Corr nació en Melbourne. Su padre es Peter Corr, entrenador del equipo australiano de portería femenina. Comenzó su carrera como actor a la edad de trece años con la película Opraholic. Su primera actuación en televisión fue en The Sleepover Club con un papel secundario como Matthew McDougal. Después de completar el rodaje en The Sleepover Club, obtuvo un papel principal como Sheng Zamett en Silversun. Poco después, Corr tuvo muchas apariciones especiales en programas como Scooter: Secret Agent, Blue Heelers y Neighbours. Corr es también un actor de voz y fue la voz de una oveja en la telaraña de Charlotte. En 2006, la segunda serie de Blue Water High se emitió en la televisión australiana en la que tenía un papel principal. Corr interpretó a un joven surfista llamado Eric, que fue uno de los seis adolescentes elegidos para asistir a Solar Blue. En 2009, se graduó en el Instituto Nacional de Arte Dramático (NIDA). En 2010, Corr apareció en los últimos episodios de Underbelly: The Golden Mile como Michael Kanaan y fue un personaje regular en el popular programa de televisión australiano Packed to the Rafters, interpretando al sobrino de Dave Rafter, Coby Jennings.

Corr fue el beneficiario de la beca Heath Ledger en 2011. Fue nominado a la Licenciatura del Año de Cleo en 2012. En 2013, apareció en la película de suspenso para adolescentes 6 Plots, y protagonizó junto a John Jarratt en Wolf Creek 2, la secuela de 2013 de la película de terror Wolf Creek.

En mayo de 2014, Corr fue acusado de posesión de heroína después de ser encontrado con una bolsa congeladora que contenía 0,26 g (menos de 1/100 de una onza) de la droga en el suburbio de Bondi en Sídney. Después de admitir la posesión, el actor recibió una fianza de comportamiento de 12 meses sin que se registrara ninguna condena. El arresto tuvo lugar solo unos días después de que el abuelo de Corr (que voló con él cuando viajaba a trabajos de actuación cuando era niño) entrara en coma después de un ataque cardíaco. En un «estado vulnerable», Corr fue al hotel, donde un hombre le dio una bolsa que contenía heroína y dijo: «toma, toma esto, te sentirás mejor.»Según el abogado de Corr, Corr estaba agradecido por haber sido arrestado, porque le impidió usar la droga», que dijo que nunca había probado antes.»Como dijo Corr más tarde,» Me encontré en una posición en la que estaba increíblemente molesto, alguien me ofreció algo y 200 metros después, me recogieron con él. Fue un error de juicio.

En 2015, Corr protagonizó la película de drama romántico de Neil Armfield Holding the Man, adaptada de las memorias de Timothy Conigrave de 1995 del mismo nombre. Corr interpretó a Timothy Conigrave junto a Craig Stott, que interpretó a John Caleo, con actuaciones de apoyo de Guy Pearce, Anthony LaPaglia, Sarah Snook, Kerry Fox y Geoffrey Rush.

Corr protagoniza la serie de televisión Wanted.

En 2018, Corr apareció como Joseph en la película de Helen Edmundson, Mary Magdalene.