tässä osiossa kehitämme vaihtoehtoisen lähestymistavan \(V({\bf r})\) laskemiseen, joka vastaa näitä reunaehtoja ja helpottaa siten skalaaripotentiaalikentän analysointia rakenteiden ja alueellisesti vaihtelevien materiaaliominaisuuksien läheisyydessä. Tämä vaihtoehtoinen lähestymistapa perustuu Poissonin yhtälöön, jonka nyt johdamme.

aloitamme Gaussin lain differentiaalimuodolla (kohta 5.7:

\

\

seuraavaksi sovelletaan relaatiota (kohta 5.14):

\ Yield \

tämä on Poissonin yhtälö, mutta se ei ole siinä muodossa, jossa sitä yleisesti käytetään. Vaihtoehtoisen muodon saamiseksi tarkastellaan operaattoria \(\nabla \cdot \nabla\) Karteesisissa koordinaateissa:

\

huomaa, että Poissonin yhtälö on osittaisdifferentiaaliyhtälö, ja siksi se voidaan ratkaista sellaisille yhtälöille jo vakiintuneilla tunnetuilla tekniikoilla. Itse asiassa Poissonin yhtälö on epähomogeeninen differentiaaliyhtälö, jonka epähomogeeninen osa \(- \rho_v / \epsilon\) edustaa kentän lähdettä. Materiaalirakenteen läsnä ollessa tunnistamme olennaiset reunaehdot materiaalien välisillä rajapinnoilla, ja \(V({\bf r})\) löytämisen tehtävä supistuu puhtaasti matemaattiseksi tehtäväksi ratkaista siihen liittyvä raja-arvo-ongelma (katso ”lisäluku” tämän osion lopussa). Tämä lähestymistapa on erityisen tehokas, kun yksi materiaaleista on täydellinen kapellimestari tai voidaan mallintaa sellaiseksi materiaaliksi. Tämä johtuu – kuten tämän jakson alussa todettiin-sähköinen potentiaali kaikissa kohdissa pinnan täydellinen johtimen on oltava yhtä suuri, jolloin erityisen yksinkertainen reunaehto.

monissa muissa sovelluksissa sähkökentästä vastaava varaus on ongelman alueen ulkopuolella; toisin sanoen meillä on ei-nolla sähkökenttä (siis mahdollisesti ei-nolla sähköinen potentiaali) alueella, joka on maksuton. Tällöin Poissonin yhtälö yksinkertaistuu Laplacen yhtälöön:

\