Biographie

Les parents de Paul Cohen, Abraham et Minnie Cohen, étaient des immigrants juifs aux États-Unis depuis leur pays natal, la Pologne. Abraham Cohen était fondamentalement un homme de travail étrange, se tournant vers une variété d’emplois différents, tandis que sa femme apportait à la famille de l’argent dont elle avait tant besoin pour la couture. Paul était le plus jeune des quatre enfants de ses parents et il a grandi à Brooklyn, New York. Il a été élevé par sa mère dès l’âge de neuf ans car à cette époque ses parents se sont séparés. Intéressé par les mathématiques dès l’enfance, il a commencé à étudier les mathématiques avancées dès son plus jeune âge. Il: –

… il n’avait que neuf ans lorsque sa sœur Sylvia a consulté pour lui un livre sur le calcul dans une bibliothèque de New York. Les bibliothécaires étaient réticents à lui laisser le livre, encore moins pour son frère cadet, arguant que même certains professeurs d’université ne comprenaient pas le calcul.

Tout au long de son adolescence, il était considéré comme un prodige des mathématiques, étonnant tout autour de lui avec les capacités qu’il affichait dans les compétitions de mathématiques. Il a fréquenté la Stuyvesant High School à New York et a obtenu son diplôme en 1950 à l’âge de seize ans. Cette école, réputée pour les mathématiques et les sciences, n’acceptait que les meilleurs élèves après avoir passé un examen d’entrée. Après avoir obtenu son diplôme de la Stuyvesant High School, Cohen a été étudiant au Brooklyn College de 1950 à 1953, mais est parti sans diplôme après avoir été admis aux études supérieures à l’Université de Chicago après avoir fait une visite pour discuter de ses options de recherche à Chicago. Il a étudié pour sa maîtrise à Chicago, prenant des cours pour s’adapter à son objectif de l’époque qui était d’entreprendre des recherches en théorie des nombres. Sa connaissance de la théorie des nombres avant d’arriver à Chicago provenait d’un certain nombre de textes classiques qu’il avait lus seul au collège. Pour s’adapter à cet objectif, il a commencé à travailler sur la théorie des nombres sous la direction d’André Weil. Il a obtenu sa maîtrise en 1954 mais il est devenu plus intéressé par le fait que certains résultats en théorie des nombres étaient indécidables que dans la théorie des nombres elle-même, la théorie des nombres est cependant restée un sujet d’intérêt pour lui tout au long de sa carrière: –

Il a pris l’habitude de demander aux professeurs et aux camarades de classe quels étaient les problèmes les plus importants dans leurs domaines car ce sont les seuls problèmes qu’il voulait résoudre.

Continuant à étudier à Chicago pour son doctorat sous la supervision d’Antoni Zygmund, il a reçu son doctorat en 1958 pour ses sujets de thèse de doctorat sur la Théorie de l’Unicité des Séries Trigonométriques. Dans cette thèse, Cohen déclare qu’il: –

… souhaite exprimer sa plus profonde gratitude au professeur A Zygmund pour son aide et ses encouragements constants lors de la préparation de cette thèse.

Il commence l’Introduction en mettant en contexte le sujet de la thèse :-

La théorie de l’unicité des séries trigonométriques peut être considérée comme une contradiction de la question de savoir dans quel sens la série de Fourier d’une fonction peut être considérée comme l’expansion légitime de la fonction dans une série trigonométrique infinie. On sait, bien sûr, que si la série converge de manière liée à la fonction, alors en effet les coefficients de la série doivent être donnés par les formules d’Euler-Fourier. Cependant, en l’absence d’une telle condition, on peut se demander si deux séries trigonométriques peuvent converger partout vers la même fonction. La réponse à cette question est négative et a été essentiellement prouvée par Riemann, la preuve étant complétée par Cantor. C’est avec le remplacement de la condition de convergence partout par celle de convergence presque partout, que la théorie des ensembles d’unicité est concernée.

