Si estiramos una banda elástica alrededor de la superficie de una manzana, podemos reducirla a un punto moviéndola lentamente, sin rasgarla y sin permitir que salga de la superficie. Por otro lado, si imaginamos que la misma banda elástica se ha estirado de alguna manera en la dirección adecuada alrededor de una rosquilla, entonces no hay forma de encogerla hasta un punto sin romper la banda elástica o la rosquilla. Decimos que la superficie de la manzana está «simplemente conectada», pero que la superficie de la rosquilla no lo está. Poincaré, hace casi cien años, sabía que una esfera bidimensional se caracteriza esencialmente por esta propiedad de conectividad simple, y formuló la pregunta correspondiente para la esfera tridimensional.

Esta pregunta resultó ser extraordinariamente difícil. Pasó casi un siglo entre su formulación en 1904 por Henri Poincaré y su solución por Grigoriy Perelman, anunciada en preprints publicados en ArXiv.org en 2002 y 2003. La solución de Perelman se basó en la teoría de flujo de Ricci de Richard Hamilton, e hizo uso de resultados en espacios de métricas debido a Cheeger, Gromov y el propio Perelman. En estos documentos Perelman también demostró la Conjetura de Geometrización de William Thurston, un caso especial de la cual es la conjetura de Poincaré. Véase el comunicado de prensa del 18 de marzo de 2010.

crédito de la Imagen: http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/Special_Topics/Hyperbolic_Geometry/