Les équations de cette section n’utilisent pas d’axiomes de la mécanique quantique mais utilisent plutôt des relations pour lesquelles il existe une correspondance directe en mécanique classique.

Par exemple : un réseau rigide régulier, cristallin (non amorphe) est composé de N particules. Ces particules peuvent être des atomes ou des molécules. N est un grand nombre, disons de l’ordre de 1023, ou de l’ordre du nombre d’Avogadro pour un échantillon typique d’un solide. Comme le réseau est rigide, les atomes doivent exercer des forces les uns sur les autres pour maintenir chaque atome près de sa position d’équilibre. Ces forces peuvent être des forces de Van der Waals, des liaisons covalentes, des attractions électrostatiques et autres, qui sont toutes dues à la force électrique. Les forces magnétiques et gravitationnelles sont généralement négligeables. Les forces entre chaque paire d’atomes peuvent être caractérisées par une fonction d’énergie potentielle V qui dépend de la distance de séparation des atomes. L’énergie potentielle de l’ensemble du réseau est la somme de toutes les énergies potentielles par paires multipliées par un facteur de 1/2 pour compenser le double comptage:

1 2 2i jj V(r i−r j) {\displaystyle {\frac{1}{2}} \sum_{i\neq j} V\left(r_{i}-r_{j}\right)}

où ri est la position duth atome et V l’énergie potentielle entre deux atomes.

Il est difficile de résoudre ce problème à plusieurs corps explicitement en mécanique classique ou quantique. Afin de simplifier la tâche, deux approximations importantes sont généralement imposées. Premièrement, la somme n’est effectuée que sur les atomes voisins. Bien que les forces électriques dans les solides réels s’étendent à l’infini, cette approximation est toujours valable car les champs produits par les atomes éloignés sont effectivement filtrés. Deuxièmement, les potentiels V sont traités comme des potentiels harmoniques. Ceci est permis tant que les atomes restent proches de leurs positions d’équilibre. Formellement, ceci est accompli en élargissant V autour de sa valeur d’équilibre à l’ordre quadratique, donnant V proportionnel au déplacement x2 et la force élastique simplement proportionnelle à x. L’erreur d’ignorer les termes d’ordre supérieur reste faible si x reste proche de la position d’équilibre.

Le réseau résultant peut être visualisé comme un système de billes reliées par des ressorts. La figure suivante montre un réseau cubique, qui est un bon modèle pour de nombreux types de solides cristallins. D’autres réseaux comprennent une chaîne linéaire, qui est un réseau très simple que nous utiliserons prochainement pour modéliser les phonons. (Pour d’autres réseaux courants, voir structure cristalline.)

L’énergie potentielle du réseau peut maintenant s’écrire

∑{i j}(n n)1 2 n n ω 2 (R i−R j)2. {\displaystyle\sum_{\{ij\}(\mathrm{nn})} {\tfrac{1}{2}} nn\omega^{2}\ gauche (R_{i}- R_{j}\ droite) ^{2}.}

Ici, ω est la fréquence propre des potentiels harmoniques, qui sont supposés être les mêmes puisque le réseau est régulier. Ri est la coordonnée de position du i atome, que nous mesurons maintenant à partir de sa position d’équilibre. La somme sur les voisins les plus proches est notée (nn).

Lattice wavesEdit

Phonon se propageant à travers un réseau carré (déplacements d’atomes grandement exagérés)

En raison des connexions entre atomes, le déplacement d’un ou plusieurs atomes les atomes à partir de leurs positions d’équilibre donnent lieu à un ensemble d’ondes vibratoires se propageant à travers le réseau. Une telle vague est représentée sur la figure de droite. L’amplitude de l’onde est donnée par les déplacements des atomes de leurs positions d’équilibre. La longueur d’onde λ est marquée.

Il existe une longueur d’onde minimale possible, donnée par le double de la séparation d’équilibre a entre les atomes. Toute longueur d’onde inférieure à celle-ci peut être mappée sur une longueur d’onde supérieure à 2a, en raison de la périodicité du réseau. Cela peut être considéré comme une conséquence du théorème d’échantillonnage de Nyquist–Shannon, les points de réseau sont considérés comme les « points d’échantillonnage » d’une onde continue.