Les années d’étudiant en recherche ont été bonnes pour Cohen et il a noué de nombreuses amitiés avec d’autres étudiants, des amitiés qui dureront toute sa vie. John Thompson était l’un de ces étudiants de recherche à Chicago. Cohen, à travers ces amitiés, avait également commencé à s’intéresser à la logique: –

En tant qu’étudiant diplômé, les liens de Cohen avec la logique étaient ses amitiés avec un groupe animé d’étudiants devenus logiciens; Michael Morley, Anil Nerode, Bill Howard, Ray Smullyan et Stanley Tennenbaum. Pendant un certain temps, il a vécu dans la maison de Tennenbaum et a absorbé la logique par osmose, car il n’y avait pas de cours de logique au département de mathématiques de Chicago.

En 1957, avant l’attribution de son doctorat, Cohen a été nommé Instructeur en mathématiques à l’Université de Rochester pendant un an. Il a ensuite passé l’année académique 1958-59 au Massachusetts Institute of Technology avant de passer de 1959 à 1961 en tant que fellow à l’Institute for Advanced Study de Princeton. Ce sont des années au cours desquelles Cohen a fait un certain nombre de percées mathématiques importantes. Dans Factorisation in group algebras (1959), il a montré que toute fonction intégrable sur un groupe localement compact est la convolution de deux de ces fonctions, résolvant un problème posé par Walter Rudin. Dans On a conjecture of Littlewood and idempotent measures (1960), Cohen a fait une percée significative dans la résolution de la conjecture de Littlewood. Il avait déjà écrit à Harold Davenport pour lui parler de ce résultat et Davenport a répondu: –

… à Paul en disant que si la preuve de Paul tenait la route, il aurait amélioré une génération d’analystes britanniques qui avaient travaillé dur sur ce problème. La preuve de Paul a tenu le coup; en fait, Davenport a été le premier à améliorer le résultat de Paul.

En 1961, Cohen a été nommé professeur adjoint de mathématiques à la faculté de l’Université de Stanford. Il a été promu professeur agrégé de mathématiques l’année suivante et, également en 1962, a reçu une bourse de recherche Alfred P Sloan. En août 1962, Cohen participe au Congrès International des Mathématiciens à Stockholm. Il était un conférencier invité donnant l’adresse Mesures idempotentes et homomorphismes des algèbres de groupe. Lors d’une croisière de Stockholm à Leningrad, après le Congrès, Cohen a rencontré Christina Karls de Malung, en Suède. Ils se sont mariés le 10 octobre 1963 et ont eu trois fils, les jumeaux Eric et Steven, et Charles.
Il a été promu professeur titulaire à l’Université de Stanford en 1964 après avoir, à cette époque, résolu l’un des problèmes ouverts les plus difficiles en mathématiques. Cohen a utilisé une technique appelée « forçage » pour prouver l’indépendance en théorie des ensembles de l’axiome du choix et de l’hypothèse du continu généralisé. Angus MacIntyre écrit :-

Un aspect dramatique du travail sur l’hypothèse du continuum est que Cohen était un étranger autodidacte en logique. Ses travaux sur la théorie des ensembles et les champs p-adiques ont un style très caractéristique, combinatoire et plutôt exempt de théorie générale.

Dans Cohen explique comment il est venu à l’idée de forcer de la lecture de la Cohérence de l’hypothèse du Continuum de Kurt Gödel, un livre composé de notes d’un cours donné à l’Institute for Advanced Study en 1938-39. Le problème de l’hypothèse du continu a été le premier des 23 problèmes célèbres de David Hilbert livrés au Deuxième Congrès international des Mathématiciens à Paris en 1900. Le célèbre discours de Hilbert Les Problèmes des mathématiques a mis au défi (et aujourd’hui encore au défi) les mathématiciens de résoudre ces questions fondamentales et Cohen a la particularité de résoudre le problème 1.
Il avait commencé à travailler sur l’indépendance de l’hypothèse du continu vers la fin de 1962. En avril 1963, il sentait que les choses se mettaient en place :-

Il y a certains moments dans toute découverte mathématique où la résolution d’un problème a lieu à un niveau subconscient tel que, rétrospectivement, il semble impossible de le disséquer et d’expliquer son origine. Au contraire, l’idée entière se présente à la fois, souvent peut-être sous une forme vague, mais devient progressivement plus précise.

Après avoir lu la preuve de Cohen qu’il a envoyée dans une lettre du 9 mai 1963, Kurt Gödel lui a répondu:-

Permettez-moi de répéter que c’est vraiment un plaisir de lire votre preuve de l’indépendance de l’hypothèse du continuum. Je pense qu’à tous les égards essentiels, vous avez donné la meilleure preuve possible et cela n’arrive pas souvent. La lecture de votre preuve a eu un effet tout aussi agréable sur moi que de voir une très bonne pièce.

