Si nous étirons un élastique autour de la surface d’une pomme, nous pouvons le rétrécir en un point en le déplaçant lentement, sans le déchirer et sans lui permettre de quitter la surface. D’un autre côté, si nous imaginons que le même élastique a été étiré dans la direction appropriée autour d’un beignet, il n’y a aucun moyen de le rétrécir jusqu’à un point sans casser ni l’élastique ni le beignet. Nous disons que la surface de la pomme est « simplement connectée », mais que la surface du beignet ne l’est pas. Poincaré, il y a près de cent ans, savait qu’une sphère bidimensionnelle est essentiellement caractérisée par cette propriété de connectivité simple, et a posé la question correspondante pour la sphère tridimensionnelle.

Cette question s’est avérée extraordinairement difficile. Près d’un siècle s’est écoulé entre sa formulation en 1904 par Henri Poincaré et sa solution par Grigoriy Perelman, annoncée dans les préimpressions postées le ArXiv.org en 2002 et 2003. La solution de Perelman était basée sur la théorie du flux de Ricci de Richard Hamilton et utilisait des résultats sur des espaces de métriques dus à Cheeger, Gromov et Perelman lui-même. Dans ces articles, Perelman a également prouvé la conjecture de géométrisation de William Thurston, dont un cas particulier est la conjecture de Poincaré. Voir le communiqué de presse du 18 mars 2010.

Crédit d’image: http://www.geom.uiuc.edu/graphics/pix/Special_Topics/Hyperbolic_Geometry/