El sujeto del análisis real se ocupa de estudiar el comportamiento y las propiedades de funciones, secuencias y conjuntos en la línea de números reales, que denominamos como la R matemáticamente familiar.Los conceptos que deseamos examinar a través del análisis real incluyen propiedades como Límites, Continuidad, Derivadas (tasas de cambio) e Integración (cantidad de cambio a lo largo del tiempo). Muchas de estas ideas se tratan, a nivel conceptual o práctico, en niveles inferiores de matemáticas, incluido un curso regular de Cálculo de Primer Año, por lo que, para el lector no iniciado, el tema del Análisis Real puede parecer bastante absurdo y trivial. Sin embargo, el Análisis Real se encuentra en una profundidad, complejidad y posiblemente belleza, porque bajo la superficie de las matemáticas cotidianas, hay una garantía de corrección, que llamamos rigor, que impregna toda la matemática. Por lo tanto, el Análisis Real puede, hasta cierto punto, verse como el desarrollo de un marco riguroso y bien probado para apoyar las ideas intuitivas que con frecuencia damos por sentado.

El análisis real es un tema muy sencillo, ya que es simplemente un desarrollo casi lineal de ideas matemáticas que se han encontrado a lo largo de su historia de matemáticas. Sin embargo, en lugar de confiar en una intuición a veces incierta (que todos hemos sentido cuando estábamos resolviendo un problema que no entendíamos), la anclaremos en un conjunto riguroso de teoremas matemáticos. A lo largo de este libro, comenzaremos a ver que no necesitamos intuición para entender las matemáticas, necesitamos un manual.

La tesis general de este libro es cómo definir los números reales axiomáticamente. ¿Cómo funcionaría? Este libro se leerá de esta manera: establecemos las propiedades que creemos que definen los números reales. Luego demostramos a partir de estas propiedades – y solo estas propiedades – que los números reales se comportan de la manera en que siempre los hemos imaginado. Luego, volveremos a trabajar todos nuestros teoremas elementales y hechos que recogimos a lo largo de nuestras vidas matemáticas para que todo se junte, casi como si siempre hubiera sido cierto antes de analizarlo; que de hecho fue riguroso todo el tiempo, excepto que ahora sabremos cómo llegó a ser.

No creas que una vez que hayas completado este libro, las matemáticas han terminado. En otros campos de estudio académico, hay destellos de un extraño reino de las matemáticas cada vez más destacado en el pensamiento estándar. Después de entender este libro, las matemáticas ahora parecerán incompletas y carentes de conceptos que tal vez se hayan preguntado antes. En este libro, proporcionaremos destellos de algo más de las matemáticas que los números reales y el análisis real. Después de todo, las matemáticas de las que hablamos aquí siempre parecen involucrar solo una variable en un mar de números, operaciones y comparaciones.

Nota: Una tabla de los símbolos matemáticos utilizados a continuación y sus definiciones está disponible en el Apéndice.

• Prólogo
• Edad Introducción
• Manual de Estilo – Cómo leer este wikibook

Una lista de selección de capítulos comisariado de otros libros se enumeran a continuación. Deben ayudar a desarrollar su rigor matemático que es un modo de pensamiento necesario que necesitará en este libro, así como en matemáticas superiores.

• La notación de teoría de conjuntos y las pruebas matemáticas, del libro Prueba matemática
• La experiencia de trabajar con conceptos de cálculo, del libro Cálculo