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En este artículo, estudiaremos los escalares y vectores, sus características.

Cantidades o escalares escalares:

Las cantidades físicas que solo tienen magnitud y que solo se pueden especificar por un número y una unidad se denominan cantidades o escalares escalares.

Por ej. cuando estamos especificando el tiempo, podemos decir como 20 segundos, 1 año, 24 horas, etc. Aquí estamos dando magnitud solo, es decir, un número y una unidad. En este caso, no se requiere la dirección.

Más Ejemplos de Escalares: Tiempo, distancia, velocidad, masa, densidad, área, volumen, trabajo, presión, energía, etc.

Características de los escalares:

• Las cantidades escalares solo tienen una magnitud.
• Los escalares se pueden sumar o restar unos de otros algebraicamente.
• Al escribir cantidad escalar, no se coloca una flecha en la cabeza del símbolo de la cantidad.

Cantidades vectoriales o vectores:

Las cantidades físicas que tienen tanto la magnitud como la dirección y que deben especificarse tanto por magnitud como por dirección se denominan cantidades vectoriales o vectores.

Por ejemplo, cuando estamos especificando el desplazamiento del cuerpo, tenemos que especificar la magnitud y dirección. Por lo tanto, el desplazamiento es una cantidad vectorial.

Más ejemplos de vectores: Desplazamiento, velocidad, aceleración, fuerza, momento, intensidad eléctrica, inducción magnética, etc.

Nota: Una cantidad es una cantidad vectorial si y solo si tiene dirección y magnitud y obedece las reglas de suma de vectores.

Características de los vectores:

• Las cantidades vectoriales tienen tanto una magnitud como una dirección.
• Los vectores no se pueden sumar o restar entre sí algebraicamente, pero tenemos que adoptar un método gráfico.
• Al escribir cantidad vectorial, se coloca una flecha en la cabeza del símbolo de la cantidad.

Pseudo vectores:

Los vectores asociados con el movimiento de rotación se denominan pseudovectores. También se les conoce como vectores axiales. Su dirección es a lo largo del eje de rotación.

Ejemplos: desplazamiento angular, velocidad angular, aceleración angular, par, etc.

Vectores polares:

Los vectores asociados con un efecto direccional lineal se denominan vectores polares o vectores verdaderos. Tienen el punto de partida o el punto de aplicación.

Ejemplos: Velocidad lineal, aceleración lineal, fuerza, momento, etc.

Tensores:

es una cantidad física que no es ni escalar ni vector. No tienen una dirección definida. Pueden tener diferentes valores en diferentes direcciones. Estas cantidades tienen magnitud y dirección, pero no obedecen las reglas de la suma de vectores.

Ejemplos: Momento de inercia, Tensión, Tensión superficial, corriente eléctrica, etc.

Notación simbólica de vectores:

Un vector está representado por una letra con una punta de flecha. Así, el vector se representa como A. La magnitud del vector se representa como |A| o, simplemente, A.

Un vector también puede denotarse por dos letras. Por ej. PQ, que significa que el punto de partida (cola) del vector es el punto P y el punto final del vector (cabeza) está en el punto Q. La dirección del vector es del punto P al punto Q

Representación de un vector:

Un segmento de línea se dibuja de tal manera que su longitud representa la magnitud de la cantidad a una escala adecuada y en la dirección dada del vector.

Ejemplo: Un vector de desplazamiento de 50 km hacia el noreste se puede representar de la siguiente manera.

• Seleccione una escala adecuada, digamos 1 cm = 10 km.
• Seleccione un estándar de dirección como se muestra.
• Dibuja un segmento de línea de 5 cm de longitud hacia el noreste.
• Mostrar flecha en dirección noreste.

la Terminología de Vectores:

Vector Unitario:

Un vector que tiene la unidad (uno) magnitud se llama un vector unitario. El vector unitario en la dirección del vector Ā se denota por  (una tapa).

Notas:

• Si  es un vector unitario, entonces |Â| = A = 1 .
• Los vectores unitarios a lo largo de las direcciones positivas de los ejes x, y y z, respectivamente, son m î, di, y
• El vector unitario a lo largo del vector Ā viene dado por  = Ā / |Ā |

Vector Nulo o Cero:

Un vector que tiene una magnitud cero se denomina vector cero o Nulo. El vector nulo o cero se denota por ō (barra cero).