Toutes les vibrations possibles du réseau n’ont pas une longueur d’onde et une fréquence bien définies. Cependant, les modes normaux possèdent des longueurs d’onde et des fréquences bien définies.

Treillis unidimensionnel

Animation montrant les 6 premiers modes normaux d’un treillis unidimensionnel : une chaîne linéaire de particules. La longueur d’onde la plus courte est en haut, avec des longueurs d’onde progressivement plus longues en dessous. Dans les lignes les plus basses, on peut voir le mouvement des vagues vers la droite.

Afin de simplifier l’analyse nécessaire pour un réseau d’atomes à 3 dimensions, il est commode de modéliser un réseau ou une chaîne linéaire à 1 dimension. Ce modèle est suffisamment complexe pour afficher les caractéristiques saillantes des phonons.

Traitement classiquedit

Les forces entre les atomes sont supposées linéaires et les plus proches voisins, et elles sont représentées par un ressort élastique. Chaque atome est supposé être une particule ponctuelle et le noyau et les électrons se déplacent par pas (théorème adiabatique):

n − 1 n n +1 ← a →

··· o ++++++++++++++++++ ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++o ++++++++o ···

→ → → → → un − 1 un un +1

où n étiquette le nième atome sur un total de N, a est la distance entre les atomes lorsque la chaîne est en équilibre, et un le déplacement du nième atome de sa position d’équilibre.

Si C est la constante élastique du ressort et m la masse de l’atome, alors l’équation du mouvement du nième atome est

− 2 C u n + C (u n + 1 + u n−1) = m d 2 u n d t 2. {\displaystyle-2Cu_ {n} + C \ gauche (u_{n+1} + u_{n-1}\ droite) = m{\frac{d^{2} u_{n}}{dt^{2}}}.}

Ceci est un ensemble d’équations couplées.

Les solutions étant censées être oscillantes, de nouvelles coordonnées sont définies par une transformée de Fourier discrète, afin de les découpler.

Mettre

u n = ∑ n a k / 2 π = 1 N Q k e i k n a. {\displaystyle u_{n} = \sum_{Nak/2\pi=1}^{N}Q_{k} e^{ikna}.}

Ici, na correspond et se dévoue à la variable continue x de la théorie des champs scalaires. Les Qk sont connus sous le nom de coordonnées normales, modes de champ continu φk.

La substitution dans l’équation du mouvement produit les équations découplées suivantes (ceci nécessite une manipulation significative en utilisant les relations d’orthonormalité et de complétude de la transformée de Fourier discrète,

2 C(cos ⁡ k a−1) Q k = m d 2 Q k d t 2. {\displaystyle 2C(\cos{ka-1}) Q_{k} = m{\frac{d^{2} Q_{k}}{dt^{2}}}.}

Ce sont les équations des oscillateurs harmoniques découplés qui ont la solution Q k = A k e i ω k t; ω k = 2 C m (1−cos ⁡ k a). {\displaystyle Q_{k} = A_{k} e ^{i\omega_{k}t}; \qquad\omega_{k} ={\sqrt{{\frac{2C}{m}}(1-\cos{ka})}}.}

Chaque coordonnée normale Qk représente un mode vibratoire indépendant du réseau avec le nombre d’ondes k, appelé mode normal.

La deuxième équation, pour wk, est connue sous le nom de relation de dispersion entre la fréquence angulaire et le nombre d’ondes.

Dans la limite du continuum, a →0, N→∞, avec Na maintenu fixe, un → φ(x), un champ scalaire et ω(k) ∝k a {\displaystyle\omega(k)\propto ka}

. Cela revient à la théorie classique des champs scalaires libres, un ensemble d’oscillateurs indépendants.

Traitement quantiquemodifier

Une chaîne harmonique mécanique quantique unidimensionnelle est constituée de N atomes identiques. C’est le modèle mécanique quantique le plus simple d’un réseau qui permet à des phonons d’en découler. Le formalisme de ce modèle est facilement généralisable à deux et trois dimensions.

