Biografía

Los padres de Giuseppe Peano trabajaron en una granja y Giuseppe nació en la granja ‘Tetto Galant’ a unos 5 km de Cuneo. Asistió a la escuela del pueblo en Spinetta y luego se mudó a la escuela en Cuneo, haciendo el viaje de 5 km de ida y vuelta a pie todos los días. Sus padres compraron una casa en Cuneo, pero su padre continuó trabajando en el campo en Tetto Galant con la ayuda de un hermano y una hermana de Giuseppe, mientras que su madre se quedó en Cuneo con Giuseppe y su hermano mayor.La madre de Giuseppe tenía un hermano que era sacerdote y abogado en Turín y, cuando se dio cuenta de que Giuseppe era un niño muy talentoso, lo llevó a Turín en 1870 para su educación secundaria y para prepararlo para estudios universitarios. Giuseppe tomó exámenes en Ginnasio Cavour en 1873 y luego fue alumno del Liceo Cavour de donde se graduó en 1876 y, en ese año, entró en la Universidad de Turín.Entre los profesores de Peano en su primer año en la Universidad de Turín estaba D’Ovidio, que le enseñó geometría analítica y álgebra. En su segundo año se le enseñó cálculo por Angelo Genocchi y geometría descriptiva por Giuseppe Bruno. Peano continuó estudiando matemáticas puras en su tercer año y descubrió que era el único estudiante que lo hacía. Los otros habían continuado sus estudios en la Escuela de Ingeniería que el propio Peano tenía la intención original de hacer. En su tercer año Francesco Faà di Bruno le enseñó análisis y D’Ovidio enseñó geometría. Entre sus profesores en su último año fueron de nuevo D’Ovidio con un curso de geometría adicional y Francesco Siacci con un curso de mecánica. El 29 de septiembre de 1880 Peano se graduó como doctor en matemáticas.Peano se unió al personal de la Universidad de Turín en 1880, siendo nombrado asistente de D’Ovidio. Publicó su primer artículo matemático en 1880 y otros tres artículos al año siguiente. Peano fue nombrado asistente de Genocchi para 1881-82 y fue en 1882 que Peano hizo un descubrimiento que sería típico de su estilo durante muchos años, descubrió un error en una definición estándar.Genocchi ya era bastante viejo y de salud relativamente pobre, y Peano se hizo cargo de algunas de sus enseñanzas. Peano estaba a punto de enseñar a los estudiantes sobre el área de una superficie curva cuando se dio cuenta de que la definición en el libro de Serret, que era el texto estándar para el curso, era incorrecta. Peano inmediatamente le dijo a Genocchi de su descubrimiento para que le dijeran que Genocchi ya lo sabía. Genocchi había sido informado el año anterior por Schwarz, quien parece haber sido el primero en encontrar el error de Serret.En 1884 se publicó un texto basado en las conferencias de Genocchi en Turín. Este curso de libro en Cálculo Infinitesimal, aunque basado en las conferencias de Genocchi, fue editado por Peano y, de hecho, tiene mucho en él escrito por el propio Peano. El libro en sí indica en la página de título que es: –

… publicado con adiciones del Dr. Giuseppe Peano.

Genocchi parecía algo infeliz de que el trabajo saliera bajo su nombre porque escribió: –

… el volumen contiene adiciones importantes, algunas modificaciones y varias anotaciones, que se colocan en primer lugar. Para que no se me atribuya nada que no sea mío, debo declarar que no he participado en la compilación del libro mencionado y que todo se debe a ese joven sobresaliente, el Dr. Giuseppe Peano …

Peano recibió su calificación para ser profesor universitario en diciembre de 1884 y continuó enseñando más cursos, algunos para Genocchi cuya salud no se había recuperado lo suficiente como para permitirle regresar a la Universidad.En 1886 Peano demostró que si f(x,y)f (x, y)f(x,y) es continua,entonces la ecuación diferencial de primer orden dydx=f(x, y)\large\frac{dy}{dx}\normalsize = f (x,y)dxdy=f(x, y) tiene una solución. La existencia de soluciones con hipótesis más fuertes sobre fff había sido dada anteriormente por Cauchy y luego por Lipschitz. Cuatro años más tarde, Peano demostró que las soluciones no eran únicas , dando como ejemplo la ecuación diferencial dydx=3y2/3\large\frac{dy}{dx}\normalsize = 3y^{2/3}dxdy=3y2/3, con y(0)=0y(0) = 0y(0)=0.Además de su enseñanza en la Universidad de Turín, Peano comenzó a dar conferencias en la Academia Militar de Turín en 1886. Al año siguiente descubrió, y publicó, un método para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales utilizando aproximaciones sucesivas. Sin embargo, Émile Picard había descubierto de forma independiente este método y había acreditado a Schwarz con el descubrimiento del método primero. En 1888 Peano publicó el libro Cálculo geométrico que comienza con un capítulo sobre lógica matemática. Este fue su primer trabajo sobre el tema que jugaría un papel importante en su investigación en los próximos años y se basó en el trabajo de Schröder, Boole y Charles Peirce. Una característica más significativa del libro es que en él Peano expone con gran claridad las ideas de Grassmann que sin duda fueron expuestas de una manera bastante oscura por el propio Grassmann. Este libro contiene la primera definición de un espacio vectorial dada con una notación y un estilo notablemente modernos y, aunque no fue apreciado por muchos en ese momento, este es sin duda un logro bastante notable de Peano.En 1889, Peano publicó sus famosos axiomas, llamados axiomas de Peano, que definían los números naturales en términos de conjuntos. Estos fueron publicados en un folleto Arithmetices principia, nova methodo exposita which que, según fueron: –

