Trabajando 2.000 años antes del desarrollo del cálculo, el matemático griego Arquímedes elaboró una fórmula simple para el volumen de una esfera:

muchos De sus contribuciones matemáticas, Arquímedes estaba más orgulloso de este resultado, incluso yendo tan lejos como para pedir que el método que utiliza para el trabajo de la fórmula — un diagrama de delimitar una esfera dentro de un cilindro, junto con la proporción 2:3— ser grabada en su lápida.

La fórmula de Arquímedes puede haber sido un golpe de genio científico en el año 250 a. C., pero con la ayuda del cálculo moderno, la derivación es extremadamente simple. En este post explicaré una forma de derivar la famosa fórmula, y explicaré cómo se puede hacer en dimensiones que no sean las tres habituales.

La Derivación

Considere el siguiente diagrama. Es una esfera con radio r. El objetivo es encontrar el volumen, y así es como lo hacemos.

Observe que una cosa que podemos encontrar fácilmente es el área de un único segmento horizontal de la pelota. Este es el disco sombreado en la parte superior del diagrama, que se dibuja a la altura z. El disco tiene un radio de x, que necesitaremos para encontrar el área del disco. Para encontrar x, podemos formar un triángulo rectángulo con lados z y x, e hipotenusa r. Esto se dibuja en la figura. Entonces podemos resolver fácilmente para x.

Por el teorema de Pitágoras, sabemos que

salto de resolver para x tenemos

Entonces el área de la sombra de un disco es simplemente pi veces el radio al cuadrado, o

Ahora que tenemos el área de un disco horizontal, queremos encontrar el área de todos los discos horizontales dentro de la bola sumados. Eso nos dará el volumen de la esfera.

Para hacer esto, simplemente tomamos la integral definida de la fórmula del área del disco desde arriba para todas las alturas posibles z, que están entre -r (en la parte inferior de la bola) y r (en la parte superior de la bola). Es decir, nuestro volumen está dado por

Que es la fórmula de volumen que estábamos buscando.

Esta misma lógica se puede usar para derivar fórmulas para el volumen de una «bola» en dimensiones 4, 5 y superiores también. Al hacerlo, puede mostrar que el volumen de una bola unitaria en una dimensión (una línea) es de solo 2; el volumen en dos dimensiones (un disco) es

y — como hemos demostrado, el volumen en tres dimensiones (una esfera) es

Continuar para cuatro, cinco, y en última instancia n dimensiones, un resultado sorprendente aparece.

Resulta que el volumen de una bola unidad alcanza su punto máximo en cinco dimensiones, y luego procede a encogerse a partir de entonces, llegando finalmente a cero a medida que la dimensión n llega al infinito.