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Dans cet article, nous étudierons les scalaires et vecteurs, leurs caractéristiques .

Quantités scalaires ou scalaires:

Les quantités physiques qui n’ont qu’une grandeur et qui ne peuvent être spécifiées que par un nombre et une unité sont appelées quantités scalaires ou scalaires.

Pour par ex. lorsque nous spécifions l’heure, nous pouvons dire comme 20 secondes, 1 an, 24 heures, etc. Ici, nous ne donnons que la grandeur, c’est-à-dire un nombre et une unité. Dans ce cas, la direction n’est pas requise.

Autres exemples de scalaires: Temps, distance, vitesse, masse, densité, surface, volume, travail, pression, énergie, etc.

Caractéristiques des scalaires :

• Les quantités scalaires n’ont qu’une grandeur.
• Les scalaires peuvent être ajoutés ou soustraits les uns des autres algébriquement.
• Lors de l’écriture d’une quantité scalaire, une flèche n’est pas placée sur la tête du symbole de la quantité.

Grandeurs ou Vecteurs vectoriels:

Les grandeurs physiques qui ont à la fois la grandeur et la direction et qui doivent être spécifiées par la grandeur et la direction sont appelées grandeurs ou vecteurs vectoriels.

Par exemple, lorsque nous spécifions le déplacement du corps, nous devons spécifier la magnitude et la direction. Par conséquent, le déplacement est une quantité vectorielle.

Autres exemples de vecteurs: Déplacement, vitesse, accélération, force, élan, intensité électrique, induction magnétique, etc.

Remarque: Une grandeur est une grandeur vectorielle si et seulement si elle a une direction et une grandeur et qu’elle obéit aux règles de l’addition vectorielle.

Caractéristiques des vecteurs :

• Les grandeurs vectorielles ont à la fois une grandeur et une direction.
• Les vecteurs ne peuvent pas être ajoutés ou soustraits les uns des autres algébriquement mais nous devons adopter une méthode graphique.
• Lors de l’écriture d’une quantité vectorielle, une flèche est placée sur la tête du symbole de la quantité.

Pseudo-vecteurs :

Les vecteurs associés au mouvement de rotation sont appelés pseudovecteurs. Ils sont également appelés vecteurs axiaux. Leur direction est le long de l’axe de rotation.

Exemples: déplacement angulaire, vitesse angulaire, accélération angulaire, couple, etc.

Vecteurs polaires :

Les vecteurs associés à un effet directionnel linéaire sont appelés vecteurs polaires ou vecteurs vrais. Ils ont le point de départ ou le point d’application.

Exemples: Vitesse linéaire, accélération linéaire, force, élan, etc.

Tenseurs :

C’est une grandeur physique qui n’est ni scalaire ni vectorielle. Ils n’ont pas de direction précise. Ils peuvent avoir des valeurs différentes dans différentes directions. Ces quantités ont une grandeur et une direction mais elles n’obéissent pas aux règles de l’addition vectorielle.

Exemples : Moment d’inertie, Contrainte, tension superficielle, courant électrique, etc.

Notation symbolique des vecteurs :

Un vecteur est représenté par une lettre avec une pointe de flèche. Ainsi, le vecteur A est représenté par A. L’amplitude du vecteur est représentée par |A| ou simplement A.

Un vecteur peut également être désigné par deux lettres. Par ex. PQ ce qui signifie que le point de départ (queue) du vecteur est le point P et le point final du vecteur (tête) est au point Q. La direction du vecteur est du point P au point Q

Représentation d’un vecteur:

Un segment de droite est dessiné de telle sorte que sa longueur représente l’amplitude de la quantité à une échelle appropriée et dans la direction donnée du vecteur.

Exemple : Un vecteur de déplacement de 50 km vers le nord-est peut être représenté comme suit.

• Sélectionnez une échelle appropriée, disons 1cm = 10 km.
• Sélectionnez une norme de direction comme indiqué.
• Tracez un segment de ligne de 5 cm de longueur vers le nord-est.
• Afficher la flèche en direction du nord-est.

Terminologie des vecteurs:

Vecteur unitaire:

Un vecteur ayant une grandeur unitaire (une) est appelé vecteur unitaire. Le vecteur unitaire dans la direction du vecteur Ā est désigné par  (un chapeau).

Notes:

• Si  est un vecteur unitaire alors |Â/= A=1.
• Les vecteurs unitaires le long des directions positives des axes x, y et z sont respectivement m î, ĵ et
• Le vecteur unitaire le long du vecteur Ā est donné par Â= Ā/|Ā|

Vecteur Nul ou Nul :

Un vecteur ayant une magnitude nulle est appelé Vecteur nul ou Nul. Le vecteur nul ou nul est noté ō (barre zéro).