… a la vez, un hito en la historia de la lógica matemática y de los fundamentos de las matemáticas.

El folleto fue escrito en latín y nadie ha podido dar una buena razón para esto, aparte de: –

… parece ser un acto de puro romanticismo, tal vez el único acto romántico en su carrera científica.

Los axiomas de Peano se enumeran en ESTE ENLACE.Genocchi murió en 1889 y Peano esperaba ser nombrado para ocupar su silla. Escribió a Casorati, a quien creía que formaba parte del comité de nombramientos, para obtener información, sólo para descubrir que había un retraso debido a la dificultad de encontrar suficientes miembros para actuar en el comité. Casorati había sido abordado, pero su salud no estaba a la altura de la tarea. Antes de que se pudiera hacer la cita, Peano publicó otro resultado impresionante.Inventó las curvas de «relleno de espacio» en 1890, que son asignaciones continuas sobreyectivas desde el cuadrado de la unidad. Hilbert, en 1891, describió curvas de llenado de espacio similares. Se había pensado que tales curvas no podían existir. Cantor había demostrado que hay una biyección entre el intervalo y la unidad cuadrada, pero, poco después, Netto había demostrado que tal biyección no puede ser continua.Puede ver algunas etapas en la construcción de esta curva en ESTE ENLACE.
Las curvas continuas de relleno de espacio de Peano no pueden ser 1-1, por supuesto, de lo contrario el teorema de Netto sería contradicho. Hausdorff escribió sobre el resultado de Peano en Grundzüge der Mengenlehre in en 1914: –

Este es uno de los hechos más notables de la teoría de conjuntos.

En diciembre de 1890, la espera de Peano para ser nombrado presidente de Genocchi terminó cuando, después de la competencia habitual, a Peano se le ofreció el puesto. En 1891 fundó Rivista di matematica, una revista dedicada principalmente a la lógica y los fundamentos de las matemáticas. El primer artículo de la primera parte es un artículo de diez páginas de Peano que resume su trabajo sobre la lógica matemática hasta ese momento.Peano tenía una gran habilidad para ver que los teoremas eran incorrectos al detectar excepciones. Otros no estaban tan contentos de que se señalaran estos errores y uno de ellos fue su colega Corrado Segre. Cuando Corrado Segre presentó un artículo a Rivista di matematica Peano señaló que algunos de los teoremas en el artículo tenían excepciones. Segre no estaba preparado para corregir los teoremas añadiendo condiciones que descartaban las excepciones, pero defendió su trabajo diciendo que el momento del descubrimiento era más importante que una formulación rigurosa. Por supuesto, esto estaba tan en contra del enfoque riguroso de las matemáticas de Peano que argumentó con fuerza: –

Creo que es nuevo en la historia de las matemáticas que los autores utilicen a sabiendas en sus proposiciones de investigación para las que se conocen excepciones, o para las que no tienen pruebas…

No fue solo Corrado Segre quien sufrió la extraordinaria capacidad de Peano para detectar la falta de rigor. Por supuesto, fue la precisión de su pensamiento, utilizando la exactitud de su lógica matemática, lo que le dio a Peano esta claridad de pensamiento. Peano señaló un error en una prueba de Hermann Laurent en 1892 y, en el mismo año, revisó un libro de Veronese terminando la reseña con el comentario:-

Podríamos continuar enumerando largamente los absurdos que el autor ha acumulado. Pero estos errores, la falta de precisión y rigor en todo el libro le quitan todo valor.

Desde alrededor de 1892, Peano se embarcó en un nuevo y extremadamente ambicioso proyecto, a saber, el Formulario Matemático. Explicó en la parte de marzo de 1892 de Rivista di matematica su pensamiento: –

De la mayor utilidad sería la publicación de colecciones de todos los teoremas ahora conocidos que se refieren a ramas dadas de las ciencias matemáticas … Tal colección, que sería larga y difícil en el lenguaje ordinario, se hace notablemente más fácil mediante el uso de la notación de la lógica matemática …

En muchos sentidos, esta gran idea marca el final del extraordinario trabajo creativo de Peano. Fue un proyecto que fue recibido con entusiasmo por unos pocos y con poco interés por la mayoría. Peano comenzó a tratar de convertir a todos los que lo rodeaban para que creyeran en la importancia de este proyecto y esto tuvo el efecto de molestarlos. Sin embargo, Peano y sus colaboradores cercanos, incluidos sus asistentes, Vailati, Burali-Forti, Pieri y Fano, pronto se involucraron profundamente en el trabajo.Al describir una nueva edición del Formulario Matemático en 1896, Peano escribe: –

Cada profesor podrá adoptar este Formulario como libro de texto, ya que debe contener todos los teoremas y todos los métodos. Su enseñanza se reducirá a mostrar cómo leer las fórmulas, e indicar a los estudiantes los teoremas que desea explicar en su curso.

