Biografía

Los padres de Paul Cohen, Abraham y Minnie Cohen, eran inmigrantes judíos a los Estados Unidos desde su tierra natal, Polonia. Abraham Cohen era básicamente un hombre de trabajo raro, girando su mano a una variedad de trabajos diferentes, mientras que su esposa trajo algo de dinero muy necesario a la familia de la confección. Paul era el menor de los cuatro hijos de sus padres y se crió en Brooklyn, Nueva York. Fue criado por su madre desde la edad de nueve años, ya que en ese momento sus padres se separaron. Interesado en las matemáticas desde la infancia, comenzó a estudiar matemáticas avanzadas desde una edad temprana. He: –

… tenía solo nueve años cuando su hermana Sylvia sacó un libro sobre cálculo de una biblioteca de Nueva York para él. Los bibliotecarios se mostraron reacios a darle el libro, y mucho menos a su hermano menor, argumentando que incluso algunos profesores universitarios no entendían el cálculo.

A lo largo de su adolescencia fue considerado como un prodigio matemático, increíble a su alrededor con las habilidades que mostró en competiciones de matemáticas. Asistió a la Escuela Secundaria Stuyvesant en la ciudad de Nueva York, graduándose en 1950 a la temprana edad de dieciséis años. Esta escuela, con una gran reputación en matemáticas y ciencias, aceptó solo a los mejores estudiantes después de tomar un examen de ingreso. Después de graduarse de la Escuela Secundaria Stuyvesant, Cohen fue estudiante en el Brooklyn College desde 1950 hasta 1953, pero se fue sin tomar un título después de haber sido admitido a estudios de posgrado en la Universidad de Chicago después de hacer una visita para discutir sus opciones de investigación en Chicago. Estudió para su maestría en Chicago, tomando cursos para adaptarse a su objetivo en ese momento, que era realizar investigaciones en teoría de números. Su conocimiento de la teoría de números antes de llegar a Chicago provenía de una serie de textos clásicos que había leído por su cuenta mientras estaba en la universidad. Para encajar con este objetivo, comenzó a trabajar en la teoría de números supervisada por André Weil. Se le otorgó su Maestría en 1954, pero llegó a estar más interesado en el hecho de que ciertos resultados en la teoría de números eran indecidibles que en la teoría de números en sí, la teoría de números, sin embargo, siguió siendo un tema de interés para él a lo largo de su carrera :-

Hizo un hábito de preguntar a la facultad y compañeros de estudios cuáles eran los problemas más importantes en sus campos porque esos eran los únicos problemas que quería resolver.

Continuando sus estudios en Chicago para su doctorado bajo la supervisión de Antoni Zygmund, obtuvo su doctorado en 1958 por sus temas de tesis doctorales en la Teoría de la Singularidad de las Series Trigonométricas. En esta tesis, Cohen afirma que él :-

… desea expresar su más profunda gratitud al profesor A Zygmund por su constante ayuda y aliento durante la preparación de esta disertación.

Comienza la Introducción poniendo el tema de la tesis en contexto :-

La teoría de la unicidad de las series trigonométricas se puede considerar como un error de la cuestión de decidir en qué sentido la serie de Fourier de una función puede considerarse como la expansión legítima de la función en una serie trigonométrica infinita. Sabemos, por supuesto, que si la serie converge ligada a la función, entonces de hecho los coeficientes de la serie deben ser dados por las fórmulas de Euler-Fourier. Sin embargo, en ausencia de tal condición, podemos preguntarnos si dos series trigonométricas pueden converger a la misma función en todas partes. La respuesta a esta pregunta es negativa y lo demostró esencialmente Riemann, completando la prueba Cantor. Es con el reemplazo de la condición de convergencia en todas partes con la de convergencia en casi todas partes, que la teoría de conjuntos de unicidad se refiere.