Cohen a parlé de ses travaux sur l’indépendance de l’axiome du choix et l’hypothèse du continu par rapport aux axiomes de la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel dans une conférence Independence results in set theory donnée au symposium international sur la ‘Theory of Models’ à Berkeley le 4 juillet 1963. Sa preuve est apparue dans les deux articles The independence of the continuum hypothesis (1963) et The independence of the continuum hypothesis. II (1964). Andrzej Mostowski, examinant le premier d’entre eux, écrit:-

Ces résultats présentent les solutions tant attendues des problèmes ouverts les plus remarquables de la théorie axiomatique des ensembles et devraient être considérés comme l’avancée la plus importante dans l’étude de la théorie axiomatique des ensembles depuis la publication de la monographie de Gödel en 1940 « The consistency of the continuum hypothesis » (1940). … pour ce critique, il semble plus que probable que l’influence de la découverte de Cohen sera au moins aussi profonde dans la métamathématique que dans la philosophie générale des mathématiques (et peut-être pas seulement des mathématiques).

Angus MacIntyre, étudiant diplômé à Stanford de 1964 à 1967, écrit : –

Il m’a inspiré quand j’étais jeune mathématicien. Je ne l’ai jamais entendu donner des conférences sur la théorie des ensembles, mais plutôt sur la géométrie algébrique et les champs p-adiques. Il avait un style très spécial, plein d’enthousiasme et très  » mains sur. »Il a utilisé le moins de théorie générale possible et a toujours transmis le sentiment qu’il allait au cœur des choses. Ses techniques, même dans quelque chose d’aussi abstrait que la théorie des ensembles, étaient très constructives. Il était d’une intelligence redoutable, et il aurait fallu être naïf ou exceptionnellement altruiste pour poser son « problème le plus difficile » au Paul que j’ai connu dans les années 60.

Voir un article de Paul Cohen sur les mathématiques et l’enseignement à CE LIEN
En 1966, Cohen a publié la monographie Théorie des ensembles et hypothèse du continuum basée sur un cours qu’il a donné à Harvard au printemps 1965. Azriel Lévy (qui a entendu les résultats de Cohen pour la première fois à la conférence de Berkeley sur la théorie des modèles) écrit:-

Cette monographie est principalement une exposition des résultats célèbres de l’auteur, à savoir l’indépendance de l’hypothèse du continu et l’axiome du choix. En outre, il présente également les principaux résultats classiques en logique et en théorie des ensembles. … Ce livre présente une approche nouvelle et intuitive et donne un aperçu du processus mental qui a conduit l’auteur à ses découvertes. Le lecteur trouvera dans ce livre juste la bonne quantité de remarques philosophiques pour une monographie mathématique.

La même année, Cohen a reçu une médaille Fields pour ses travaux fondamentaux sur les fondements de la théorie des ensembles. Il lui a été présenté par Mstislav Vsevolodovich Keldysh, Président de l’Académie des sciences de l’URSS, au Congrès International des Mathématiciens de 1966 à Moscou. Un seul médaillé Fields (Lars Ahlfors) a reçu la Médaille Fields à un plus jeune âge. Alonzo Church a prononcé un discours au Congrès sur Paul J Cohen et le problème du continuum décrivant les réalisations remarquables de Cohen. La Médaille Fields, cependant, n’était pas la première récompense que Cohen recevait. En 1964, il a reçu le Prix commémoratif Bôcher de l’American Mathematical Society: –

…pour son article, On a conjecture of Littlewood and idempotent measures, American Journal of Mathematics 82 (1960), 191-212.

Trois ans plus tard, en 1967, Cohen a reçu la Médaille nationale des Sciences: –

Pour les résultats d’époque en logique mathématique qui ont animé et élargi les recherches dans la fondation des mathématiques.