Contrairement à la section précédente, les positions des masses ne sont pas notées par ui, mais plutôt par x1, x2…, telles que mesurées à partir de leurs positions d’équilibre (i.e. xi = 0 si la particule i est à sa position d’équilibre.) En deux dimensions ou plus, les xi sont des grandeurs vectorielles. Le hamiltonien de ce système est

H = ∑ i = 1 N p i 2 2 m + 1 2 m ω 2 { {i j}(n n)(x i−x j) 2 {\displaystyle{\mathcal{H}} = \sum_{i = 1}^{N}{\frac{p_{i}^{2}}{2m}} + {\frac {1}{2}} m\omega ^{2}\sum _ {\{ij\}(\ mathrm {nn})}\left(x_{i}-x_{j}\right) ^{2}}

où m est la masse de chaque atome (en supposant qu’il est égal pour tous), et xi et pi sont les opérateurs de position et de moment, respectivement, pour leth atome et la somme est faite sur les voisins les plus proches (nn). Cependant, on s’attend à ce que dans un réseau, il puisse également apparaître des ondes qui se comportent comme des particules. Il est d’usage de traiter les ondes dans l’espace de Fourier qui utilise les modes normaux du vecteur d’ondes comme variables à la place des coordonnées des particules. Le nombre de modes normaux est le même que le nombre de particules. Cependant, l’espace de Fourier est très utile compte tenu de la périodicité du système.

On peut introduire un ensemble de N « coordonnées normales » Qk, définies comme les transformées de Fourier discrètes du xk et n « momenta conjuguée » Πk définies comme les transformées de Fourier du pk :

Q k = 1 N ∑ l e i k a l x l Π k = 1 N ∑ l e-i k a l p l. {\displaystyle {\begin{aligned} Q_{k}&={\frac{1}{\sqrt{N}}}\sum_{l} e ^{ikal} x_{l}\\\Pi_{k}&={\frac{1}{\sqrt{N}}}\sum_ {l} e ^ {-ikal}p_ {l}.\end {aligned}}}

La quantité kn s’avère être le nombre d’onde du phonon, c’est-à-dire 2π divisé par la longueur d’onde.

Ce choix conserve les relations de commutation souhaitées dans l’espace réel ou dans l’espace des vecteurs d’ondes

= i ℏ δ l, m = 1 N ∑ l, m e i k a l e−i k’a m = i N N l l e i a l(k−k’) = i δ δ k, k ‘ == 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\left & = i\hbar\delta _ { l, m}\\\left &={\frac{1}{N}}\sum_{l, m} e^{ikal} e ^{-ik’am}\ left\\& ={\frac{i\hbar}{N}} \sum_{l} e^{ial\left(k-k’ \right)} = i \hbar\delta_ {k, k’} \\\ left & = \left= 0\end {aligné}}}

dans le résultat général

∑ l x l x l + m = 1 N ∑ k k Q k Q k ‘∑ l e i a l ( k + k ‘ ) e i a m k ‘ = ∑ k Q k Q k e i a m k ∑ l a p l 2 = ∑ k k Π Π − k {\displaystyle {\begin{aligné}\sum _{l}x_{l}x_{l+m}&={\frac {1}{N}}\sum _{kk’}Q_{k}Q_{k’}\sum _{l}e^{ial\left(k+k’\right)}e^{iamk’}=\sum _{k} Q_{k} Q_{-k} e ^{iamk}\\\sum_{l}{p_{l}}^{2} &=\sum_{k}\Pi_{k}\Pi_{-k}\end {aligné}}}

Le terme d’énergie potentielle est

1 2 m ω 2 ∑ j (x j−x j + 1) 2 = 1 2 m ω 2 ∑ k Q k Q−k (2−e i k−e−i q) = 1 2 ∑ k I ω k 2 Q k−Q k {\displaystyle {\tfrac {1} {2}} m\omega ^ {2}\sum _ {j} \ gauche (x_ {j}-x_ {j+ 1} \ droite) ^{2} = {\tfrac {1}{2}} m\omega ^{2} \ somme _{k} Q_{k}Q_{-k} (2-e ^{ika}-e^{-ika}}) = {\tfrac{1}{2}} \ somme _{k}m {\omega_{k}}^{2} Q_{k}Q_{-k}}

où

ω k = 2 ω 2(1−cos ⁡(k a) = 2 ω|sin k k 2|{\displaystyle\omega_{k} = {\sqrt{2\omega^{2}\ left (1-\cos{ka }\droite)}} = 2\omega\gauche |\péché{\frac{ka}{2}} \ droite|}

