Un système d’équations linéaires peut être résolu en réduisant sa matrice augmentée en forme d’échelon réduit.

Une matrice peut être changée en sa forme d’échelon de ligne réduite, ou une ligne réduite à sa forme d’échelon de ligne réduite en utilisant les opérations de ligne élémentaires. Ce sont:

1. Échangez une ligne de la matrice avec une autre de la matrice.
2. Multipliez une ligne de la matrice par une constante scalaire non nulle.
3. Remplacez une ligne par une ligne plus une constante fois une autre ligne de la matrice.

Par exemple, étant donné le système linéaire suivant avec la matrice augmentée correspondante:

3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 {\displaystyle 3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}=-5}

3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 {\displaystyle 3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}=9}

3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 {\displaystyle 3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}=15}

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&&&&&&&&&&&&&&15\end{bmatrix}}}

To solve ce système, la matrice doit être réduite en forme d’échelon réduit.

Étape 1: Commutez la ligne 1 et la ligne 3. Tous les zéros en tête sont maintenant en dessous des entrées en tête non nulles.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 2: Réglez la ligne 2 sur la ligne 2 plus (-1) fois la ligne 1. En d’autres termes, soustrayez la ligne 1 de la ligne 2. Cela éliminera la première entrée de la ligne 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-5\end{bmatrix}}}

Step 3: Multiply row 2 by 3 and row 3 by 2. This will eliminate the first entry of row 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&-10\end{bmatrix}}}

Étape 4: Définissez la ligne 3 sur la ligne 3 plus (-1) fois la ligne 2. En d’autres termes, soustrayez la ligne 2 de la ligne 3. Cela éliminera la deuxième entrée de la rangée 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&&&&&&&&&&&&&&&8\end{bmatrix}}}

Step 5: Multipliez chaque ligne par l’inverse de sa première valeur non nulle. Cela fera commencer chaque ligne par un 1.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

The matrix is maintenant sous forme d’échelon de ligne: Toutes les lignes non nulles sont au-dessus de toutes les lignes de tous les zéros (il n’y a pas de lignes nulles), chaque entrée principale d’une ligne se trouve dans une colonne à droite de l’entrée principale de la ligne au-dessus et toutes les entrées d’une colonne en dessous d’une entrée principale sont des zéros.

Comme cela peut et sera montré plus loin, à partir de cette forme, on peut observer que le système a une infinité de solutions. Pour obtenir ces solutions, la matrice est encore réduite en forme d’échelon réduit.

Étape 6: Définissez la ligne 2 sur la ligne 2 plus (-1) fois la ligne 3 et la ligne 1 sur la ligne 1 plus (-2) fois la ligne 3. Cela éliminera les entrées au-dessus de l’entrée principale de la ligne 3.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

Step 7: Réglez la ligne 1 sur la ligne 1 plus 3 fois la ligne 2. Ceci élimine l’entrée au-dessus de l’entrée principale de la rangée 2.
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&&&&&&&&&&&&&&&4\end{bmatrix}}}

This is a forme d’échelon réduit, puisque l’entrée principale de chaque ligne non nulle est 1 et chaque entrée principale 1 est la seule entrée non nulle de sa colonne.

À partir de cela, la solution du système peut être lue:
x 1 − 2 x 3 + 3 x 4 = − 24 {\displaystyle x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24}

x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = − 7 {\displaystyle x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7}

x 5 = 4 {\displaystyle x_{5}=4}

Those equations can be solved for x 1 {\displaystyle x_{1}}

, x 2 {\displaystyle x_{2}}

and x 5 {\displaystyle x_{5}}