Definición

El número de Péclet (Pe) es un número adimensional que representa la relación de la tasa de convección sobre la tasa de difusión en el sistema de transporte convección-difusión.

\displaystyle{ Pe = \frac{(Convección \, velocidad)}{(Difusión \, velocidad)} = \frac {UL}{D}}

U representa la velocidad de flujo lineal en el volumen de control, L representa la escala de longitud del flujo y D es la constante de difusión. Este número también se puede representar como una relación de escalas de tiempo difusivas a convectivas. Las unidades, en una configuración microfluídica, para U, L y D son um/s, um/s y um2 / s respectivamente.

\ displaystyle{ Pe = \frac {(Difusión \, escala de tiempo)} {(Convección \, escala de tiempo)} }

En regímenes dominados por difusión, el número de Peclet es menor que 1. Tal es el caso de los sistemas microfluídicos, donde la turbulencia es baja. En sistemas dominados por convección, este número es mayor que uno.

Derivación

Para un sistema unidimensional como se describe en la Figura 1, con una concentración de especie, \displaystyle{ C } las siguientes relaciones se pueden hacer para relacionar el flujo en, \displaystyle {J_ {in} }, el flujo en salida, \displaystyle{ J_{out} } y el volumen de control \displaystyle{ V }. A partir de este sistema, se puede derivar el número de Péclet.

Figura 1 Esta es una ilustración de un volumen de control con los flujos y flujos de salida. Si las fuentes y sumideros se pueden descuidar, estos flujos pueden contribuir a la convección y difusión

\displaystyle{ V\frac {dC} {dt} = A\cdot J_{in} – A\cdot J_{out}}

Este balance de masas se puede usar para describir el flujo dentro y fuera del sistema. Flujo es el caudal másico por unidad de área. Suponiendo que las áreas de entrada y salida sean constantes, el balance de masas se puede simplificar.

\displaystyle{ \frac {dC} {dt} = \frac{A}{V}\cdot (J_{in} – J_{out}) }

Si hay gradientes en el sistema, el flujo de salida del sistema se puede describir de la siguiente manera.

\displaystyle{ J_ {out} = \frac {\partial J} {\partial x} \ cdot (\Delta x) + J_{in}}

Por lo tanto, el balance de masas se puede simplificar como se muestra a continuación.

\displaystyle{ \frac{dC}{dt} = \frac{A}{V}\cdot \frac{\partial J}{\partial x}\cdot (\Delta x) }

Debido a la forma en que el sistema se define, \displaystyle{ \frac{A}{V} = \frac{1}{\Delta x} }. Por lo tanto,

\displaystyle{ \frac{dC}{dt} = \frac{\partial J}{\partial x}\rightarrow \frac{\partial C}{\partial t} =\nabla J }

Esta ecuación también se describe en tres dimensiones.

Se asume que las fuentes y sumideros son insignificantes, a fin de centrar el sistema en la difusión y la convección. Por lo tanto,

\displaystyle{ J = J_{convección} + J_{difusión} }

El caudal másico, \displaystyle{ Q}, se puede definir como \displaystyle{ Q = C \Delta x\cdot A }. Dado que la convección es la fuente principal de este caudal másico en este sistema, el flujo convectivo \displaystyle{ J_{convección} } se define como tal.

\displaystyle{ J_ {convección} = \frac{Q} {\Delta t \ cdot A} = \frac{C \ Delta x } {\Delta t} \rightarrow \frac {\partial x} {\partial t}C}

La ecuación de difusión se puede derivar de la ley de first Fick como se muestra a continuación. \displaystyle{ D } es la constante de difusividad.

\displaystyle{ J_ {diffusion} = – D \frac {\partial C } {\partial x} }

El flujo difusivo y el flujo convectivo se pueden combinar en el balance de masas general.

\displaystyle{ \frac{\partial C}{\partial t} = -\frac{\partial \left }{\partial x} = -\frac{\partial \left }{\partial x} }

Debido a la relación que a continuación pueden aplicarse, donde \displaystyle{ u } es igual a la velocidad de una partícula, el balance de masa puede ser simplificado y descrito en múltiples dimensiones

\displaystyle{ \frac{\partial x}{\partial t} = u }

\displaystyle{ \frac{\partial C}{\partial t} = D\frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}} – u \frac{\partial C}{\partial x}\rightarrow \frac{\partial C}{\partial t} + u \frac{\partial C}{\partial x}= D\frac{\partial^{2} C} {\partial x^{2}} \rightarrow \frac {\partial C} {\partial t} + u \ nabla C = D \nabla^{2} C}

Los números adimensionales, como se muestra a continuación, se pueden usar para reformular el balance de masas. \displaystyle{ U } es igual al caudal lineal convectivo.