Le hamiltonien peut être écrit dans l’espace des vecteurs d’ondes comme

H = 1 2 m ∑ k(Π k Π−k + m 2 ω k 2 Q k Q−k) {\displaystyle {\mathcal{H}} = {\frac {1} {2m}} \sum_{k}\left(\Pi_{k}\Pi_{-k} +m ^{2} \omega _{k}^{2} Q_{k} Q_{-k}\right)}

Les couplages entre les variables de position si les Q et Π étaient Hermitiens (ce qu’ils ne sont pas), l’Hamiltonien transformé décrirait n oscillateurs harmoniques découplés.

La forme de la quantification dépend du choix des conditions aux limites ; pour simplifier, des conditions aux limites périodiques sont imposées, définissant le (N+ 1)th atome comme équivalent au premier atome. Physiquement, cela correspond à joindre la chaîne à ses extrémités. La quantification résultante est

k = k n = 2 π n N a pour n = 0 , ± 1 , ± 2 , … ± N 2. {\displaystyle k = k_{n} = {\frac{2\pi n}{Na}}\quad{\mbox{for}} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots\pm{\frac{N}{2}}.\}

La borne supérieure à n provient de la longueur d’onde minimale, qui est le double de l’espacement du réseau a, comme discuté ci-dessus.

Les valeurs propres ou les niveaux d’énergie de l’oscillateur harmonique pour le mode wk sont:

E n = (1 2 + n) ℏ ω k n = 0 , 1 , 2 , 3 … {\ displaystyle E_{n} = \left({\tfrac{1}{2}} + n\right) \hbar\omega_{k}\qquad n = 0,1,2,3\ldots}

Les niveaux sont régulièrement espacés à:

1 2 ω ω, 3 2 ω ω, 5 2 ω ω { {\displaystyle {\tfrac{1} {2}} \hbar\omega, \{\tfrac{3}{2}} \hbar\omega,\{\tfrac{5}{2}} \hbar\omega\\cdots}

où 1/2ħw est l’énergie au point zéro d’un oscillateur harmonique quantique.

Une quantité exacte d’énergie ercw doit être fournie au réseau de l’oscillateur harmonique pour le pousser au niveau d’énergie suivant. Par rapport au cas du photon lorsque le champ électromagnétique est quantifié, le quantum d’énergie vibratoire est appelé phonon.

Tous les systèmes quantiques présentent simultanément des propriétés ondulatoires et particulaires. Les propriétés de type particule du phonon sont mieux comprises à l’aide des méthodes de deuxième quantification et des techniques d’opérateur décrites plus loin.

Treillis tridimensionnel

Ceci peut être généralisé à un treillis tridimensionnel. Le nombre d’onde k est remplacé par un vecteur d’onde tridimensionnel k. De plus, chaque k est maintenant associé à trois coordonnées normales.

Les nouveaux indices s=1, 2, 3 marquent la polarisation des phonons. Dans le modèle unidimensionnel, les atomes étaient limités à se déplacer le long de la ligne, de sorte que les phonons correspondaient à des ondes longitudinales. En trois dimensions, la vibration n’est pas limitée à la direction de propagation, et peut également se produire dans les plans perpendiculaires, comme les ondes transversales. Cela donne lieu aux coordonnées normales supplémentaires, que, comme l’indique la forme du Hamiltonien, nous pouvons considérer comme des espèces indépendantes de phonons.

Dispersion relationEdit

Dispersion curves in linear diatomic chain

Optical and acoustic vibrations in a linear diatomic chain.

Dispersion relation ω = ω(k) for some waves corresponding to lattice vibrations in GaAs.

