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In diesem Artikel werden wir Skalare und Vektoren und ihre Eigenschaften untersuchen.

Skalare Größen oder Skalare:

Die physikalischen Größen, die nur eine Größe haben und die nur durch eine Zahl und Einheit angegeben werden können, werden skalare Größen oder Skalare genannt.

Für z.B. wenn wir die Zeit angeben, können wir wie 20 Sekunden, 1 Jahr, 24 Stunden usw. sagen. Hier geben wir nur die Größe an, dh eine Zahl und eine Einheit. In diesem Fall ist die Richtung nicht erforderlich.

Weitere Beispiele für Skalare: Zeit, Entfernung, Geschwindigkeit, Masse, Dichte, Fläche, Volumen, Arbeit, Druck, Energie usw.

Eigenschaften von Skalaren:

• Die Skalargrößen haben nur eine Größe.
• Die Skalare können algebraisch addiert oder subtrahiert werden.
• Beim Schreiben einer skalaren Menge wird kein Pfeil auf den Kopf des Symbols der Menge gesetzt.

Vektorgrößen oder Vektoren:

Die physikalischen Größen, die sowohl die Größe als auch die Richtung haben und die sowohl durch die Größe als auch durch die Richtung angegeben werden sollen, werden Vektorgrößen oder Vektoren genannt.

Wenn wir beispielsweise die Verschiebung des Körpers angeben, müssen wir die Größe und Richtung angeben. Daher ist die Verschiebung eine Vektorgröße.

Weitere Beispiele für Vektoren: Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Kraft, Impuls, elektrische Intensität, magnetische Induktion usw.

Hinweis: Eine Größe ist genau dann eine Vektorgröße, wenn sie Richtung und Größe hat und den Regeln der Vektoraddition gehorcht.

Eigenschaften von Vektoren:

• Die Vektorgrößen haben sowohl eine Größe als auch eine Richtung.
• Die Vektoren können nicht algebraisch addiert oder subtrahiert werden, aber wir müssen eine grafische Methode anwenden.
• Beim Schreiben der Vektormenge wird ein Pfeil auf den Kopf des Symbols der Menge gesetzt.

Pseudovektoren:

Die mit der Rotationsbewegung verbundenen Vektoren werden Pseudovektoren genannt. Sie werden auch als Axialvektoren bezeichnet. Ihre Richtung ist entlang der Rotationsachse.

Beispiele: Winkelverschiebung, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Drehmoment usw.

Polarvektoren:

Vektoren, die einem linearen Richtungseffekt zugeordnet sind, werden Polarvektoren oder echte Vektoren genannt. Sie haben den Ausgangspunkt oder den Anwendungspunkt.

Beispiele: Lineare Geschwindigkeit, lineare Beschleunigung, Kraft, Impuls usw.

Tensoren:

Es ist eine physikalische Größe, die weder skalar noch Vektor ist. Sie haben keine bestimmte Richtung. Sie können unterschiedliche Werte in verschiedene Richtungen haben. Diese Größen haben Größe und Richtung, aber sie gehorchen nicht den Regeln der Vektoraddition.

Beispiele: Trägheitsmoment, Spannung, Oberflächenspannung, elektrischer Strom usw.

Symbolische Notation von Vektoren:

Ein Vektor wird durch einen Buchstaben mit einer Pfeilspitze dargestellt. Somit wird der Vektor A als A dargestellt. Die Größe des Vektors wird als |A| oder einfach A dargestellt.

Ein Vektor kann auch mit zwei Buchstaben bezeichnet werden. Für z.B. PQ, was bedeutet, dass der Startpunkt (Schwanz) des Vektors Punkt P ist und der Endpunkt des Vektors (Kopf) bei Punkt Q ist. Die Richtung des Vektors ist von Punkt P zu Punkt Q

Darstellung eines Vektors:

Ein Liniensegment wird so gezeichnet, dass seine Länge die Größe der Größe in einem geeigneten Maßstab und in der gegebenen Richtung des Vektors darstellt.

Beispiel: Ein Verschiebungsvektor von 50 km nach Nordosten kann wie folgt dargestellt werden.

• Wählen Sie einen geeigneten Maßstab aus, z. B. 1 cm = 10 km.
• Wählen Sie einen Richtungsstandard wie gezeigt.
• Zeichnen Sie ein Liniensegment der Länge 5 cm in Richtung Nordosten.
• Pfeil in Richtung Nordosten anzeigen.

Terminologie von Vektoren:

Einheitsvektor:

Ein Vektor mit der Größe einer Einheit wird als Einheitsvektor bezeichnet. Der Einheitsvektor in Richtung des Vektors Ā ist mit  (a cap) bezeichnet.

Anmerkungen:

• Wenn  ein Einheitsvektor ist, dann |Â/ = A = 1 .
• Die Einheitsvektoren entlang der positiven Richtungen der x-, y- und z-Achsen sind m î, ĵ und
• Der Einheitsvektor entlang des Vektors Ā ist gegeben durch  = Ā / |Ā |

Null- oder Nullvektor:

Ein Vektor mit einer Größe von Null wird als Null- oder Nullvektor bezeichnet. Null oder Nullvektor wird durch null (Nullbalken) bezeichnet.

