Las ecuaciones de esta sección no utilizan axiomas de la mecánica cuántica, sino relaciones para las que existe una correspondencia directa en la mecánica clásica.

Por ejemplo: una celosía rígida regular, cristalina (no amorfa) está compuesta de N partículas. Estas partículas pueden ser átomos o moléculas. N es un número grande, digamos del orden de 1023, o del orden del número de Avogadro para una muestra típica de un sólido. Dado que la red es rígida, los átomos deben estar ejerciendo fuerzas unos sobre otros para mantener a cada átomo cerca de su posición de equilibrio. Estas fuerzas pueden ser fuerzas de Van der Waals, enlaces covalentes, atracciones electrostáticas y otras, todas las cuales se deben en última instancia a la fuerza eléctrica. Las fuerzas magnéticas y gravitacionales son generalmente insignificantes. Las fuerzas entre cada par de átomos pueden caracterizarse por una función de energía potencial V que depende de la distancia de separación de los átomos. La energía potencial de toda la red es la suma de todas las energías potenciales en pares multiplicadas por un factor de 1/2 para compensar el doble conteo:

1 2 ∑ i ≠ j V ( r i − r j ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}V\left(r_{i}-r_{j}\right)}

donde ri es la posición de la i-ésima átomo, y V es la energía potencial entre dos átomos.

Es difícil resolver este problema de muchos cuerpos explícitamente en mecánica clásica o cuántica. Para simplificar la tarea, generalmente se imponen dos aproximaciones importantes. En primer lugar, la suma solo se realiza sobre átomos vecinos. Aunque las fuerzas eléctricas en sólidos reales se extienden hasta el infinito, esta aproximación sigue siendo válida porque los campos producidos por átomos distantes se tamizan efectivamente. En segundo lugar, los potenciales V se tratan como potenciales armónicos. Esto es permisible siempre y cuando los átomos permanezcan cerca de sus posiciones de equilibrio. Formalmente, esto se logra expandiendo V sobre su valor de equilibrio a orden cuadrático, dando V proporcional al desplazamiento x2 y la fuerza elástica simplemente proporcional a x. El error al ignorar términos de orden superior permanece pequeño si x permanece cerca de la posición de equilibrio.

La red resultante puede visualizarse como un sistema de bolas conectadas por resortes. La siguiente figura muestra una celosía cúbica, que es un buen modelo para muchos tipos de sólidos cristalinos. Otras celosías incluyen una cadena lineal, que es una celosía muy simple que utilizaremos en breve para modelar fonones. (Para otras celosías comunes, vea estructura cristalina.)

La energía potencial de la red ahora se puede escribir como

∑ { i j } ( n n ) 1 2 n n ω 2 ( R i − R j ) 2 . {\displaystyle \sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}{\tfrac {1}{2}}nn\omega ^{2}\left(R_{i}-R_{j}\derecho)^{2}.}

Aquí, ω es la frecuencia natural de los potenciales armónicos, que se supone que son los mismos ya que la red es regular. Ri es la coordenada de posición del átomo i, que ahora medimos a partir de su posición de equilibrio. La suma sobre los vecinos más cercanos se denota (nn).

Ondas de rededItar

Propagación de fonones a través de una red cuadrada (desplazamientos de átomos muy exagerados)

Debido a las conexiones entre átomos, el desplazamiento de uno o más átomos de sus posiciones de equilibrio dan lugar a un conjunto de ondas de vibración que se propagan a través de la red. Una de estas ondas se muestra en la figura de la derecha. La amplitud de la onda viene dada por los desplazamientos de los átomos desde sus posiciones de equilibrio. La longitud de onda λ está marcada.

Hay una longitud de onda mínima posible, dada por el doble de la separación de equilibrio a entre átomos. Cualquier longitud de onda más corta que esta se puede asignar a una longitud de onda más larga que 2a, debido a la periodicidad de la red. Esto se puede pensar como una consecuencia del teorema de muestreo de Nyquist–Shannon, los puntos de retícula se ven como los «puntos de muestreo» de una onda continua.

No todas las vibraciones de celosía posibles tienen una longitud de onda y una frecuencia bien definidas. Sin embargo, los modos normales poseen longitudes de onda y frecuencias bien definidas.

unidimensional latticeEdit

Animación que muestra los 6 primeros modos normales de una unidimensional de la celosía: una cadena lineal de partículas. La longitud de onda más corta está en la parte superior, con longitudes de onda progresivamente más largas por debajo. En las líneas más bajas se puede ver el movimiento de las olas hacia la derecha.