Los años como estudiante de investigación fueron buenos para Cohen e hizo muchas amistades con otros estudiantes, amistades que durarían toda su vida. John Thompson fue uno de esos compañeros de investigación en Chicago. Cohen, a través de estas amistades, también había comenzado a interesarse por la lógica :-

Como estudiante graduado, la conexión de Cohen con la lógica eran sus amistades con un grupo animado de estudiantes que se convirtieron en lógicos; Michael Morley, Anil Nerode, Bill Howard, Ray Smullyan y Stanley Tennenbaum. Durante un tiempo vivió en la casa de Tennenbaum y absorbió la lógica por ósmosis, ya que no había cursos de lógica en el departamento de matemáticas de Chicago.

En 1957, antes de la concesión de su doctorado, Cohen fue nombrado Instructor de Matemáticas en la Universidad de Rochester durante un año. Luego pasó el año académico 1958-59 en el Instituto de Tecnología de Massachusetts antes de pasar 1959-61 como miembro en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Estos fueron años en los que Cohen hizo una serie de avances matemáticos significativos. En Factorización en álgebras de grupo (1959) demostró que cualquier función integrable en un grupo localmente compacto es la convolución de dos de estas funciones, resolviendo un problema planteado por Walter Rudin. En On a conjeture of Littlewood and idempotent measures (1960), Cohen hizo un avance significativo en la resolución de la conjetura de Littlewood. Anteriormente había escrito a Harold Davenport contándole sobre este resultado y Davenport respondió: –

… a Paul diciendo que si la prueba de Paul se hubiera mantenido, habría mejorado a una generación de analistas británicos que habían trabajado duro en este problema. La prueba de Paul se mantuvo; de hecho, Davenport fue el primero en mejorar el resultado de Paul.

En 1961 Cohen fue nombrado profesor asistente de matemáticas en la Universidad de Stanford. Fue ascendido a profesor asociado en matemáticas al año siguiente y, también en 1962, fue galardonado con una beca de investigación Alfred P Sloan. En agosto de 1962 Cohen participó en el Congreso Internacional de Matemáticos en Estocolmo. Fue un orador invitado dando la dirección de medidas idempotentes y homomorfismos de álgebras de grupo. En un crucero de Estocolmo a Leningrado, después del Congreso, Cohen conoció a Christina Karls de Malung, Suecia. Se casaron el 10 de octubre de 1963 y tuvieron tres hijos, los gemelos Eric y Steven, y Charles.Fue ascendido a profesor titular en la Universidad de Stanford en 1964, habiendo resuelto uno de los problemas abiertos más desafiantes en matemáticas. Cohen utilizó una técnica llamada «forzamiento» para probar la independencia en la teoría de conjuntos del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizado. Angus MacIntyre escribe :-

Un aspecto dramático del trabajo de hipótesis de continuidad es que Cohen era un extraño autodidacta en lógica. Su trabajo sobre teoría de conjuntos y campos p-ádicos tiene un estilo muy característico, combinatorio y bastante libre de teoría general.

En Cohen explica cómo llegó a la idea de forzar la lectura de La Hipótesis de la consistencia del Continuo de Kurt Gödel, un libro que consta de notas de un curso impartido en el Instituto de Estudios Avanzados en 1938-39. El problema de hipótesis de continuidad fue el primero de los famosos 23 problemas de David Hilbert entregados al Segundo Congreso Internacional de Matemáticos en París en 1900. El famoso discurso de Hilbert The Problems of Mathematics desafió (y aún hoy desafía) a los matemáticos a resolver estas cuestiones fundamentales y Cohen tiene la distinción de resolver el Problema 1.Había comenzado a trabajar en la independencia de la hipótesis del continuo hacia finales de 1962. En abril de 1963 sintió que las cosas encajaban en su lugar :-

Hay ciertos momentos en cualquier descubrimiento matemático en los que la resolución de un problema tiene lugar a un nivel subconsciente tal que, en retrospectiva, parece imposible diseccionarlo y explicar su origen. Más bien, toda la idea se presenta a la vez, a menudo tal vez de una forma vaga, pero gradualmente se vuelve más precisa.

Después de leer la prueba de Cohen que envió en una carta del 9 de mayo de 1963, Kurt Gödel le respondió:-

Permítanme repetir que es realmente un placer leer su prueba de la independencia de la hipótesis del continuo. Creo que en todos los aspectos esenciales ha dado usted la mejor prueba posible y esto no sucede con frecuencia. Leer su prueba tuvo un efecto igualmente agradable en mí como ver una obra realmente buena.

