Travaillant 2 000 ans avant le développement du calcul, le mathématicien grec Archimède a élaboré une formule simple pour le volume d’une sphère:

Parmi ses nombreuses contributions mathématiques, Archimède était le plus fier de ce résultat, allant même jusqu’à demander que la méthode qu’il a utilisée pour élaborer la formule — un diagramme circonscrivant une sphère à l’intérieur d’un cylindre avec le rapport 2:3 — soit imprimée sur sa pierre tombale.

La formule d’Archimède a peut-être été un coup de génie scientifique en 250 av.J.-C., mais avec l’aide du calcul moderne, la dérivation est extrêmement simple. Dans cet article, je vais expliquer une façon de dériver la célèbre formule, et expliquer comment cela peut être fait dans des dimensions autres que les trois habituelles.

La dérivation

Considérons le diagramme ci-dessous. C’est une sphère de rayon r. Le but est de trouver le volume, et voici comment nous le faisons.

Notez qu’une chose que nous pouvons facilement trouver est la surface d’une seule tranche horizontale de la balle. Il s’agit du disque ombré en haut du diagramme, qui est dessiné à la hauteur z. Le disque a un rayon de x, dont nous aurons besoin pour trouver la zone du disque. Pour trouver x, nous pouvons former un triangle rectangle avec les côtés z et x, et l’hypoténuse r. Ceci est dessiné sur la figure. Ensuite, nous pouvons facilement résoudre pour x.

Par le théorème de Pythagore, on sait que

résolution de sauts pour x nous avons

Alors la surface du disque ombré est simplement pi fois le rayon au carré, ou

Maintenant que nous avons l’aire d’un disque horizontal, nous voulons trouver l’aire de tous les disques horizontaux à l’intérieur de la balle additionnée. Cela nous donnera le volume de la sphère.

Pour ce faire, il suffit de prendre l’intégrale définie de la formule de surface du disque par le haut pour toutes les hauteurs possibles z, qui sont comprises entre -r (en bas de la balle) et r (en haut de la balle). C’est-à-dire que notre volume est donné par

Qui est la formule de volume que nous recherchions.

Cette même logique peut également être utilisée pour dériver des formules pour le volume d’une « boule » en dimensions 4, 5 et supérieures. Ce faisant, vous pouvez montrer que le volume d’une boule unitaire dans une dimension (une ligne) n’est que de 2; le volume en deux dimensions (un disque) est

et — comme nous venons de le montrer — le volume en trois dimensions (une sphère) est

En continuant sur quatre, cinq et finalement n dimensions, un résultat surprenant apparaît.

Il s’avère que le volume d’une boule unitaire culmine à cinq dimensions, puis se rétrécit par la suite, s’approchant finalement de zéro lorsque la dimension n passe à l’infini.