Para simplificar el análisis necesario para una red de átomos de 3 dimensiones, es conveniente modelar una red de 1 dimensión o cadena lineal. Este modelo es lo suficientemente complejo como para mostrar las características sobresalientes de los fonones.

Tratamiento clásicoedItar

Se supone que las fuerzas entre los átomos son lineales y próximas, y están representadas por un resorte elástico. Se supone que cada átomo es una partícula puntual y el núcleo y los electrones se mueven en pasos (teorema adiabático):

n − 1 n n + 1 ← a →

···o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o++++++o o o···

→→ → →→→ de la onu − 1 onu + 1

donde n etiquetas de la enésima átomo de un total de N, es la distancia entre los átomos, cuando la cadena está en equilibrio, y de la onu, el desplazamiento de la enésima átomo de su posición de equilibrio.

Si C es la constante elástica del resorte y m la masa del átomo, entonces la ecuación de movimiento del enésimo átomo es

− 2 C u n + C ( u n + 1 + u n − 1 ) = m d 2 u n d t 2 . {\displaystyle-2Cu_{n} + C \ left (u_{n+1}+u_{n-1}\right)=m{\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}.}

Este es un conjunto de ecuaciones acopladas.

Dado que se espera que las soluciones sean oscilatorias, las nuevas coordenadas se definen mediante una transformada discreta de Fourier, con el fin de desacoplarlas.

Put

u n = ∑ N a k / 2 π = 1 N Q k e i k n a . {\displaystyle u_{n} = \sum _{Nak / 2\pi =1}^{N}Q_{k}e^{ikna}.}

Aquí, na corresponde y se devuelve a la variable continua x de la teoría de campos escalares. Los Qk se conocen como coordenadas normales, modos de campo continuo φk.

La sustitución en la ecuación de movimiento produce las siguientes ecuaciones desacopladas (esto requiere una manipulación significativa utilizando las relaciones de ortonormalidad e integridad de la transformada discreta de Fourier,

2 C (cos ⁡ k a − 1 ) Q k = m d 2 Q k d t 2 . {\displaystyle 2C (\cos {ka-1})Q_{k}=m{\frac {d^{2}Q_{k}}{dt^{2}}}.}

Estas son las ecuaciones para osciladores armónicos desacoplados que tienen la solución Q k = A k e i ω k t; ω k = 2 C m (1 − cos ⁡ k a ) . {\displaystyle Q_{k}=A_{k}e^{i\omega _{k}t};\qquad \omega _{k}={\sqrt {{\frac {2C}{m}}(1-\cos {ka})}}.}

Cada coordenada normal Qk representa un modo vibracional independiente de la red con número de onda k, que se conoce como modo normal.

La segunda ecuación, para wk, se conoce como la relación de dispersión entre la frecuencia angular y el número de onda.

En el límite continuo, a→0, N→∞, con Na fijo sostenido, un → φ(x), un campo escalar, y ω ( k) k k a {\displaystyle \omega (k)\propto ka}

. Esto equivale a la teoría clásica de campos escalares libres, un conjunto de osciladores independientes.

Tratamiento cuánticoeditar

Una cadena armónica mecánica cuántica unidimensional consiste en N átomos idénticos. Este es el modelo mecánico cuántico más simple de una red que permite que surjan fonones de ella. El formalismo de este modelo es fácilmente generalizable a dos y tres dimensiones.

En cierto contraste con la sección anterior, las posiciones de las masas no se denotan por ui, sino por x1, x2 measured, medidos a partir de sus posiciones de equilibrio (p.ej. xi = 0 si la partícula i está en su posición de equilibrio.) En dos o más dimensiones, las xi son cantidades vectoriales. El Hamiltoniano de este sistema es

H = ∑ i = 1 N p i 2 2 m + 1 2 m ω 2 ∑ { yo, j } ( n n ) ( x i − x j ) 2 {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(\mathrm {nn} )}\left(x_{i}-x_{j}\derecho)^{2}}

donde m es la masa de cada átomo (suponiendo que es igual para todos), y xi y pi son la posición y el impulso de los operadores, respectivamente, para el átomo i y la suma se hace sobre los vecinos más cercanos (nn). Sin embargo, uno espera que en un entramado también puedan aparecer ondas que se comportan como partículas. Es costumbre tratar con ondas en el espacio de Fourier que usa modos normales del detector de ondas como variables en lugar de coordenadas de partículas. El número de modos normales es el mismo que el número de partículas. Sin embargo, el espacio de Fourier es muy útil dada la periodicidad del sistema.