Anmerkungen:

• Für den Nullvektor stimmen Anfangs- und Endpunkte überein.
• Jeder Vektor ungleich Null wird als Eigenvektor bezeichnet.

Kostenlose Vektor:

Wenn es keine Beschränkung gibt, den Ursprung des Vektors zu wählen, wird er als freier Vektor bezeichnet.

Lokalisierter Vektor:

Wenn es eine Einschränkung gibt, den Ursprung des Vektors zu wählen, wird er als lokalisierter Vektor bezeichnet.

Reziproker Vektor:

Der Vektor, der die gleiche Richtung wie die von Ā hat, aber eine Größe hat, die der von Ā reziprok ist, wird als reziproker Vektor bezeichnet. Es wird bezeichnet und gegeben durch

d.h. Wenn AB = PQ dann |AB/ = |PQ| und AB |/ PQ

Kollineare Vektoren:

Vektoren gelten als kollinear, wenn sie entlang derselben Linie oder parallel zu ein und derselben Linie liegen. Wenn zwei Vektoren kollinear sind, kann jeder von ihnen als skalares Vielfaches des anderen ausgedrückt werden.

Wie Vektoren:

Vektoren mit der gleichen Richtung werden wie Vektoren genannt.

Im Gegensatz zu Vektoren:

Vektoren mit entgegengesetzten Richtungen werden im Gegensatz zu Vektoren aufgerufen.

Koplanare Vektoren:

Vektoren gelten als koplanar, wenn sie in derselben Ebene oder parallel zu ein und derselben Ebene liegen.

Negativ eines Vektors:

Negativer Vektor ist ein Vektor, der die gleiche Größe wie der gegebene Vektor hat, aber die entgegengesetzte Richtung zu der des gegebenen Vektors hat. Das Negativ des Vektors Ā wird mit – Ā bezeichnet.

AB = – BA

Gleichheit der Vektoren:

Zwei Vektoren sollen genau dann gleich sein, wenn sie die gleiche Größe und die gleiche Richtung haben. Somit haben gleiche Vektoren die gleiche Länge, die gleiche parallele Unterstützung und den gleichen Sinn. Wenn eines dieser Dinge nicht gleich ist, sind die beiden Vektoren nicht gleich.

Konzept des Positionsvektors eines Punktes:

Sei A ein beliebiger Punkt im Raum und O der Fixpunkt im Raum, dann ist der Positionsvektor (PV) des Punktes A w.r.t. zu O ist definiert als der Vektor OA. Der Positionsvektor des Punktes A w.r.t. Fixpunkt O wird mit A oder a bezeichnet.

AB in Bezug auf den Positionsvektor seiner Endpunkte:

Nach dem Dreiecksgesetz OA + AB = OB

∴ AB = OB – OA

∴ AB = B – EIN = (p.v von B) – (p.v von A)

Standardeinheitsvektoren oder rechteckige Einheitsvektoren:

Der Einheitsvektor entlang der positiven x-Achse ist mit î , der Einheitsvektor entlang der positiven y-Achse mit ĵ und der Einheitsvektor entlang der positiven z-Achse mit bezeichnet.

Wenn A in zwei Vektoren und entlang der x-Achse bzw. der y-Achse aufgelöst wird, dann durch das Dreiecksgesetz der Vektoraddition

A = Ax + Ay

A = Ax î + Ay ĵ

Die Größe des Vektors ist gegeben durch

Dreidimensionales System:

Wenn A entlang der x-Achse, y-Achse und z-Achse in drei Vektoren Ax, Ay, Az aufgelöst wird, dann durch das Polygongesetz der Vektoraddition

A = Ax + Ay + Az

A = Ax î + Ay ĵ + Az k

Die Größe des Vektors ist gegeben durch

Hinweise:

• Die die Komponente des Vektors kann keine größere Größe haben als der Vektor selbst.
• Ein Vektor ist Nullvektor, wenn alle seine Komponenten Null sind.

Multiplikation des Vektors mit einem Skalar:

Wenn A = Ax + Ay + Az ein Vektor und ‚m‘ ein Skalar ist, dann haben wir

m A =m Ax +m Ay +m Az

Beispiel – 01:

Wenn P(3, -4, 5) ein Punkt im Raum finden Sie dann OP , |OP| und einen Einheitsvektor entlang OP .

Lösung:

OP = 3 i – 4 j + 5 k

|OP| = √(3)2+ (-4)2+ (5)2

= √9+ 16+ 25 = √50 = 5√2 einheit

Einheitsvektor entlang OP = OP/|OP| = (3i – 4j + 5k)/ 5√2

Beispiel – 02:

• Wenn A (1, 2, 3) und B(2, -1, 5) sind zwei Punkte im Raum, dann finden Sie AB, |AB | und einen Einheitsvektor entlang AB.

Positionsvektor des Punktes A = a = OA = i + 2j + 3k

Positionsvektor des Punktes B= b = OB = 2i – j + 5k

AB = b – a = (2i – j + 5k) – (i + 2j + 3k)