Pour un réseau alternatif unidimensionnel de deux types d’ions ou d’atomes de masse m1, m2 répétés périodiquement à une distance a, reliés par des ressorts de constante de ressort K, deux modes de vibration résultent:

ω ± 2 = K (1 m 1 + 1 m 2) ± K (1 m 1 + 1 m 2) 2 − 4 sin 2 a k a 2 m 1 m 2, {\displaystyle\omega _ {\pm} ^{2} = K \gauche ({\frac{1}{m_{1}}} + {\frac {1} {m_{2}}} \ droite)\pm K {\sqrt {\gauche ({\frac{1}{m_{1}}}+ {\frac {1} {m_{2}}} \ droite) ^{2} – {\frac{4\sin ^{2}{\frac{ka}{2}}} {m_{1}m_{2}}}}},}

où k est le vecteur d’onde de la vibration liée à son longueur d’onde par k = 2 π λ {\displaystyle k = {\tfrac{2\pi}{\lambda}}}

.

La connexion entre la fréquence et le vecteur d’onde, ω = ω(k), est connue sous le nom de relation de dispersion. Le signe plus entraîne le mode dit optique et le signe moins le mode acoustique. En mode optique, deux atomes différents adjacents se déplacent l’un contre l’autre, tandis qu’en mode acoustique, ils se déplacent ensemble.

La vitesse de propagation d’un phonon acoustique, qui est aussi la vitesse du son dans le réseau, est donnée par la pente de la relation de dispersion acoustique,wwk/∂k (voir vitesse de groupe.) À de faibles valeurs de k (c’est-à-dire de grandes longueurs d’onde), la relation de dispersion est presque linéaire et la vitesse du son est approximativement wa, indépendante de la fréquence du phonon. En conséquence, des paquets de phonons de longueurs d’onde différentes (mais longues) peuvent se propager sur de grandes distances à travers le réseau sans se séparer. C’est la raison pour laquelle le son se propage à travers les solides sans distorsion significative. Ce comportement échoue à de grandes valeurs de k, c’est-à-dire de courtes longueurs d’onde, en raison des détails microscopiques du réseau.

Pour un cristal qui a au moins deux atomes dans sa cellule primitive, les relations de dispersion présentent deux types de phonons, à savoir les modes optique et acoustique correspondent respectivement à la courbe bleue supérieure et rouge inférieure du diagramme. L’axe vertical est l’énergie ou la fréquence du phonon, tandis que l’axe horizontal est le vecteur d’ondes. Les limites en -π/a et π/a sont celles de la première zone Brillouin. Un cristal avec N ≥ 2 atomes différents dans la cellule primitive présente trois modes acoustiques : un mode acoustique longitudinal et deux modes acoustiques transversaux. Le nombre de modes optiques est de 3N-3. La figure inférieure montre les relations de dispersion pour plusieurs modes de phonons en GaAs en fonction du vecteur d’onde k dans les directions principales de sa zone de Brillouin.

De nombreuses courbes de dispersion des phonons ont été mesurées par diffusion de neutrons inélastiques.

La physique du son dans les fluides diffère de la physique du son dans les solides, bien que les deux soient des ondes de densité: les ondes sonores dans les fluides n’ont que des composantes longitudinales, tandis que les ondes sonores dans les solides ont des composantes longitudinales et transversales. En effet, les fluides ne peuvent pas supporter les contraintes de cisaillement (mais voir fluides viscoélastiques, qui ne s’appliquent qu’aux hautes fréquences).

Interprétation des phonons à l’aide de techniques de deuxième quantification

L’hamiltonien dérivé ci-dessus peut ressembler à une fonction hamiltonienne classique, mais s’il est interprété comme un opérateur, il décrit une théorie quantique des champs de bosons non interagissants.La deuxième technique de quantification, similaire à la méthode de l’opérateur d’échelle utilisée pour les oscillateurs harmoniques quantiques, est un moyen d’extraire des valeurs propres d’énergie sans résoudre directement les équations différentielles. Étant donné le hamiltonien, H {\displaystyle{\mathcal{H}}}