Se puede introducir un conjunto de N «coordenadas normales» Qk, definidas como las transformadas discretas de Fourier del xk y N «momento conjugado» Πk definidas como las transformadas de Fourier del pk:

Q k = 1 N ∑ l e i k a l x l Π k = 1 N ∑ l e − i k a l p l . {\displaystyle {\begin{aligned}Q_{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{ikal}x_{l}\\\Pi _{k}&={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{l}e^{-ikal}p_{l}.\end{aligned}}}

La cantidad kn resulta ser el número de onda del fonón, es decir, 2π dividido por la longitud de onda.

Esta opción conserva el deseado relaciones de conmutación en el espacio real o wavevector espacio

= i ℏ δ l , m = 1 N ∑ l , m e i k a l e s − i k ‘m = i ℏ N ∑ l e i a l ( k − k’ ) = i ℏ δ k , k ‘ = = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left&=i\manejadores \delta _{l,m}\\\left&={\frac {1}{N}}\sum _{l,m}e^{ikal}e^{-señora ik}\left\\&={\frac {i\manejadores }{N}}\sum _{l}e^{ial\left(k-k’\derecho)}=i\manejadores \delta _{k,k’}\\\left&=\left=0\end{aligned}}}

Desde el resultado general

∑ l x l x l + m = 1 N ∑ k k Q k Q k ‘∑ l e i a l ( k + k ‘ ) e i a m k ‘ = ∑ k Q k Q − k e i a m k ∑ l p l 2 = ∑ k k Π Π − k {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk’}Q_{k}Q_{k’}\sum _{l}e^{ial\left(k+k’\derecho)}e^{iamk’}=\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}e^{iamk}\\\sum _{l}{p_{l}}^{2}&=\sum _{k}\Pi _{k}\Pi _{-k}\end{aligned}}}

El término de energía potencial es

1 2 m ω 2 ∑ j ( x j − x j + 1 ) 2 = 1 2 m ω 2 ∑ k Q k Q − k ( 2 − e i k − e − i p ) = 1 2 ∑ k I k ω 2 Q k − Q k {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{j}\left(x_{j}-x_{j+1}\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\sum _{k}Q_{k}Q_{-k}(2-e^{ika}-e^{-ika})={\tfrac {1}{2}}\sum _{k}m{\omega _{k}}^{2}Q_{k}Q_{-k}}

where

ω k = 2 ω 2 ( 1 − cos ⁡ k a ) = 2 ω | sin ⁡ k a 2 | {\displaystyle \omega _{k}={\sqrt {2\omega ^{2}\left(1-\cos {ka}\right)}}=2\omega \left|\sin {\frac {ka}{2}}\right|}

El Hamiltoniano puede ser escrito en wavevector espacio como

H = 1 2 m ∑ k ( k Π Π − k + m 2 ω k 2 Q k Q − k ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\sum _{k}\left(\Pi _{k}\Pi _{-k}+m^{2}\omega _{k}^{2}Q_{k}Q_{-k}\right)}

Los acoplamientos entre las variables de posición si Q y Π fueran hermitianos (que no lo son), el Hamiltoniano transformado describiría N osciladores armónicos desacoplados.

La forma de cuantización depende de la elección de las condiciones de contorno; para simplificar, se imponen condiciones de contorno periódicas, definiendo el átomo (N + 1)como equivalente al primer átomo. Físicamente, esto corresponde a unir la cadena en sus extremos. La cuantización resultante es

k = k n = 2 π n N a para n = 0 , ± 1 , ± 2 , … ± N 2 . {\displaystyle k = k_{n}={\frac {2\pi n}{Na}}\quad {\mbox{for }}n = 0,\pm 1,\pm 2,\ldots \pm {\frac {N}{2}}.\ }

El límite superior a n proviene de la longitud de onda mínima, que es el doble del espaciado de celosía a, como se discutió anteriormente.

Los valores propios del oscilador armónico o los niveles de energía para el modo wk son:

E n = ( 1 2 + n ) ℏ ω k n = 0 , 1 , 2 , 3 … {\displaystyle E_{n}=\left({\tfrac {1}{2}}+n\derecho)\manejadores \omega _{k}\qquad n=0,1,2,3\ldots }

Los niveles están espaciados de manera uniforme en:

1 2 ℏ ω , 3 2 ℏ ω , 5 2 ℏ ω ⋯ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\manejadores \omega\ {\tfrac {3}{2}}\manejadores \omega\ {\tfrac {5}{2}}\manejadores \omega \ \cdots }

donde 1/2ħw es el punto cero de la energía de un oscilador armónico cuántico.

