zahlen definieren. Wir beweisen dann aus diesen Eigenschaften – und nur aus diesen Eigenschaften -, dass sich die reellen Zahlen so verhalten, wie wir es uns immer vorgestellt haben. Wir werden dann alle unsere elementaren Theoreme und Fakten, die wir im Laufe unseres mathematischen Lebens gesammelt haben, so überarbeiten, dass alles zusammenkommt, fast so, als wäre es immer wahr gewesen, bevor wir es analysiert haben; dass es tatsächlich die ganze Zeit streng war – außer dass wir jetzt wissen werden, wie es dazu kam.

Glauben Sie nicht, dass die Mathematik vorbei ist, sobald Sie dieses Buch fertiggestellt haben. In anderen Bereichen des akademischen Studiums gibt es Einblicke in ein seltsames Reich der Mathematik, das zunehmend in den Vordergrund des Standarddenkens gerückt wird. Nachdem Sie dieses Buch verstanden haben, wird die Mathematik jetzt so aussehen, als wäre sie unvollständig und ohne Konzepte, die Sie sich vielleicht schon einmal gefragt haben. In diesem Buch werden wir Einblicke in etwas mehr in die Mathematik geben als die reellen Zahlen und die reelle Analyse. Schließlich scheint die Mathematik, über die wir hier sprechen, immer nur eine Variable in einem Meer von Zahlen und Operationen und Vergleichen zu beinhalten.

Hinweis: Eine Tabelle der unten verwendeten mathematischen Symbole und ihrer Definitionen finden Sie im Anhang.

• Vorwort
• Alte Einführung
• Handbuch des Stils – Wie man dieses Wikibook liest

Eine ausgewählte Liste von Kapiteln, die aus anderen Büchern kuratiert wurden, ist unten aufgeführt. Sie sollten helfen, Ihre mathematische Strenge zu entwickeln, die eine notwendige Denkweise ist, die Sie sowohl in diesem Buch als auch in der höheren Mathematik benötigen.

• Die Mengenlehre Notation und mathematische Beweise, aus dem Buch Mathematical Proof
• Die Erfahrung der Arbeit mit Kalkül Konzepte, aus dem Buch Kalkül