Remarques :

• Pour le vecteur nul, les points initial et terminal coïncident.
• Tout vecteur non nul est appelé vecteur propre.

Vecteur libre:

Lorsqu’il n’y a pas de restriction pour choisir l’origine du vecteur, on parle de vecteur libre.

Vecteur localisé:

Lorsqu’il existe une restriction pour choisir l’origine du vecteur, il est appelé comme vecteur localisé.

Vecteur réciproque:

Le vecteur qui a la même direction que celle de Ā mais a une grandeur réciproque à celle de Ā est appelé vecteur réciproque. Il est noté et donné par des vecteurs

c’est-à-dire Si AB=PQ alors |AB|=|PQ| et AB|/PQ

Vecteurs colinéaires : Les vecteurs

sont dits colinéaires s’ils sont situés le long de la même ligne ou parallèles à une même ligne. Si deux vecteurs sont colinéaires, chacun d’eux peut être exprimé comme un multiple scalaire de l’autre.

Vecteurs similaires :

Les vecteurs ayant la même direction sont appelés vecteurs similaires.

Contrairement aux vecteurs :

Les vecteurs ayant des directions opposées sont appelés, contrairement aux vecteurs.

Vecteurs coplanaires : Les vecteurs

sont dits coplanaires s’ils se trouvent dans le même plan ou parallèlement à un même plan.

Négatif d’un vecteur :

Le vecteur négatif est un vecteur qui a la même grandeur que celle du vecteur donné mais a la direction opposée à celle du vecteur donné. Le négatif du vecteur Ā est noté -Ā.

AB=-BA

Égalité des vecteurs :

Deux Vecteurs sont dits égaux si et seulement s’ils ont la même grandeur et la même direction. Ainsi, les vecteurs égaux ont la même longueur, le même support parallèle et le même sens. Si l’une de ces choses n’est pas la même, alors les deux vecteurs ne sont pas égaux.

Concept de Vecteur de Position d’un Point:

Soit A un point quelconque dans l’espace et O le point fixe dans l’espace alors le vecteur position (P.V) du point A w.r.t. à O est défini comme le vecteur OA. Le vecteur de position du point A par rapport au point fixe O est noté A ou a.

AB en termes de vecteur de position de ses extrémités :

Par la loi du triangle, OA + AB = OB

AB AB = OB–OA

AB AB = B – A =(p.v de B) – (p.v de A)

Vecteurs Unitaires Standard ou Vecteurs Unitaires rectangulaires:

Le vecteur unitaire le long de l’axe x positif est noté î, le vecteur unitaire le long de l’axe y positif est noté ĵ, le vecteur unitaire le long de l’axe z positif est noté .

Si A est résolu en deux vecteurs et respectivement le long de l’axe des abscisses et de l’axe des ordonnées, alors par loi triangulaire d’addition de vecteurs

A = Ax + Ay

A= Ax î + Ay ĵ

La magnitude du vecteur est donnée par

Système tridimensionnel:

Si A est résolu en trois vecteurs Ax, Ay, Az le long de l’axe des abscisses, de l’axe des ordonnées et de l’axe des z respectivement, alors par loi polygonale d’addition de vecteurs

A = Ax + Ay +Az

A = Ax î + Ay ĵ + Az k

La magnitude du vecteur est donnée par

Remarques:

• La composante du vecteur ne peut pas avoir une magnitude supérieure au vecteur lui-même.
• Un vecteur est un vecteur nul si toutes ses composantes sont nulles.

Multiplication du Vecteur par un Scalaire :

Si A = Ax + Ay + Az est un vecteur et ‘m’ est un scalaire, alors nous avons

m A = m Ax + m Ay + m Az

Exemple –01 :

Si P(3, -4, 5) est un point dans l’espace puis trouve OP, |OP| et un vecteur unitaire le long de OP.

Solution:

OP= 3i-4j + 5k

/OP| = √(3)2+ (-4)2+ (5)2

= √9+ 16+ 25 = √50 = 5√2 unité

Vecteur unitaire le long de OP = OP/|OP|=(3i–4j + 5k) / 5√2

Exemple –02:

• Si A(1, 2, 3) et B(2, -1, 5) sont deux points dans l’espace alors trouvez AB, |AB| et un vecteur unitaire le long de AB.

Vecteur de position du point A= a=OA= i +2j +3k

Vecteur de position du point B=b=OB=2i-j +5k

AB= b–a=(2i–j+5k) –(i+2j+3k)