Biographie

Les parents de Giuseppe Peano travaillaient dans une ferme et Giuseppe est né dans la ferme « Tetto Galant » à environ 5 km de Cuneo. Il a fréquenté l’école du village de Spinetta puis il est monté à l’école de Cuneo, faisant le trajet de 5 km et retour à pied tous les jours. Ses parents ont acheté une maison à Cuneo mais son père a continué à travailler les champs à Tetto Galant avec l’aide d’un frère et d’une sœur de Giuseppe, tandis que sa mère est restée à Cuneo avec Giuseppe et son frère aîné.
La mère de Giuseppe avait un frère prêtre et avocat à Turin et, lorsqu’il se rendit compte que Giuseppe était un enfant très talentueux, il l’emmena à Turin en 1870 pour ses études secondaires et pour le préparer aux études universitaires. Giuseppe a passé des examens au Ginnasio Cavour en 1873, puis a été élève au Liceo Cavour d’où il a obtenu son diplôme en 1876 et, cette année-là, il est entré à l’Université de Turin.
Parmi les professeurs de Peano dans sa première année à l’Université de Turin était D’Ovidio qui lui a enseigné la géométrie analytique et l’algèbre. Dans sa deuxième année, il a appris le calcul par Angelo Genocchi et la géométrie descriptive par Giuseppe Bruno. Peano a continué à étudier les mathématiques pures dans sa troisième année et a constaté qu’il était le seul étudiant à le faire. Les autres avaient poursuivi leurs études à l’École d’ingénieurs que Peano lui-même avait initialement prévu de faire. Dans sa troisième année, Francesco Faà di Bruno lui a enseigné l’analyse et D’Ovidio a enseigné la géométrie. Parmi ses professeurs dans sa dernière année, il y avait encore D’Ovidio avec un cours de géométrie supplémentaire et Francesco Siacci avec un cours de mécanique. Le 29 septembre 1880, Peano obtient son diplôme de docteur en mathématiques.
Peano a rejoint le personnel de l’Université de Turin en 1880, étant nommé assistant de D’Ovidio. Il a publié son premier article mathématique en 1880 et trois autres articles l’année suivante. Peano a été nommé assistant de Genocchi pour 1881-82 et c’est en 1882 que Peano a fait une découverte qui serait typique de son style pendant de nombreuses années, il a découvert une erreur dans une définition standard.
Genocchi était à cette époque assez âgé et en relativement mauvaise santé et Peano a repris une partie de son enseignement. Peano était sur le point d’enseigner aux étudiants l’aire d’une surface incurvée lorsqu’il s’est rendu compte que la définition du livre de Serret, qui était le texte standard du cours, était incorrecte. Peano a immédiatement informé Genocchi de sa découverte pour qu’on lui dise que Genocchi savait déjà. Genocchi avait été informé l’année précédente par Schwarz qui semble avoir été le premier à trouver l’erreur de Serret.

En 1884 a été publié un texte basé sur les conférences de Genocchi à Turin. Ce cours de calcul Infinitésimal, bien que basé sur les conférences de Genocchi, a été édité par Peano et en effet, il contient beaucoup d’écrits de Peano lui-même. Le livre lui-même indique sur la page de titre qu’il est: –

… publié avec des ajouts par le Dr Giuseppe Peano.

Genocchi semblait quelque peu malheureux que le travail soit sorti sous son nom car il a écrit: –

… le volume contient des ajouts importants, quelques modifications et diverses annotations, qui sont placées en premier. Pour que rien ne me soit attribué qui ne soit pas le mien, je dois déclarer que je n’ai pas participé à la compilation du livre susmentionné et que tout est dû à ce jeune homme exceptionnel, le Dr Giuseppe Peano…