\displaystyle{ C^{*} = \frac {C}{C_{max}}; U^{*} = \frac{u}{U}; t^{*} = \frac {t}{t_{0}} }

Cuando estos números son aplicados, el equilibrio se describe como se muestra.

\displaystyle{ \frac{C}{t_{0}}\frac{\partial C^{*}}{\partial t} + \frac{UC}{L}u^{*} \frac{\partial C}{\partial x}= \frac{DC}{L^{2}}\frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}} }

\displaystyle{ \frac{L^{2}}{D\cdot t_{0}}\frac{\partial C^{*}}{\partial t} + \frac{UL}{D}u^{*} \frac{\partial C}{\partial x}= \frac{\partial^{2} C}{\partial x^{2}} }

El primer término en el anterior equilibrio se conoce como el inestable plazo. En flujos invariantes en el tiempo, este término es igual a cero. La relación entre los dos términos (es decir, los términos difusivos y convectivos), es igual al número de Peclet, como se describe a continuación.

\displaystyle{ Pe = \frac {UL}{D}}

Aplicaciones a Microfluidos

Figura 2 La mezcla dominada por difusión que se produce en un sensor T la hace útil en pruebas analíticas basadas en florescencia. El analito (en azul) se difunde con la especie en el canal en función de la longitud del canal medio.

Figure 3 This is a microfluidic device that allows convenient extraction of small molecules from complex fluids into simpler buffer streams

Figure 4 Diagrams showing performance of staggered herringbone mixer. Image by MIT OpenCourseWare. Adapted from Figure 3 on p. 64 in Stroock et al.

Las fuerzas inerciales bajas presentes en muchas configuraciones de microfluidos, debido a escalas de velocidad y longitud bajas, a menudo producen flujos de número de Reynolds bajos : también se pueden esperar bajos niveles de turbulencia en estos regímenes de flujo. Por lo tanto, la convección no es frecuente en configuraciones microfluídicas, a menos que se induzca a propósito. La mezcla que se produce en estos dispositivos se produce debido a la difusión . La mezcla inducida por difusión es mucho más lenta que la mezcla convectiva, con velocidades inferiores en varios órdenes de magnitud.

En unidades donde no se desea una mezcla rápida (por ejemplo, pruebas analíticas o sistemas de separación), es ideal un Pe bajo (de menos o alrededor de 1). Los sensores T, como se muestra en la Figura 2, son un ejemplo de una clase de dispositivos analíticos que se benefician de un Pe bajo. Los sensores T se utilizan en muchos inmunoensayos competitivos, donde el antígeno y el anticuerpo se introducen en el sensor T. Dado el patrón de difusión conocido que se espera, como se muestra en la Figura 2, cualquier desviación de este patrón indica la unión de anticuerpos. Los sensores T también se pueden usar en casos más simples, como para cuantificar las difusiones del analito y la cinética de reacción, ya que los efectos de la turbulencia se neutralizan . La separación también es posible sin el uso de membranas en microfluidos, debido a Pe bajo, como lo demuestra el filtro H, mostrado en la Figura 3. El filtro H aprovecha el hecho de que las especies más grandes tienen constantes de difusión más bajas que las especies más pequeñas. Las proteínas, por ejemplo, tienen un coeficiente de difusión tres órdenes de magnitud mayor que el de los iones de sal . La separación se puede lograr en un canal en forma de «H», donde una mezcla entrará en los extremos de la » H » y se producirá una separación de tal manera que la especie más grande saldrá por la parte inferior del mismo lado, mientras que la especie más ligera atravesará la sección central de la H hacia el otro lado.

En unidades donde se desea mezclar, como reactores, es necesario Pe>>1. La convección deseada para producir Pe grande se puede proporcionar con muchos métodos, como el uso de barras de agitación o el uso de canales grabados que inducen vórtices, como se muestra en un mezclador de espiga en la Figura 4.

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