Il reçoit le prix des mains du président Lyndon B Johnson lors d’une cérémonie à la Maison Blanche le 13 février 1968. Il a également été élu à l’Académie nationale des Sciences, à l’Académie américaine des Arts et des sciences et membre étranger honoraire de la London Mathematical Society.
En plus de ses travaux sur la théorie des ensembles, Cohen a travaillé sur l’équation différentielle et l’analyse harmonique. Dawn Levy rapporte dans les commentaires faits sur Cohen par Peter Sarnak (professeur de mathématiques à Princeton et ancien doctorant de Cohen avec la thèse Prime Geodesic Theorems (1980)): –

Paul Cohen était l’un des mathématiciens les plus brillants du 20ème siècle. Comme beaucoup de grands mathématiciens, ses intérêts et contributions mathématiques étaient très larges, allant de l’analyse mathématique et des équations différentielles à la logique mathématique et à la théorie des nombres. Cette ampleur a été soulignée lors d’une conférence tenue à Stanford en septembre dernier célébrant le travail de Cohen et son 72e anniversaire. Le rassemblement était composé d’experts de premier plan dans différents domaines qui, normalement, ne se retrouvaient pas à écouter le même ensemble de conférences. … Cohen était un conférencier et un enseignant dynamique et enthousiaste. Il a rendu les mathématiques simples et unifiées. Il était toujours désireux de partager ses nombreuses idées et idées dans divers domaines. Sa passion pour les mathématiques n’a jamais faibli.

Macintyre écrit sur les articles importants que Cohen a produits après ses résultats exceptionnels sur l’hypothèse du continuum: –

En 1969, Cohen a publié un article très original sur la décomposition des cellules p-adiques, donnant une version constructive des célèbres résultats d’Ax-Kochen-Ersov. Il est maintenant fondamental pour l’analyse logique de l’intégration motivique. À partir de 1969, Cohen se consacre à certains des problèmes les plus difficiles et les plus inflexibles, tels que l’hypothèse de Riemann. C’était un mathématicien passionné et inspirant.

Kathy Owen, qui a passé du temps à Stanford dans les années 1970, a écrit à propos de Cohen à cette époque: –

Paul était un homme étonnant. Impatient, agité, compétitif, provocateur et brillant. Il était un habitué de l’heure du café pour les étudiants diplômés et la faculté. Il aimait le débat et l’argumentation sur n’importe quel sujet et était implacable s’il trouvait une faiblesse logique dans un point de vue opposé. Il n’y avait tout simplement nulle part où se cacher! Il se distinguait par son intelligence acérée, sa fascination pour les grandes questions, son étrange intérêt pour la « hauteur parfaite » (il apportait un diapason à l’heure du café et testait tout le monde) et sa légère irritation envers les rares personnes qui ont une hauteur parfaite. C’était un homme remarquable, un ami cher qui a eu un grand impact sur ma vie, une lumière avec tout le spectre des couleurs.

Cohen a été nommée Professeur Marjorie Mhoon Fair en Sciences quantitatives à Stanford en 1972, étant la première titulaire de cette chaire. Il a officiellement pris sa retraite en 2004, mais a continué à enseigner à Stanford jusqu’à peu de temps avant sa mort. Il est décédé d’une maladie pulmonaire rare à l’hôpital Stanford de Palo Alto.
Quant aux intérêts de Cohen en dehors des mathématiques, il jouait du piano et du violon, chantait dans un chœur de Stanford et était membre d’un groupe folklorique suédois. C’était un linguiste accompli parlant le Suédois, le Français, l’Espagnol, l’allemand et le Yiddish. Lui et sa femme organisaient de fréquents dîners pour des étudiants, des collègues et des amis. Il aimait faire visiter San Francisco et ses environs aux visiteurs.
Terminons cette biographie en citant les réminiscences de Cohen sur son travail sur l’hypothèse du continuum : –

… il est un peu curieux que, dans un certain sens, l’hypothèse du continu et l’axiome du choix ne soient pas des problèmes vraiment difficiles – ils n’impliquent pas de complexité technique; néanmoins, à l’époque, ils étaient considérés comme difficiles. On pourrait dire de manière humoristique que l’attitude envers ma preuve était la suivante. Quand il a été présenté pour la première fois, certaines personnes ont pensé que c’était faux. Ensuite, on pensait que c’était extrêmement compliqué. Ensuite, on pensait que c’était facile. Mais bien sûr, c’est facile dans le sens où il y a une idée philosophique claire. Il y avait des points techniques, vous savez, qui me dérangeaient, mais au fond, ce n’était pas vraiment un problème combinatoire extrêmement complexe; c’était une idée philosophique.