Peano a reçu sa qualification de professeur d’université en décembre 1884 et il a continué à donner d’autres cours, certains pour Genocchi dont la santé ne s’était pas suffisamment rétablie pour lui permettre de retourner à l’Université.
En 1886, Peano a prouvé que si f(x, y)f(x, y)f(x,y) est continue alors l’équation différentielle du premier ordre dydx =f(x,y)\large\frac{dy}{dx}\normalsize =f(x,y) dxdy =f(x,y) a une solution. L’existence de solutions avec une hypothèse plus forte sur fff avait été donnée plus tôt par Cauchy puis Lipschitz. Quatre ans plus tard, Peano a montré que les solutions n’étaient pas uniques, en donnant comme exemple l’équation différentielle dydx = 3y2/3\large\frac{dy}{dx}\normalsize =3y^{2/3} dxdy = 3y2/3, avec y(0) = 0y(0) = 0y(0) = 0.
En plus de son enseignement à l’Université de Turin, Peano a commencé à donner des conférences à l’Académie militaire de Turin en 1886. L’année suivante, il découvre et publie une méthode pour résoudre des systèmes d’équations différentielles linéaires à l’aide d’approximations successives. Cependant Émile Picard avait découvert indépendamment cette méthode et avait crédité Schwarz d’avoir découvert la méthode en premier. En 1888, Peano a publié le livre Geometrical Calculus qui commence par un chapitre sur la logique mathématique. C’était son premier travail sur le sujet qui allait jouer un rôle majeur dans ses recherches au cours des prochaines années et il était basé sur les travaux de Schröder, Boole et Charles Peirce. Une caractéristique plus significative du livre est que Peano y expose avec une grande clarté les idées de Grassmann qui ont certainement été exposées de manière assez obscure par Grassmann lui-même. Ce livre contient la première définition d’un espace vectoriel donnée avec une notation et un style remarquablement modernes et, bien qu’elle n’ait pas été appréciée par beaucoup à l’époque, c’est sûrement une réalisation tout à fait remarquable de Peano.

En 1889, Peano publia ses fameux axiomes, appelés axiomes de Peano, qui définissaient les nombres naturels en termes d’ensembles. Ceux-ci ont été publiés dans une brochure Arithmetices principia, nova methodo exposita which qui, selon étaient: –

… à la fois un point de repère dans l’histoire de la logique mathématique et des fondements des mathématiques.

La brochure a été écrite en latin et personne n’a pu en donner une bonne raison, à part: –

… cela semble être un acte de romantisme pur, peut-être l’acte romantique unique dans sa carrière scientifique.

Les axiomes de Peano sont listés sur CE LIEN.
Genocchi mourut en 1889 et Peano s’attendait à être nommé pour occuper sa chaire. Il a écrit à Casorati, qu’il croyait faire partie du comité de nomination, pour information seulement pour découvrir qu’il y avait un retard dû à la difficulté de trouver suffisamment de membres pour agir au comité. Casorati avait été approché mais son état de santé n’était pas à la hauteur. Avant que le rendez-vous puisse être pris, Peano a publié un autre résultat étonnant.
Il a inventé les courbes de remplissage d’espace en 1890, ce sont des mappages surjectifs continus à partir du carré unitaire. Hilbert, en 1891, a décrit des courbes de remplissage d’espace similaires. On avait pensé que de telles courbes ne pouvaient pas exister. Cantor avait montré qu’il y avait une bijection entre l’intervalle et le carré unitaire mais, peu après, Netto avait prouvé qu’une telle bijection ne pouvait pas être continue.
Vous pouvez voir quelques étapes dans la construction de cette courbe sur CE LIEN.
Les courbes continues de remplissage d’espace de Peano ne peuvent pas être 1-1 bien sûr, sinon le théorème de Netto serait contredit. Hausdorff a écrit à propos du résultat de Peano dans Grundzüge der Mengenlehre Ⓣ en 1914: –

C’est l’un des faits les plus remarquables de la théorie des ensembles.