Notas:

• Para el vector nulo, los puntos inicial y terminal coinciden.
• Cualquier vector distinto de cero se denomina vector propio.

Vector libre:

Cuando no hay ninguna restricción para elegir el origen del vector, se denomina vector libre.

Localizada Vector:

Cuando hay una restricción para elegir el origen del vector, se llama como un localizada vector.

Vector recíproco:

El vector que tiene la misma dirección que el de Ā pero tiene una magnitud recíproca con la de Ā se denomina vector recíproco. Se denota y dado por

es decir, Si AB = PQ entonces| AB | = | PQ | y AB | /PQ

Vectores colineales: Se dice que los vectores son colineales si se encuentran a lo largo de la misma línea o paralelos a una y la misma línea. Si dos vectores son colineales, entonces cada uno de ellos puede expresarse como un múltiplo escalar del otro.

Como Vectores:

los Vectores que tengan la misma dirección son llamados como vectores.

A diferencia de vectores:

Los vectores que tienen direcciones opuestas se llaman, a diferencia de vectores.

Vectores Coplanares:

los Vectores son coplanares si se encuentran en el mismo plano paralelo a uno y el mismo plano.

el Negativo de un Vector:

Negativo vector es un vector que tiene la misma magnitud que la del vector dado, pero tiene la dirección opuesta a la del vector dado. Negativo del vector Ā se denota por-Ā.

AB = BA

la Igualdad de Vectores:

Dos Vectores son iguales si y sólo si tienen la misma magnitud y la misma dirección. Por lo tanto, los vectores iguales tienen la misma longitud, el mismo soporte paralelo y el mismo sentido. Si alguna de estas cosas no es la misma, entonces los dos vectores no son iguales.

Concepto de Vector de Posición de un Punto:

Sea A cualquier punto en el espacio y O sea el punto fijo en el espacio, entonces el vector de posición (P. V) del punto A w.r.t. a O se define como el vector OA. El vector de posición del punto a w.r.t. punto fijo O es denotado por Un o una.

AB en términos del vector de posición de sus extremos:

Por el triángulo de la ley, OA + AB = OB

∴ AB = OB – OA

∴ AB = B – A = (p.v de B) – (p.v de A)

Vectores Unitarios Estándar o Vectores Unitarios Rectangulares:

El vector unitario a lo largo del eje x positivo se denota por î , el vector unitario a lo largo del eje y positivo se denota por ĵ , el vector unitario a lo largo del eje z positivo se denota por .

Si se resuelve en dos vectores y a lo largo del eje x y del eje y, respectivamente, por el triángulo de la ley de adición de vectores

A = Ax + Ay

A = Ax × + Ay ĵ

La magnitud del vector está dado por

Tres dimensiones del sistema:

Si A se resuelve en tres vectores Ax, Ay, Az a lo largo del eje x, eje y y eje z respectivamente, entonces por ley poligonal de suma de vectores

A = Ax + Ay + Az

A = Ax î + Ay k + Az k

La magnitud del vector viene dada por

Notas:

• El componente del vector no puede tener una magnitud mayor que el propio vector.
• Un vector es vector cero si todos sus componentes son cero.

Multiplicación de vectores por un Escalar:

Si A = Ax + Ay + Az es un vector y ‘m’ es un escalar, entonces tenemos

m A =m Ax +m Ay +m Az

Ejemplo – 01:

Si P(3, -4, 5) es un punto en el espacio, luego encuentre OP,| OP/y un vector unitario a lo largo de OP.

Solución:

OP = 3i – 4j + 5k

|OP| = √(3)2+ (-4)2+ (5)2

= √9+ 16+ 25 = √50 = 5√2 unidad

vector Unitario a lo largo de OP = OP/|OP| = (3i – 4j + 5k)/ 5√2

Ejemplo – 02:

• Si A(1, 2, 3) y B(2, -1, 5) son dos puntos en el espacio, a continuación, encontrar AB, |AB| y un vector unitario a lo largo de AB.

vector de Posición del punto a = a = OA = i + 2j + 3k

vector de Posición del punto B= b = OB = 2i – j + 5k

AB = b – a = (2i – j + 5k) – (i + 2j + 3k)