, ainsi que la position conjuguée, Q k {\displaystyle Q_ {k}}

, et moment conjugué Π k {\displaystyle\Pi_{k}}

défini dans la section traitement quantique ci-dessus, nous pouvons définir des opérateurs de création et d’annihilation: b k = I ω k 2 ℏ (q k + i m ω k π−k) {\displaystyle b_ {k} = {\sqrt {\frac{m\omega_{k}} {2\hbar}}} \ gauche (q_{k} + {\frac {i} {m\omega_{k}}}\Pi_{-k}\droite)}

et b k † = I ω k 2 Π (Q−k−I I ω k π k) {\displaystyle {b_{k}}^{\dagger} = {\sqrt {\frac {m\omega_ {k}} {2\hbar}}}\gauche (Q_{-k}-{\frac{i}{m\omega_{k}}}\Pi_{k}\droite)}

Les commutateurs suivants peuvent être facilement obtenus en substituant dans la relation de commutation canonique :

= δ k, k’, == 0 {\displaystyle\left=\delta_{k, k’}, \quad {\Big} = \left= 0}

En utilisant cela, les opérateurs bk† et bk peuvent être inversés pour redéfinir la position conjuguée et l’élan comme suit:

Q k = ω2 m ω k (b k † + b−k) {\displaystyle Q_{k} = {\sqrt{\frac{\hbar} {2m\omega_{k}}}}\ gauche ({b_{k}}^{\dagger} +b_{-k}\ droite)}

et Π k = i ω m ω k 2 (b k †−b−k) {\displaystyle\Pi_{k} = i{\sqrt{\frac{\hbar m\omega _{k}} {2}}} \left ({b_{k}}^{\dagger }-b_{-k}\right)}

Directement en remplaçant ces définitions pour Q k {\displaystyle Q_{k}}

et Π k {\displaystyle\Pi_{k}}

dans le hamiltonien de l’espace des vecteurs d’ondes, tel qu’il est défini ci-dessus, et en simplifiant, le Hamiltonien prend alors la forme: H = ωk ω ω k (b k † b k + 1 2) {\displaystyle {\mathcal{H}} = \sum_{k}\hbar\omega_{k}\left({b_{k}}^{\dagger} b_{k} + {\tfrac{1}{2}}\right)}

Ceci est connu comme la deuxième technique de quantification, également connue sous le nom de formulation du nombre d’occupation, où nk = bk†bk est le nombre d’occupation. Cela peut être vu comme une somme de N Hamiltoniens d’oscillateur indépendants, chacun avec un vecteur d’onde unique, et compatible avec les méthodes utilisées pour l’oscillateur harmonique quantique (notez que nk est hermitien). Lorsqu’un Hamiltonien peut être écrit comme une somme de sous-Hamiltoniens en déplacement, les états propres d’énergie seront donnés par les produits des états propres de chacun des sous-Hamiltoniens distincts. Le spectre d’énergie correspondant est alors donné par la somme des valeurs propres individuelles des sous-Hamiltoniens.

Comme pour l’oscillateur harmonique quantique, on peut montrer que bk† et bk créent et détruisent respectivement une excitation de champ unique, un phonon, d’une énergie de ħwk.

Trois propriétés importantes des phonons peuvent être déduites de cette technique. Premièrement, les phonons sont des bosons, car un nombre quelconque d’excitations identiques peut être créé par l’application répétée de l’opérateur de création bk†. Deuxièmement, chaque phonon est un « mode collectif » causé par le mouvement de chaque atome du réseau. Cela peut être vu du fait que les opérateurs de création et d’annihilation, définis ici dans l’espace de l’impulsion, contiennent des sommes sur les opérateurs de position et d’impulsion de chaque atome lorsqu’ils sont écrits dans l’espace de position (Voir espace de position et d’impulsion). Enfin, en utilisant la fonction de corrélation position–position, on peut montrer que les phonons agissent comme des ondes de déplacement du réseau.

Cette technique se généralise facilement aux trois dimensions, où l’hamiltonien prend la forme :

H = ∑ k ∑ s = 1 3 ω ω k, s (b k, s † b k, s +1 2). {\displaystyle{\mathcal{H}} = \sum_{k}\sum_{s= 1}^{3}\hbar\,\omega_{k,s}\left ({b_{k, s}}^{\dagger}b_{k,s} +{\tfrac{1}{2}}\right).}