En décembre 1890, l’attente de Peano pour être nommé à la présidence de Genocchi était terminée lorsque, après le concours habituel, Peano se vit offrir le poste. En 1891, Peano fonde Rivista di matematica, une revue consacrée principalement à la logique et aux fondements des mathématiques. Le premier article de la première partie est un article de dix pages de Peano résumant son travail sur la logique mathématique jusqu’à cette époque.
Peano avait une grande habileté à voir que les théorèmes étaient incorrects en repérant les exceptions. D’autres n’étaient pas si heureux que ces erreurs soient signalées et l’un d’eux était son collègue Corrado Segre. Lorsque Corrado Segre a soumis un article à Rivista di matematica, Peano a souligné que certains des théorèmes de l’article avaient des exceptions. Segre n’était pas prêt à simplement corriger les théorèmes en ajoutant des conditions qui excluaient les exceptions, mais a défendu son travail en disant que le moment de la découverte était plus important qu’une formulation rigoureuse. Bien sûr, c’était tellement contre l’approche rigoureuse de Peano en mathématiques qu’il a fortement argumenté: –

Je crois qu’il est nouveau dans l’histoire des mathématiques que les auteurs utilisent sciemment dans leurs propositions de recherche pour lesquelles des exceptions sont connues, ou pour lesquelles ils n’ont aucune preuve…

Ce n’est pas seulement Corrado Segre qui a souffert de la capacité exceptionnelle de Peano à repérer le manque de rigueur. Bien sûr, c’est la précision de sa pensée, en utilisant l’exactitude de sa logique mathématique, qui a donné à Peano cette clarté de pensée. Peano a signalé une erreur dans une preuve de Hermann Laurent en 1892 et, la même année, a revu un livre de Véronèse terminant la revue par le commentaire: –

Nous pourrions continuer à énumérer longuement les absurdités que l’auteur a entassées. Mais ces erreurs, le manque de précision et de rigueur tout au long du livre lui ôtent toute valeur.

Vers 1892, Peano se lança dans un nouveau projet extrêmement ambitieux, à savoir le Formulario Mathematico. Il a expliqué dans la partie de mars 1892 de Rivista di matematica sa pensée: –

La plus grande utilité serait la publication de recueils de tous les théorèmes maintenant connus qui se réfèrent à des branches données des sciences mathématiques… Une telle collection, qui serait longue et difficile dans le langage ordinaire, est nettement facilitée en utilisant la notation de la logique mathématique…

À bien des égards, cette grande idée marque la fin de l’extraordinaire travail créatif de Peano. C’était un projet qui a été accueilli avec enthousiasme par quelques-uns et avec peu d’intérêt par la plupart. Peano a commencé à essayer de convertir tous ceux qui l’entouraient à croire en l’importance de ce projet et cela a eu pour effet de les ennuyer. Cependant, Peano et ses proches collaborateurs, y compris ses assistants, Vailati, Burali-Forti, Pieri et Fano, s’impliquèrent rapidement dans le travail.
En décrivant une nouvelle édition du Formulario Mathematico en 1896, Peano écrit: –

Chaque professeur pourra adopter ce Formulario comme un manuel, car il devrait contenir tous les théorèmes et toutes les méthodes. Son enseignement se réduira à montrer comment lire les formules, et à indiquer aux étudiants les théorèmes qu’il souhaite expliquer dans son cours.

Lorsque le volume de calcul du Formulario a été publié, Peano, comme il l’avait indiqué, a commencé à l’utiliser pour son enseignement. C’était le désastre auquel on pouvait s’attendre. Peano, qui était un bon professeur lorsqu’il a commencé sa carrière de conférencier, est devenu inacceptable pour ses étudiants et ses collègues par le style de son enseignement. Un de ses élèves, qui était en fait un grand admirateur de Peano, a écrit: –

Mais nous, étudiants, savions que cette instruction était au-dessus de nos têtes. Nous avons compris qu’une analyse aussi subtile des concepts, une critique aussi infime des définitions utilisées par d’autres auteurs, n’était pas adaptée aux débutants, et surtout n’était pas utile aux étudiants en ingénierie. Nous n’aimions pas avoir à donner du temps et des efforts aux « symboles » que nous pourrions ne jamais utiliser dans les années suivantes.