Cohen habló sobre su trabajo sobre la independencia del axioma de elección y la hipótesis de continuidad de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en una conferencia sobre los resultados de la independencia en la teoría de conjuntos impartida en el simposio internacional sobre la ‘Teoría de Modelos’ en Berkeley el 4 de julio de 1963. Su prueba apareció en los dos documentos The independence of the continuum hypothesis (1963) y The independence of the continuum hypothesis. II (1964). Andrzej Mostowski, revisando el primero de ellos, escribe:-

Estos resultados presentan las soluciones largamente esperadas de los problemas abiertos más sobresalientes de la teoría de conjuntos axiomáticos y deben calificarse como el avance más importante en el estudio de la teoría de conjuntos axiomática desde la publicación de la monografía de Gödel de 1940 ‘The consistency of the continuum hypothesis’ (1940). … para este crítico, parece más que probable que la influencia del descubrimiento de Cohen sea al menos tan profunda en la metamatemática como en la filosofía general de las matemáticas (y quizás no solo de las matemáticas).

Angus MacIntyre, que fue un estudiante graduado en Stanford de 1964 a 1967, escribe :-

Me inspiró cuando era un joven matemático. Nunca le oí dar una conferencia sobre teoría de conjuntos, sino sobre geometría algebraica y campos p-ádicos. Tenía un estilo muy especial, lleno de entusiasmo y muy práctico.»Usó la menor teoría general posible y siempre transmitió la sensación de que llegó al corazón de las cosas. Sus técnicas, incluso en algo tan abstracto como la teoría de conjuntos, eran muy constructivas. Era atrevidamente inteligente, y uno habría tenido que ser ingenuo o excepcionalmente altruista para poner el»problema más difícil»de uno al Paul que conocí en los años 60.

Ver un artículo de Paul Cohen sobre matemáticas y enseñanza en ESTE ENLACE
En 1966 Cohen publicó la monografía Teoría de conjuntos y la hipótesis del continuo basada en un curso que dio en Harvard en la primavera de 1965. Azriel Lévy (quien escuchó por primera vez los resultados de Cohen en la conferencia de teoría de modelos de Berkeley) escribe:-

Esta monografía es principalmente una exposición de los célebres resultados del autor, a saber, la independencia de la hipótesis del continuo y el axioma de elección. Además presenta también los principales resultados clásicos en lógica y teoría de conjuntos. … Este libro presenta un enfoque fresco e intuitivo y da algunos destellos del proceso mental que llevó al autor a sus descubrimientos. El lector encontrará en este libro la cantidad justa de observaciones filosóficas para una monografía matemática.

En el mismo año, Cohen recibió una Medalla Fields por su trabajo fundamental sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos. Fue presentado por Mstislav Vsévolodovich Keldysh, Presidente de la Academia de Ciencias de la URSS, en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1966 en Moscú. Solo un Medallista Fields (Lars Ahlfors) ha sido galardonado con la Medalla Fields a una edad más joven. Alonzo Church dio un discurso en el Congreso sobre Paul J Cohen y el problema del continuum describiendo los notables logros de Cohen. La Medalla Fields, sin embargo, no fue el primer premio que Cohen recibió. En 1964 fue galardonado con el Premio Bôcher Memorial de la American Mathematical Society: –

…para su artículo, On a conjecture of Littlewood and idempotent measures, American Journal of Mathematics 82 (1960), 191-212.

Tres años más tarde, en 1967, Cohen recibió la Medalla Nacional de Ciencia: –

Por los resultados que hicieron época en la lógica matemática que han animado y ampliado las investigaciones en la base de las matemáticas.