Cuando se publicó el volumen de cálculo del Formulario, Peano, como había indicado, comenzó a usarlo para su enseñanza. Este fue el desastre que uno esperaría. Peano, que era un buen maestro cuando comenzó su carrera de profesor, se volvió inaceptable tanto para sus estudiantes como para sus colegas por el estilo de su enseñanza. Uno de sus estudiantes, que en realidad era un gran admirador de Peano, escribió:-

Pero los estudiantes sabíamos que esta instrucción estaba por encima de nuestras cabezas. Entendimos que un análisis tan sutil de conceptos, una crítica tan minuciosa de las definiciones utilizadas por otros autores, no estaba adaptado para principiantes, y especialmente no era útil para estudiantes de ingeniería. No nos gustaba tener que dar tiempo y esfuerzo a los «símbolos» que en años posteriores podríamos nunca usar.

La Academia Militar terminó su contrato para enseñar allí en 1901 y aunque a muchos de sus colegas de la universidad también les hubiera gustado dejar de enseñar allí, nada era posible en el camino que la universidad se estableció. El profesor era una ley para sí mismo en su propia asignatura y Peano no estaba preparado para escuchar a sus colegas cuando trataron de animarlo a regresar a su antiguo estilo de enseñanza. El proyecto Formulario Matemático se completó en 1908 y uno tiene que admirar lo que Peano logró, pero aunque el trabajo contenía una mina de información que se utilizó poco.Sin embargo, quizás el mayor triunfo de Peano llegó en 1900. En ese año se celebraron dos congresos en París. El primero fue el Congreso Internacional de Filosofía que se inauguró en París el 1 de agosto. Fue un triunfo para Peano y Russell, que asistió al Congreso, escribió en su autobiografía:-

El Congreso fue el punto de inflexión de mi vida intelectual, porque allí conocí a Peano. Ya lo conocía por su nombre y había visto parte de su obra, pero no me había tomado la molestia de dominar su notación. En las discusiones en el Congreso observé que siempre era más preciso que nadie, y que invariablemente sacaba lo mejor de cualquier discusión en la que se embarcaba. A medida que pasaban los días, decidí que esto debía ser debido a su lógica matemática. … Se hizo evidente para mí que su notación ofrecía un instrumento de análisis lógico como el que había estado buscando durante años …

Al día siguiente del Congreso de Filosofía comenzó el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos. Peano permaneció en París para este Congreso y escuchó la charla de Hilbert exponiendo diez de los 23 problemas que aparecieron en su documento destinado a dar la agenda para el próximo siglo. Peano estaba particularmente interesado en el segundo problema, que preguntó si los axiomas de la aritmética se podía demostrar consistente.
Incluso antes de que se completara el proyecto Formulario Matemático, Peano estaba poniendo en marcha el siguiente proyecto importante de su vida. En 1903, Peano expresó su interés en encontrar un lenguaje universal o internacional y propuso un lenguaje artificial «Latino sine flexione» basado en el latín, pero despojado de toda gramática. Compiló el vocabulario tomando palabras del inglés, el Francés, el alemán y el latín. De hecho, la edición final del Formulario Mathematico fue escrito en Latino sine flexione, que es otra de las razones por las que el trabajo fue tan poco utilizado.Por lo tanto, la carrera de Peano se dividió extrañamente en dos períodos. El período hasta 1900 es uno en el que mostró gran originalidad y una notable sensación de temas que serían importantes en el desarrollo de las matemáticas. Sus logros fueron sobresalientes y tenía un estilo moderno bastante fuera de lugar en su propio tiempo. Sin embargo, esta sensación de lo que era importante parecía dejarlo y después de 1900 trabajó con gran entusiasmo en dos proyectos de gran dificultad que eran enormes empresas, pero resultó muy poco importante en el desarrollo de las matemáticas.De su personalidad Kennedy escribe en: –

… Me fascina su gentil personalidad, su habilidad para atraer discípulos de toda la vida, su tolerancia a la debilidad humana, su optimismo perenne. … Peano no solo puede ser clasificado como matemático y lógico del siglo XIX, sino que debido a su originalidad e influencia, debe ser juzgado como uno de los grandes científicos de ese siglo.

Aunque Peano es un fundador de la lógica matemática, el filósofo matemático alemán Gottlob Frege es hoy considerado el padre de la lógica matemática.