Un sistema de ecuaciones lineales se puede resolver reduciendo su matriz aumentada a una forma escalonada reducida.

Una matriz se puede cambiar a su forma escalón de fila reducida, o fila reducida a su forma escalón de fila reducida usando las operaciones de fila elementales. Estos son:

1. Intercambiar una fila de la matriz con otra de la matriz.
2. Multiplique una fila de la matriz por una constante escalar distinta de cero.
3. Reemplace una fila por una fila más una constante por otra fila de la matriz.

Por ejemplo, dado el siguiente sistema lineal con la matriz aumentada correspondiente:

3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 {\displaystyle 3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}=-5}

3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 {\displaystyle 3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=9}

3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 {\displaystyle 3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}=15}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&&&&&&&&&&&&&&15\end{bmatrix}}}

To solve este sistema, la matriz tiene que ser reducida en forma escalonada reducida.

Paso 1: Cambie la fila 1 y la fila 3. Todos los ceros a la izquierda están ahora por debajo de entradas a la izquierda distintas de cero.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 2: Establezca la fila 2 en la fila 2 más (-1) por la fila 1. En otras palabras, reste la fila 1 de la fila 2. Esto eliminará la primera entrada de la fila 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 3: Multiply row 2 by 3 and row 3 by 2. This will eliminate the first entry of row 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-10\end{bmatrix}}}

Paso 4: Establezca la fila 3 en la fila 3 más (-1) por la fila 2. En otras palabras, reste la fila 2 de la fila 3. Esto eliminará la segunda entrada de la fila 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&8\end{bmatrix}}}

Step 5: Multiplique cada fila por el recíproco de su primer valor distinto de cero. Esto hará que cada fila comience con un 1.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

The matrix is ahora en forma escalonada de fila: Todas las filas distintas de cero están por encima de cualquier fila de todos los ceros (no hay filas cero), cada entrada principal de una fila está en una columna a la derecha de la entrada principal de la fila por encima de ella y todas las entradas de una columna por debajo de una entrada principal son ceros.

Como se puede y se mostrará más adelante, de esta forma se puede observar que el sistema tiene infinitas soluciones. Para obtener esas soluciones, la matriz se reduce aún más en forma escalonada reducida.

Paso 6: Establezca la fila 2 a la fila 2 más (-1) por la fila 3 y la fila 1 a la fila 1 más (-2) por la fila 3. Esto eliminará las entradas por encima de la entrada inicial de la fila 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

Step 7: Establezca la fila 1 en la fila 1 más 3 veces la fila 2. Esto elimina la entrada por encima de la entrada principal de la fila 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

This is a forma escalonada reducida, ya que la entrada inicial en cada fila distinta de cero es 1 y cada 1 inicial es la única entrada distinta de cero en su columna.

Desde aquí se puede leer la solución del sistema:
x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 24 {\displaystyle x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24}

x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = − 7 {\displaystyle x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7}

x 5 = 4 {\displaystyle x_{5}=4}

Those equations can be solved for x 1 {\displaystyle x_{1}}

, x 2 {\displaystyle x_{2}}

and x 5 {\displaystyle x_{5}}