Recibió el premio del presidente Lyndon B Johnson en una ceremonia en la Casa Blanca el 13 de febrero de 1968. También ha sido elegido para la Academia Nacional de Ciencias, la Academia Americana de Artes y Ciencias, y como miembro extranjero honorario de la Sociedad Matemática de Londres.Además de su trabajo en teoría de conjuntos, Cohen trabajó en ecuaciones diferenciales y análisis armónicos. Dawn Levy informa en comentarios hechos sobre Cohen por Peter Sarnak (profesor de matemáticas en Princeton y ex estudiante de doctorado de Cohen con la tesis Teoremas Geodésicos Principales (1980)): –

Paul Cohen fue uno de los matemáticos más brillantes del siglo XX. Al igual que muchos grandes matemáticos, sus intereses matemáticos y contribuciones fueron muy amplias, que van desde el análisis matemático y las ecuaciones diferenciales hasta la lógica matemática y la teoría de números. Esta amplitud se destacó en una conferencia celebrada en Stanford en septiembre pasado para celebrar el trabajo de Cohen y su cumpleaños número 72. La reunión consistió en destacados expertos en diferentes campos que normalmente no se encontrarían escuchando el mismo conjunto de conferencias. … Cohen fue un profesor dinámico y entusiasta. Hizo que las matemáticas parecieran simples y unificadas. Siempre estaba ansioso por compartir sus muchas ideas y conocimientos en diversos campos. Su pasión por las matemáticas nunca decayó.

Macintyre escribe sobre los importantes documentos que Cohen produjo después de sus excelentes resultados sobre la hipótesis del continuo :-

En 1969 Cohen publicó un documento muy original sobre la descomposición de las células p-ádicas, dando una versión constructiva de los famosos resultados de Ax-Kochen-Ersov. Ahora es fundamental para el análisis lógico de la integración motivica. A partir de 1969, Cohen se dedicó a algunos de los problemas más desafiantes e inflexibles, como la hipótesis de Riemann. Era un matemático apasionado e inspirador.

Kathy Owen, que pasó un tiempo en Stanford en la década de 1970, escribió sobre Cohen en ese momento :-

Paul era un hombre asombroso. Impaciente, inquieto, competitivo, provocador y brillante. Era un habitual en la hora del café para los estudiantes de posgrado y la facultad. Le encantaba el corte y el empuje del debate y la discusión sobre cualquier tema y era implacable si encontraba una debilidad lógica en un punto de vista opuesto. ¡Simplemente no había dónde esconderse! Se destacó por su intelecto afilado, su fascinación por las grandes preguntas, su extraño interés en el «tono perfecto» (trajo un diapasón a la hora del café y probó a todos) y su leve irritación con los pocos que tienen el tono perfecto. Era un hombre extraordinario, un amigo querido que tuvo un gran impacto en mi vida, una luz con todo el espectro de colores.

Cohen fue nombrada Profesora de la Feria Marjorie Mhoon en Ciencia Cuantitativa en Stanford en 1972, siendo la primera titular de esta cátedra. Se retiró formalmente en 2004, pero continuó enseñando en Stanford hasta poco antes de su muerte. Murió de una rara enfermedad pulmonar en el Hospital Stanford en Palo Alto.En cuanto a los intereses de Cohen fuera de las matemáticas, tocó el piano y el violín, cantó en un coro de Stanford y fue miembro de un grupo de folk sueco. Fue un consumado lingüista que hablaba Sueco, Francés, Español, Alemán e Idish. Él y su esposa organizaban cenas frecuentes para estudiantes, colegas y amigos. Le encantaba mostrar a los visitantes alrededor de San Francisco y sus alrededores.Terminemos esta biografía citando las reminiscencias de Cohen sobre su trabajo en la hipótesis del continuo: –

… es curioso que, en cierto sentido, la hipótesis del continuo y el axioma de elección no sean problemas realmente difíciles , no implican complejidad técnica; sin embargo, en ese momento se consideraban difíciles. Uno podría decir de una manera humorística que la actitud hacia mi prueba era la siguiente. Cuando se presentó por primera vez, algunas personas pensaron que estaba mal. Entonces se pensó que era extremadamente complicado. Entonces se pensó que era fácil. Pero, por supuesto, es fácil en el sentido de que hay una idea filosófica clara. Había puntos técnicos que me molestaban, pero básicamente no era un problema combinatorio enormemente complicado; era una idea filosófica.