Le sujet de l’analyse réelle concerne l’étude du comportement et des propriétés des fonctions, des séquences et des ensembles sur la ligne des nombres réels, que nous désignons comme le R mathématiquement familier. Les concepts que nous souhaitons examiner par l’analyse réelle incluent des propriétés telles que les Limites, la Continuité, les Dérivées (taux de changement) et l’Intégration (quantité de changement dans le temps). Beaucoup de ces idées sont, au niveau conceptuel ou pratique, traitées à des niveaux inférieurs de mathématiques, y compris un cours régulier de calcul de première année, et donc, pour le lecteur non initié, le sujet de l’analyse réelle peut sembler plutôt insensé et trivial. Cependant, l’Analyse réelle est à une profondeur, à une complexité, et sans doute à une beauté, c’est parce que sous la surface des mathématiques quotidiennes, il y a une assurance de justesse, que nous appelons la rigueur, qui imprègne l’ensemble des mathématiques. Ainsi, une analyse réelle peut, dans une certaine mesure, être considérée comme un développement d’un cadre rigoureux et éprouvé pour soutenir les idées intuitives que nous tenons souvent pour acquises.

L’analyse réelle est un sujet très simple, en ce sens qu’il s’agit simplement d’un développement presque linéaire des idées mathématiques que vous avez rencontrées tout au long de votre histoire des mathématiques. Cependant, au lieu de nous appuyer sur une intuition parfois incertaine (que nous avons tous ressentie lorsque nous résolvions un problème que nous ne comprenions pas), nous l’ancrerons dans un ensemble rigoureux de théorèmes mathématiques. Tout au long de ce livre, nous commencerons à voir que nous n’avons pas besoin d’intuition pour comprendre les mathématiques – nous avons besoin d’un manuel.

La thèse globale de ce livre est de savoir comment définir axiomatiquement les nombres réels. Comment ça fonctionnerait ? Ce livre se lira de cette manière: nous fixons les propriétés qui, selon nous, définissent les nombres réels. Nous prouvons ensuite à partir de ces propriétés – et de ces propriétés uniquement – que les nombres réels se comportent de la manière dont nous les avons toujours imaginés. Nous retravaillerons ensuite tous nos théorèmes et faits élémentaires que nous avons collectés au cours de nos vies mathématiques pour que tout se rassemble, presque comme si cela avait toujours été vrai avant de l’analyser; que c’était en fait rigoureux tout au long – sauf que maintenant nous saurons comment cela s’est produit.

Ne croyez pas qu’une fois que vous avez terminé ce livre, les mathématiques sont terminées. Dans d’autres domaines de l’étude académique, il y a des aperçus d’un royaume étrange des mathématiques de plus en plus mis au premier plan de la pensée standard. Après avoir compris ce livre, les mathématiques sembleront maintenant incomplètes et manquantes de concepts que vous vous êtes peut-être déjà demandés. Dans ce livre, nous donnerons un aperçu de quelque chose de plus pour les mathématiques que les nombres réels et l’analyse réelle. Après tout, les mathématiques dont nous parlons ici semblent toujours n’impliquer qu’une seule variable dans une mer de nombres, d’opérations et de comparaisons.

Remarque: Un tableau des symboles mathématiques utilisés ci-dessous et de leurs définitions est disponible en annexe.

• Avant-propos
• Ancienne introduction
• Manuel de style – Comment lire ce wikibook

Une liste de chapitres sélectionnés provenant d’autres livres est listée ci-dessous. Ils devraient vous aider à développer votre rigueur mathématique qui est un mode de pensée nécessaire dont vous aurez besoin dans ce livre ainsi que dans les mathématiques supérieures.

• La notation de la théorie des ensembles et les preuves mathématiques, du livre Mathematical Proof
• L’expérience de travailler avec des concepts de calcul, du livre Calcul