Se debe suministrar una cantidad exacta de energía ħw a la red del oscilador armónico para empujarla al siguiente nivel de energía. En comparación con el caso de fotones cuando el campo electromagnético está cuantizado, el cuántico de energía vibratoria se llama fonón.

Todos los sistemas cuánticos muestran propiedades de ondas y partículas simultáneamente. Las propiedades de partículas del fonón se entienden mejor utilizando los métodos de segunda cuantización y las técnicas de operador descritas más adelante.

Red tridimensionaleditar

Esto puede generalizarse a una red tridimensional. El número de onda k es reemplazado por un detector de onda tridimensional k. Además, cada k está ahora asociada con tres coordenadas normales.

Los nuevos índices s = 1, 2, 3 etiquetan la polarización de los fonones. En el modelo unidimensional, los átomos se limitaban a moverse a lo largo de la línea, por lo que los fonones correspondían a ondas longitudinales. En tres dimensiones, la vibración no se limita a la dirección de propagación, y también puede ocurrir en los planos perpendiculares, como las ondas transversales. Esto da lugar a las coordenadas normales adicionales, que, como indica la forma del Hamiltoniano, podemos ver como especies independientes de fonones.

Dispersion relationEdit

Dispersion curves in linear diatomic chain

Optical and acoustic vibrations in a linear diatomic chain.

Dispersion relation ω = ω(k) for some waves corresponding to lattice vibrations in GaAs.

Para una matriz alterna unidimensional de dos tipos de iones o átomos de masa m1, m2 repetidos periódicamente a una distancia a, conectados por resortes de constante de resorte K, dos modos de resultado de vibración:

ω ± 2 = K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) ± K ( 1 m 1 + 1 m 2 ) 2 − 4 el pecado 2 ⁡ k 2 m 1 m 2 , {\displaystyle \omega _{\pm }^{2}=K\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\derecho)\pm K{\sqrt {\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\sin ^{2}{\frac {ka}{2}}}{m_{1}m_{2}}}}},}

donde k es la wavevector de la vibración relativa a su la longitud de onda por k = 2 π λ {\displaystyle k={\tfrac {2\pi }{\lambda }}}

.

La conexión entre frecuencia y wavevector, ω = ω (k), se conoce como relación de dispersión. El signo más resultados en el llamado modo óptico, y el signo menos para el modo acústico. En el modo óptico, dos átomos diferentes adyacentes se mueven uno contra el otro, mientras que en el modo acústico se mueven juntos.

La velocidad de propagación de un fonón acústico, que es también la velocidad del sonido en la red, viene dada por la pendiente de la relación de dispersión acústica, ∂wk/∂k (véase velocidad de grupo.) A valores bajos de k (es decir, longitudes de onda largas), la relación de dispersión es casi lineal, y la velocidad del sonido es aproximadamente wa, independiente de la frecuencia del fonón. Como resultado, los paquetes de fonones con longitudes de onda diferentes (pero largas) pueden propagarse a grandes distancias a través de la red sin romperse. Esta es la razón por la que el sonido se propaga a través de sólidos sin distorsión significativa. Este comportamiento falla en valores grandes de k, es decir, longitudes de onda cortas, debido a los detalles microscópicos de la red.

Para un cristal que tiene al menos dos átomos en su célula primitiva, las relaciones de dispersión exhiben dos tipos de fonones, a saber, los modos óptico y acústico correspondientes a la curva azul superior y roja inferior en el diagrama, respectivamente. El eje vertical es la energía o frecuencia del fonón, mientras que el eje horizontal es el detector de ondas. Los límites en −π/a y π/a son los de la primera zona de Brillouin. Un cristal con N ≥ 2 átomos diferentes en la célula primitiva exhibe tres modos acústicos: un modo acústico longitudinal y dos modos acústicos transversales. El número de modos ópticos es 3N-3. La figura inferior muestra las relaciones de dispersión para varios modos fonónicos en GaAs como una función del wavevector k en las direcciones principales de su zona de Brillouin.

Muchas curvas de dispersión de fonones se han medido por dispersión inelástica de neutrones.

La física del sonido en fluidos difiere de la física del sonido en sólidos, aunque ambas son ondas de densidad: las ondas sonoras en fluidos solo tienen componentes longitudinales, mientras que las ondas sonoras en sólidos tienen componentes longitudinales y transversales. Esto se debe a que los fluidos no pueden soportar tensiones de cizallamiento (pero consulte fluidos viscoelásticos, que solo se aplican a altas frecuencias).