L’Académie militaire a mis fin à son contrat pour y enseigner en 1901 et bien que beaucoup de ses collègues de l’université auraient également aimé y arrêter son enseignement, rien n’était possible sous la manière dont l’université a été créée. Le professeur était un droit pour lui-même dans sa propre matière et Peano n’était pas prêt à écouter ses collègues lorsqu’ils essayaient de l’encourager à revenir à son ancien style d’enseignement. Le projet Formulario Mathematico a été achevé en 1908 et il faut admirer ce que Peano a réalisé, mais bien que le travail contienne une mine d’informations, il a été peu utilisé.
Cependant, le plus grand triomphe de Peano est peut-être survenu en 1900. Cette année-là, deux congrès ont eu lieu à Paris. Le premier a été le Congrès International de Philosophie qui s’est ouvert à Paris le 1er août. Ce fut un triomphe pour Peano et Russell, qui a assisté au Congrès, a écrit dans son autobiographie: –

Le Congrès a été le tournant de ma vie intellectuelle, car j’y ai rencontré Peano. Je le connaissais déjà par son nom et j’avais vu certaines de ses œuvres, mais je n’avais pas pris la peine de maîtriser sa notation. Lors des discussions au Congrès, j’ai observé qu’il était toujours plus précis que quiconque, et qu’il prenait invariablement le dessus sur tous les arguments sur lesquels il se lançait. Au fil des jours, j’ai décidé que cela devait être dû à sa logique mathématique. … Il est devenu clair pour moi que sa notation offrait un instrument d’analyse logique tel que je le cherchais depuis des années…

Le lendemain de la fin du Congrès de Philosophie, le Deuxième Congrès International des Mathématiciens a commencé. Peano est resté à Paris pour ce Congrès et a écouté l’exposé de Hilbert énonçant dix des 23 problèmes qui figuraient dans son document visant à donner l’ordre du jour pour le siècle suivant. Peano était particulièrement intéressé par le deuxième problème qui demandait si les axiomes de l’arithmétique pouvaient être prouvés cohérents.
Avant même que le projet Formulario Mathematico ne soit achevé, Peano mettait en place le prochain projet majeur de sa vie. En 1903, Peano a exprimé son intérêt pour la recherche d’une langue universelle, ou internationale, et a proposé une langue artificielle « Latino sine flexione » basée sur le latin mais dépouillée de toute grammaire. Il a compilé le vocabulaire en prenant des mots de l’anglais, du français, de l’allemand et du latin. En fait, l’édition finale du Formulario Mathematico a été écrite en Latino sine flexione, ce qui est une autre raison pour laquelle le travail a été si peu utilisé.
La carrière de Peano était donc assez étrangement divisée en deux périodes. La période jusqu’en 1900 est celle où il a fait preuve d’une grande originalité et d’un sens remarquable pour les sujets qui seraient importants dans le développement des mathématiques. Ses réalisations étaient exceptionnelles et il avait un style moderne tout à fait déplacé à son époque. Cependant, ce sentiment pour ce qui était important semblait le quitter et, après 1900, il travailla avec beaucoup d’enthousiasme sur deux projets de grande difficulté qui étaient des entreprises énormes mais qui se révélèrent tout à fait sans importance dans le développement des mathématiques.
De sa personnalité Kennedy écrit dans: –

… Je suis fasciné par sa personnalité douce, sa capacité à attirer des disciples à vie, sa tolérance à la faiblesse humaine, son optimisme éternel. … Peano peut non seulement être classé comme un mathématicien et logicien du 19ème siècle, mais en raison de son originalité et de son influence, doit être jugé comme l’un des grands scientifiques de ce siècle.

Bien que Peano soit l’un des fondateurs de la logique mathématique, le philosophe mathématique allemand Gottlob Frege est aujourd’hui considéré comme le père de la logique mathématique.