Interpretación de fonones usando técnicas de segunda cuantizacióneditar

El Hamiltoniano derivado de arriba puede parecerse a una función hamiltoniana clásica, pero si se interpreta como un operador, entonces describe una teoría cuántica de campos de bosones no interactuantes.La segunda técnica de cuantización, similar al método de operador de escalera utilizado para osciladores armónicos cuánticos, es un medio para extraer valores propios de energía sin resolver directamente las ecuaciones diferenciales. Dada la Hamiltoniana, H {\displaystyle {\mathcal {H}}}

, así como el conjugado posición, Q k {\displaystyle Q_{k}}

, y conjugar impulso Π k {\displaystyle \Pi _{k}}

definido en el tratamiento cuántico de la sección anterior, podemos definir a la creación y aniquilación de los operadores: b k = I k ω 2 ℏ ( Q k + i m ω k Π − k ) {\displaystyle b_{k}={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\manejadores }}}\left(Q_{k}+{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{-k}\right)}

y b k † = I k ω 2 ℏ ( Q − k − i i ω k Π k ) {\displaystyle {b_{k}}^{\daga }={\sqrt {\frac {m\omega _{k}}{2\manejadores }}}\left(Q_{-k}-{\frac {i}{m\omega _{k}}}\Pi _{k}\derecho)}

Los siguientes conmutadores se pueden obtener fácilmente sustituyendo en la relación de conmutación canónica:

= δ k , k ‘, = = 0 {\displaystyle \left=\delta _{k,k’},\quad {\Big }=\left=0}

Usando esto, los operadores bk† y bk se pueden invertir para redefinir la posición conjugada y el momento como:

Q k = ℏ 2 m ω k b k † + b − k ) {\displaystyle Q_{k}={\sqrt {\frac {\manejadores }{2m\omega _{k}}}}\left({b_{k}}^{\daga }+b_{-k}\right)}

y Π k = i ℏ m ω k 2 ( b k † − b − k ) {\displaystyle \Pi _{k}=i{\sqrt {\frac {\manejadores m\omega _{k}}{2}}}\left({b_{k}}^{\daga }-b_{-k}\right)}

Directamente sustituyendo estas definiciones por Q k {\displaystyle Q_{k}}

y Π k {\displaystyle \Pi _{k}}

en el Hamiltoniano espacial del detector de ondas, como se define anteriormente, y simplificando a continuación, el hamiltoniano toma la forma: H = ∑ k ℏ ω k b k † b k + 1 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\manejadores \omega _{k}\left({b_{k}}^{\daga }b_{k}+{\tfrac {1}{2}}\right)}

Esto es conocido como la segunda cuantización de la técnica, también conocida como la ocupación número de formulación, donde nk = bk†bk es la ocupación número. Esto puede verse como una suma de N hamiltonianos osciladores independientes, cada uno con un vector de onda único, y compatible con los métodos utilizados para el oscilador armónico cuántico (nk es hermitiano). Cuando un hamiltoniano se puede escribir como una suma de sub-Hamiltonianos conmutables, los estados propios de energía serán dados por los productos de los estados propios de cada uno de los sub-Hamiltonianos separados. El espectro de energía correspondiente viene dado por la suma de los valores propios individuales de los sub-Hamiltonianos.

Al igual que con el oscilador armónico cuántico, se puede demostrar que bk† y bk respectivamente crean y destruyen una excitación de un solo campo, un fonón, con una energía de ħwk.

De esta técnica se pueden deducir tres propiedades importantes de los fonones. En primer lugar, los fonones son bosones, ya que cualquier número de excitaciones idénticas se pueden crear mediante la aplicación repetida del operador de creación bk†. Segundo, cada fonón es un «modo colectivo» causado por el movimiento de cada átomo en la red. Esto se puede ver por el hecho de que los operadores de creación y aniquilación, definidos aquí en el espacio de momento, contienen sumas sobre los operadores de posición y momento de cada átomo cuando se escriben en el espacio de posición (Ver espacio de posición y momento). Finalmente, usando la función de correlación posición-posición, se puede demostrar que los fonones actúan como ondas de desplazamiento de red.

Esta técnica se generaliza fácilmente a tres dimensiones, donde el hamiltoniano toma la forma:

H = ∑ k ∑ s = 1 3 ω ω k, s (b k , s † b k , s + 1 2 ) . {\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{k}\sum _{s=1}^{3}\manejadores \,\omega _{k,s}\left({b_{k,s}}^{\daga }b_{k,s}+{\tfrac {1}{2}}\right).}